Бесконечный цилиндр с диэлектрической проницаемостью (4 видео)

Видео:10 Диэлектрическая проницаемостьСкачать

Бесконечный цилиндр с диэлектрической проницаемостью

Если область распределения заряда ограничена в пространстве, то потенциал электрического поля как функцию $\vec =(x, y, z)$ можно записать в виде интеграла \begin \label \varphi(\vec )=\int\limits_V \frac ‘)dV’> -\vec ‘\right|> \end На больших расстояниях множитель $\frac -\vec ‘\right|>$ в подынтегральном выражении можно разложить по малому параметру $\vec ‘=(x’, y’, z’)$ (здесь и ниже штрихованные переменные характеризуют распределение заряда, в отличие от нештрихованных, относящихся к радиус-вектору точки наблюдения): \begin \label \frac -\vec ‘\right|>\approx \frac — \frac \left(\frac \right)\cdot x’_i+ \frac \left(\frac \right) \cdot x’_i x’_j, \end где предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Подстановка \eqref в \eqref приводит к выражению для потенциала в форме мультипольного разложения: \begin \label \varphi(\vec )\approx \frac + \frac \cdot \vec )> + \frac D_ \frac \end где $Q=\int \rho(\vec ‘)’dV’$ – полный заряд системы,

$\vec =\int \rho(\vec ‘)\vec ‘dV’$ – электрический дипольный момент системы,

$D_ =\int (3x’_ix’_j-r’^2\delta_ )\rho(\vec ‘)dV’$ – тензор квадрупольных моментов системы.

Видео:Электромагнетизм Пр3.4. Теорема Гаусса. Поле бесконечного цилиндра.Скачать

1.14. Расчет электростатического поля с помощью теоремы Гаусса и постулата Максвелла

Теорема Гаусса и постулат Максвелла, представленные в интегральной форме, дают возможность решить ряд задач в тех случаях, когда условия симметрии таковы, что в каждой точке замкнутой поверхности интегрирования (поверхности симметрии), охватывающей заряды, вектор напряженности поля (или электрического смещения )

имеет одно и то же значение и может быть вынесен из-под интеграла.

Пример 1. Точечный заряд q = 10 -9 Кл помещен в начале сферической системы координат. Определить напряжение между точками а (R_a = 4см, q_а = 45 ° , j_а = 0 ° ) и b (R_b = 8см, , q_b = 180 ° , j_b = 90 ° ) и напряженность в тех же точках, если окружающей средой является воздух.

Решение будем проводить с помощью теоремы Гаусса (1.9), так как среда однородна.

Поскольку поле точечного заряда характеризуется сферической симметрией, то, если в качестве поверхности интегрирования взять поверхность сферы с центром в точке, где расположен заряд (в нашем случае это начало системы координат), то в любой точке на поверхности этой сферы напряженность поля будет иметь одно и то же значение. Направление же вектора будет совпадать с направлением радиуса, то есть перпендикулярно к поверхности сферы. В связи с этим, интеграл по этой поверхности, составленный по теореме Гаусса, можно преобразовать следующим образом:

Поскольку данный интеграл (согласно теореме Гаусса) равен отношению заряда, помещенного внутри сферы, к диэлектрической проницаемости среды, то напряженность поля будет определяться соотношением

Здесь индекс r у напряженности проставлен для того, чтобы показать, что напряженность поля имеет одну составляющую, направленную по радиусу.

Отметим, что данная формула полностью соответствует выражению (1.1), полученному из закона Кулона.

Поскольку напряженность электрического поля в данном случае имеет только радиальную составляющую, величина которой является функцией радиуса и не зависит от угловой координаты, то в указанных в исходном задании точках она будет равна:

Разность потенциалов между точками а и в определяется при помощи выражения (1.6). Эта разность в потенциальном поле не зависит от пути интегрирования. Поэтому, если разбить путь интегрирования на две части и сначала проводить интегрирование вдоль радиуса от точки а до точки, которая является точкой пересечения продолжения этого радиуса с поверхностью воображаемой сферы с центром в начале координат и радиусом r_в, а затем проводить интегрирование по любой линии, лежащей на поверхности этой серы от данной точки до точки в, то интеграл вдоль этой линии будет равен нулю, поскольку вектор напряженности поля имеет одну составляющую, направленную вдоль радиуса, а подинтегральным выражением в формуле (1.6) является скалярное произведение вектора напряженности поля и вектора dl, который совпадает с касательной к поверхности сферы.

