Бесконечно длинный цилиндр заряжен с объемной плотностью (4 видео)

Видео:Электромагнетизм Пр3.4. Теорема Гаусса. Поле бесконечного цилиндра.Скачать

Бесконечно длинный цилиндр заряжен с объемной плотностью

2018-08-03
Длинный парафиновый цилиндр радиусом $R = 2 см$ несет заряд, равномерно распределенный по объему с объемной плотностью $\rho = 10 нКл/м^ $. Определить напряженность $E$ и смещение $D$ электрического поля в точках, находящихся от оси цилиндра на расстоянии: 1) $r_ = 1 см$; 2) $r_ = 3 см$. Обе точки равноудалены от концов цилиндра. Построить графики зависимостей $E(r)$ и $D(r)$.

Используя теорему Остроградского — Гаусса:

$\int EdS = \frac >$
$E_ S_ = \frac > \epsilon >$, где $Q_ = \rho V_ = \rho S_ l = \rho \pi r_ ^ l$ — заряд на выбранной гауссовой поверхности.

$S_ = 2 \pi r_ (r_ + l )$ — площадь поверхности цилиндра причем цилиндр бесконечно длинный: $l \gg r_ \Rightarrow S_ \approx 2 \pi r_ l \Rightarrow$
$E_ = \frac > S_ > = \frac ^ l > 2 \pi r_ l > = \frac > > \Rightarrow E_ = \frac \cdot 0,01 > > = 2,83 В/м$.

Проводим Гауссову поверхность радиуса $r_ $:

$E_ S_ = \frac > \Rightarrow = \frac S_ >$, где $Q = \rho V = \rho Sl = \rho \pi R^ l$ — заряд
$S_ = 2 \pi r_ (r_ + l ) \approx 2 \pi r_ l \Rightarrow$
$E_ = \frac l > 2 \pi r_ l > = \frac > r_ > \Rightarrow E_ = \frac \cdot 0,02^ > \cdot 0,03 > = 7,55 В/м$.

Смещение:
$\begin D_ = \epsilon_ \epsilon E_ \\ D_ = \epsilon_ E_ \end \Rightarrow \begin D_ = 8,85 \cdot 10^ \cdot 2 \cdot 2,23 = 50 \cdot 10^ Кл/м^ \approx 50 пКл/м^ \\ D_ = 8,85 \cdot 10^ \cdot 7,55 = 66,7 \cdot 10^ Кл/м^ \approx 66,7 пКл/м^ \end $

Читайте также: Пропала компрессия в одном цилиндре клапан

Видео:Урок 224. Напряженность поля неточечных зарядовСкачать

Бесконечно длинный цилиндр заряжен с объемной плотностью

Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах.

Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:

где d q – заряд, сосредоточенный на площади d S; d S – физически бесконечно малый участок поверхности.

Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).

Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность будетодинакова по величине и противоположна по направлению.

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).


Рис. 2.11	Рис. 2.12

Применим теорему Остроградского-Гаусса. Поток Ф_Е через боковую часть поверхности цилиндра равен нулю, т.к . Дляоснования цилиндра

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:

Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:

откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:

Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости

Поле двух равномерно заряженных плоскостей

Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (рис. 2.13).

Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей .

Вне плоскостей напряженность поля

Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).

Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):

Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными.

Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора:

где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. , то

Читайте также: Щуп для зазоров цилиндра

Это формула для расчета пондермоторной силы.

Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)

Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью , где d q – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).

Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.

Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r.

Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен

При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса , отсюда

Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).

Если уменьшать радиус цилиндра R (при ), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при , получить нить.

Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле будет отсутствовать (рис. 2.16) .

В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае:

Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).

Поле заряженного пустотелого шара

Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным, – в любой точке проходит через центр шара. ,и силовые линии перпендикулярны поверхности в любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.17).

Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда

Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов:

Читайте также: Чем смазывать направляющие суппорта цилиндра