Боковая поверхность цилиндра составляет половину его полной

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Площадь боковой поверхности цилиндра составляет половину площади его полной поверхности. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 5 см. Найти площадь полной поверхности цилиндра

6. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удалённой на 9 дм от неё, равна 240 дм 2 . Найти радиус основания цилиндра.

7. Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288p см 2 . Найти радиус основания и высоту цилиндра.

Из квадрата, диагональ которого равна d, свёрнута боковая поверхность цилиндра. Найти площадь основания цилиндра.

Цилиндр получен вращением квадрата со стороной а вокруг одной из его сторон. Найти: площадь осевого сечения, площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности цилиндра.

Квадрат со стороной, равной а, вращается вокруг внешней оси, которая параллельна его стороне. Ось удалена от квадрата на расстояние, равное стороне квадрата. Найти площадь полной поверхности и объём тела вращения.

11. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит квад­рат со сто­ро­ной 2. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

12. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

13. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке №1.

14. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке №2.

Рис. №1. Рис. №2.

КОНУС. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ КОНУСА.

Конус (с греческого «konos»)– сосновая шишка.

Конус знаком людям с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга «О методе», написанная Архимедом (287-212 гг. до н. э.), в этой книге дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед говорит, что это открытие принадлежит древнегреческому философу Демокриту (470-380 гг. до н.э.), который с помощью данного принципа получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Круговым конусомназывается тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,- вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 1) Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Определение: Геометрическое тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, называется прямым круговым конусом.

Определение: Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

Определение: Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор круга, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги – длине окружности основания конуса.

Сечения конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усечённым конусом.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.

Определение: Осевым сечением конуса называется сечение, проходящее через ось конуса.

Вывод: Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса.

Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности конусаможно найти по формуле:

S_бок. = πRL, где R – радиус основания, L – длина образующей.

Площадь полной поверхности конусанаходится по формуле:

S_полн. = πRL + πR 2 , где R – радиус основания, L – длина образующей.

Читайте также: Имеет ли недостатки металлический гараж?

Объём кругового конуса равен V = 1/3 πR 2 H, где R – радиус основания, Н – высота конуса.

Определение: Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса.

Определение: Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

1. Равнобедренный треугольник с углом при вершине 120 ° и боковой стороной в 20 см вращается вокруг основания. Найти объём тела вращения.

2. Найти высоту конуса, если площадь его боковой поверхности равна 427,2 см 2 и образующая – 17 см.

Видео:ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРАСкачать

Площадь боковой поверхности цилиндра составляет половину площади его полной поверхности. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 5 см. Найти площадь полной поверхности цилиндра.

6. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удалённой на 9 дм от неё, равна 240 дм 2 . Найти радиус основания цилиндра.

7. Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288 p см 2 . Найти радиус основания и высоту цилиндра.

Из квадрата, диагональ которого равна d, свёрнута боковая поверхность цилиндра. Найти площадь основания цилиндра.

Цилиндр получен вращением квадрата со стороной а вокруг одной из его сторон. Найти: площадь осевого сечения, площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности цилиндра.

Квадрат со стороной, равной а, вращается вокруг внешней оси, которая параллельна его стороне. Ось удалена от квадрата на расстояние, равное стороне квадрата. Найти площадь полной поверхности и объём тела вращения.

11. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит квад­рат со сто­ро­ной 2. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

12. В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

13. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке №1.

14. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке №2.

Рис. №1. Рис. №2.

КОНУС. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ КОНУСА.

Конус (с греческого «konos») – сосновая шишка.

Конус знаком людям с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга «О методе», написанная Архимедом (287-212 гг. до н. э.), в этой книге дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед говорит, что это открытие принадлежит древнегреческому философу Демокриту (470-380 гг. до н.э.), который с помощью данного принципа получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Круговым конусом называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,- вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 1) Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Определение: Геометрическое тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, называется прямым круговым конусом.

Определение: Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

Определение: Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор круга, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги – длине окружности основания конуса.

Сечения конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усечённым конусом.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.

Определение: Осевым сечением конуса называется сечение, проходящее через ось конуса.

Вывод: Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса.

Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:

S_бок. = πR L, где R – радиус основания, L – длина образующей.