Таким образом, разность потенциалов между точками а и в будет равна

Пример 2. Уединенный проводящий шар радиусом R₀ = 6 см, поверхностная плотность заряда которого s = 0,1*10 -6 Кл/м 2 , помещен в диэлектрик (e_r = 3).

Определить закон изменения напряженности поля и потенциала в функции расстояния r от центра шара, приняв потенциал равным нулю в бесконечности. Рассчитать напряжение между точками, одна из которых лежит на поверхности шара, а другая – на расстоянии 20 см от его поверхности. Вычислить емкость шара.

Поле внутри проводящего шара отсутствует. Поле вне шара обладает сферической симметрией, поэтому рассчитывается с помощью теоремы Гаусса точно так же как и для точечного заряда.

Здесь в качестве поверхности интегрирования взята поверхность сферы радиуса r ?

R₀ с центром, совпадающим с центром шара.

Заряд шара определяется через поверхностную плотность

Таким образом, напряженность поля вне шара имеет только одну радиальную составляющую и равна

0,1·10 -6 ·0,06 2 /(3·8,85·10 -12 r 2 ).

Потенциал в любой точке вне шара, находящейся на расстоянии r от его центра, определяется с помощью выражения (1.5), которое с учетом того, что напряженность поля направлена вдоль радиуса, будет иметь следующий вид:

Потенциал шара равен потенциалу любой точки, лежащей на поверхности шара (r = R₀) U =

Разность потенциалов между любыми точками А (r = R_A) и В (r = R_В) определяется с помощью следующей формулы:

Таким образом, разность потенциалов между точкой, лежащей на поверхности шара, и точкой, отстоящей от поверхности на расстоянии 20 см, равна

UAВ = 13,56· (1/0,06 – 1/0,26) = 173,8 В.

Емкость шара можно определяется выражением (1.19)

С = 4·p·ere0·R0 = 4·p·3·8,85·10-12·0,06 = 2·10-11 Ф.

Шар из диэлектрика (e_r = 4) заряжен и расположен в воздухе. Объемная плотность заряда является функцией расстояния r от центра шара: r = k*r,

Радиус шара R = 2см. Рассчитать и построить графики изменения потенциала и напряженности поля вдоль радиуса.

данном случае поле также обладает сферической симметрией, но область не однородна. Поэтому здесь удобнее применять постулат Максвелла (1.10).

Так, при 0 ? r ? R где s – сферическая поверхность радиусом r с

центром, совпадающим с центром шара; v – объем, заключенный внутри этой поверхности.

Перепишем уравнение с учетом симметрии поля

Отсюда находим радиальную составляющую вектора электрического смещения:

Напряженность электрического поля, которая также как и вектор электрического смещения направлена по радиусу, внутри шара будет равна

Вне шара (r ? R) электрическое смещение, исходя из постулата Максвелла, определяется следующим образом:

Следовательно, электрическое смещение и напряженность поля будут равны:

Графики изменения напряженности поля и вектора электрического смещения представлены на рис.1.4. Значения напряженности поля и вектора электрического смещения даны в относительных единицах. За базисные значения приняты значения этих величин на поверхности шара, которые для заданных исходных данных соответственно равны E_rb = 4,435·10 5 В/м; D_rb = 1,571·10 -5 Кл/м 2 .

Потенциал поля внутри шара можно определить по формуле

где С₁ – постоянная интегрирования.

Принимая потенциал бесконечно удаленной точки равным нулю, определим потенциал любой произвольной точки в области вне шара.

Постоянную интегрирования С₁ можно определить из условия равенства потенциалов U₁ и U₂ на поверхности шара (при r = R)

График изменения потенциала вдоль радиуса также в относительных единицах показан на рис.1.4. За базисное значение потенциала принято значение потенциала на поверхности шара U_b = 35.5кВ.

Отметим, что если бы объемная плотность заряда r оставалась постоянной, то напряженность поля и потенциалы поля в соответствующих подобластях определялись бы следующими выражениями:

Читайте также: Цилиндр тормозной передний урал 375

Постоянная С₁ в этом случае определяется также из условия равенства потенциалов U₁ и U₂ на поверхности шара

Пример 4. Сферический конденсатор с двухслойным диэлектриком имеет радиус внутренней сферы r₁=12 мм, внутренний радиус наружной сферы – r₃=22 мм и радиус поверхности раздела диэлектриков – r₂=16 мм.

Относительное значение диэлектрической проницаемости внутреннего слоя диэлектрика e_r₁=5, наружного слоя – e_r₂=3. Разрез конденсатора показан на рис.1.5. Заряд конденсатора q = 10 -8 Кл.

Определить и построить график изменения напряженности поля вдоль радиуса. Найти разность потенциалов между электродами. Вычислить емкость конденсатора. Изменяя радиус поверхности раздела диэлектриков r₂ и значение диэлектрической проницаемости наружного слоя e_r₂ получить конденсатор с наилучшим использованием двухслойного диэлектрика. Рассчитать емкость данного конденсатора и сопоставить ее с емкостью исходного конденсатора.

Решение. Используя постулат Максвелла для любой сферической поверхности радиусом r, построенной внутри k-го слоя (k=1,2) диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e_rk, получим выражение для вектора электрического смещения и напряженности электрического поля

Максимальное значение напряженности поля в первом слое, очевидно, будет на поверхности внутреннего электрода

Максимальное значение напряженности поля во втором слое на сферической поверхности раздела диэлектриков

Графики изменения напряженности поля в диэлектрике вдоль радиуса представлены на рис.1.6. Значения напряженности на графиках приведены в относительных единицах. За базисное значение принято максимальное значение напряженности в первом слое E_b= E₂_max.

Разность потенциалов между электродами определяется при помощи следующего выражения:

Емкость конденсатора равна (1.15)

C=q/U₁₂ = 10 -8 /885,6 = 1,129·10 -11 Ф.

Отметим, что емкость сферического конденсатора с двухслойным диэлектриком можно определить и по такой формуле

где С₁ – емкость сферического конденсатора с однослойным диэлектриком с радиусами обкладок r₁ и r₂ и диэлектрической проницаемостью диэлектрика, равной диэлектрической проницаемости первого слоя; С₂ – емкость сферического конденсатора с однослойным диэлектриком с радиусами обкладок r₂ и r₃ и диэлектрической проницаемостью диэлектрика, равной диэлектрической проницаемости второго слоя.

Поскольку емкость сферического конденсатора с однослойным диэлектриком определяется с помощью выражения (1.18), то емкости С₁, С₂ и С будут равны:

С1 = 4·p·8,85·10-12·5·0,012·0,016/(0,016-0,012) = 2,669·10-11Ф;

Для наилучшего использования диэлектриков в конденсаторе необходимо так подобрать толщину слоев, чтобы максимальное значение напряженности поля было одинаковым. Поскольку напряженность поля имеет максимальное значение у внутренней поверхности слоя, то для выполнения этого условия, необходимо, чтобы произведение квадрата внутреннего радиуса слоя на его диэлектрическую проницаемость было постоянным, то есть r₁ 2 e₁= r₂ 2 e₂=const.

Если значение диэлектрической проницаемости оставлять неизменным, а изменять толщину слоев, то с помощью данного выражения можно определить радиус поверхности раздела диэлектриков.

Разность потенциалов U₁₂ и емкость такого конденсатора будут равны: U₁₂=910,13В; C=1,099*10 -11 Ф.

Бесконечно длинная тонкая заряженная нить расположена в воздухе вдоль оси z цилиндрической системы координат (рис. 1.7). Линейная плотность заряда t=10 -9 Кл/м. Рассчитать и построить график изменения напряженности поля вдоль радиуса. Определить разность потенциалов между точками

m (r_m=10cм; q_m=270 ° ) и n (r_n=40cм; q_n=180 ° ).

Решение. В этом случае поле характеризуется цилиндрической симметрией, то есть во всех точках цилиндрической поверхности, охватывающей заряженную нить, произвольного радиуса r напряженность поля имеет одно и то же значение и направлена перпендикулярно к поверхности. Поэтому, если окружить нить цилиндрической поверхностью длиной l и радиусом r и использовать теорему Гаусса, то можно получить выражение для напряженности поля Е.

График изменения напряженности поля вдоль радиуса представлен на рис. 1.8.

Значение напряженности поля на графике даны в относительных единицах. За базисное значение принято значение напряженности на расстоянии одного миллиметра от начала координат (Е_b=1,798·10 4 В/м).

Потенциал поля в любой точке m, расположенной на расстоянии r_m от оси провода, равен:

Здесь r_p – расстояние от оси провода до некоторой фиксированной точки пространства р, в которой потенциал принимается равным нулю.

Если за такую точку принять точку, расположенную на расстоянии одного метра от оси провода, то потенциал точки m будет равен:

Изменение потенциала вдоль радиуса представлено на рис. 1.8. Значения потенциала даны также в относительных единицах. За базисное значение потенциала принято значение потенциала в той же точке, что и базисное значение напряженности поля (U_b=124,226 В).

Разность потенциалов между точками, указанными в условии задачи, равна 24,931 В.

Бесконечно длинный цилиндрический конденсатор с двухслойным диэлектриком имеет радиус внутреннего электрода r₁=1 мм , внутренний радиус внешнего электрода – r₃=4 мм и радиус поверхности раздела диэлектриков – r₂=2 мм.

Относительное значение диэлектрической проницаемости внутреннего слоя диэлектрика e_r₁=5, наружного слоя – e_r₂=2,5. Поперечное сечение конденсатора показано на рис.1.9. Линейная плотность заряда конденсатора t = 10 -8 Кл/м.

Определить и построить график изменения напряженности поля вдоль радиуса. Найти разность потенциалов между электродами.

Вычислить емкость конденсатора на единицу длины.

Решение. Для решения задачи используем обобщенную теорему Гаусса. В качестве поверхности интегрирования возьмем замкнутую цилиндрическую поверхность длиной l и радиусом r (r₁?r?r₃).

Ввиду цилиндрической симметрии (вектор электрического смещения на этой поверхности не изменяется по величине и направлен по радиусу) последнее уравнение можно переписать следующим образом:

Напряженность поля в первом слое диэлектрика (r₁ ?r ? r₂) будет при этом равна:

График изменения напряженности поля представлен на рис.1.10. На графике значения напряженности поля представлены в относительных единицах. За базисное значение принято значение напряженности в первом слое при r = r₁, ( E_b = 35,970 кВ/м).

Как видно из рис. 1.10, напряженность поля на границе раздела диэлектриков испытывает скачек. Для лучшего использования изоляции стараются подобрать толщину слоев диэлектрика и их диэлектрическую проницаемость таким образом, чтобы максимальное значение напряженности поля в обоих слоях было одинаково. Это будет соблюдаться при условии r₁e₁ = r₂e₂, как в данном примере.

Разность потенциалов между электродами определяется при помощи выражения (1.6), которое для цилиндрического конденсатора можно переписать в следующем виде:

Емкость конденсатора на единицу его длины будет равна:

С = t/U = 10 -8 /74,792 = 0,1337 нФ/м.

Отметим, что емкость цилиндрического конденсатора с двухслойным диэлектриком можно определить и по такой формуле

где С₁ – емкость цилиндрического конденсатора с однослойным диэлектриком с радиусами обкладок r₁ и r₂ и диэлектрической проницаемостью диэлектрика, равной диэлектрической проницаемости первого слоя; С₂ – емкость цилиндрического конденсатора с однослойным диэлектриком с радиусами обкладок r₂ и r₃ и диэлектрической проницаемостью диэлектрика, равной диэлектрическойпроницаемости второго слоя.

Поскольку емкость цилиндрического конденсатора с однослойным диэлектриком определяется с помощью выражения (1.23), то емкости С₁, С₂ и С будут равны:

Бесконечно длинный цилиндр, выполненный из диэлектрика, относительное значение диэлектрической проницаемости которого e_r₁ = 4, заряжен и находится в минеральном масле (e_r₂ = 2,5).

Радиус цилиндра r₀ = 5мм (рис. 1.11). Объемная плотность заряда является функцией расстояния от оси цилиндра r = r/10.

Найти законы изменения потенциала и напряженности поля внутри и вне цилиндра в функции расстояния r от оси, приняв потенциал равным нулю на оси цилиндра (r = 0). Построить графики этих функций.

качестве поверхности интегрирования выбирается боковая поверхность цилиндра длиной один метр, радиусом r и с осью, совпадающей с осью исходного цилиндра. При 0 ? r ? r₀ внутри этой поверхности будет находиться заряд, величина которого может быть определена с помощью следующего выражения:

Таким образом, с учетом цилиндрической симметрии поля,

В области вне цилиндра (r₀?r??)