Площадь полной поверхности конуса находится по формуле:

S_полн. = πR L + πR 2 , где R – радиус основания, L – длина образующей.

Объём кругового конуса равен V = 1/3 πR 2 H, где R – радиус основания, Н – высота конуса.

Читайте также: Блок цилиндров ваз 21043

Определение: Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса.

Определение: Пирамидой, описанной около конуса , называется пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

1. Равнобедренный треугольник с углом при вершине 120 ° и боковой стороной в 20 см вращается вокруг основания. Найти объём тела вращения.

2. Найти высоту конуса, если площадь его боковой поверхности равна 427,2 см 2 и образующая – 17 см.

Дата добавления: 2019-09-13 ; просмотров: 280 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Видео:Все типы Задание 17 ОГЭ по математике 2024Скачать

Как найти площадь поверхности цилиндра: боковую, основания, полную

Видео:Цилиндр, конус, шар, 6 классСкачать

Площадь боковой поверхности цилиндра

Формула площади боковой поверхности цилиндра представляет собой произведение длины основания на его высоту:

Таким образом, используя формулы площади оснований и боковой поверхности фигуры, мы смогли найти полную площадь поверхности цилиндра.
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, в котором стороны равны высоте и диаметру цилиндра.
Формула площади осевого сечения цилиндра выводится из формулы расчета площади прямоугольника :

Видео:Геометрия. 11 класс. Цилиндр, его элементы. Развертка, площади боковой и полной поверхности цилиндраСкачать

Круговой цилиндр

где r – радиус основы, h – высота цилиндра, d – диаметр основы.

Видео:Площадь полной поверхности цилиндраСкачать

Как рассчитать площадь боковой поверхности цилиндра с помощью калькулятора

Калькулятор позволяет определить площадь цилиндра по одному из 2 вариантов исходных данных:

1. внешний радиус и высота;
2. внешний диаметр и высота.

Выберите соответствующий шаг и введите исходные данные в соответствующие поля.

Также важно указать единицы измерения по условиям задачи.

Расчеты будут выполнены автоматически и конвертированы в основные метрические физические величины площади.

Видео:Задача 3 из проекта демоверсии ЕГЭ 2024 по профильной математикеСкачать

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус равен 11 см, а высота – 8 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее данные по условиям задачи значения:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 11 см ⋅ 8 см = 552,64 см 2 .

Задание 2
Высота цилиндра равна 9 см, а его диаметр – 8 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Если диаметр цилиндра равен 8 см, значит его радиус составляет 4 см (8 см / 2). Применив соответствующую формулу для нахождения площади получаем:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 см ⋅ (9 см + 4 см) = 326,56 см 2 .

Видео:№522. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующейСкачать

Осевое сечение прямого цилиндра

Осевым называется любое сечение цилиндра, которое содержит его ось. Это определение означает, что осевое сечение будет всегда параллельно образующей линии.

В цилиндре прямом ось проходит через центр круга и перпендикулярна его плоскости. Это означает, что рассматриваемое сечение круг будет пересекать по его диаметру. На рисунке показана половинка цилиндра, которая получилась в результате пересечения фигуры плоскостью, проходящей через ось.

Не сложно понять, что осевое сечение прямого круглого цилиндра представляет собой прямоугольник. Его сторонами являются диаметр d основания и высота h фигуры.

Запишем формулы для площади осевого сечения цилиндра и длины hd его диагонали:

Прямоугольник имеет две диагонали, но обе они равны друг другу. Если известен радиус основания, то не сложно переписать эти формулы через него, учитывая, что он в два раза меньше диаметра.

Видео:62. Площадь поверхности конусаСкачать

Введите радиус основания и высоту цилиндра

Цилиндр – геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.

Площадь полной поверхности цилиндра формула:
S = Sбок + 2 Sосн 2 , где Sбок – площадь боковой поверхности, Sосн – площадь основания
или
S = 2 π R h + 2 π R 2 , где R – радиус оснований, h – высота цилиндра, π – число пи

Видео:11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать

Площадь полной поверхности цилиндра

Для нахождения полной площади цилиндра нужно к полученной Sбок добавить площади двух окружностей, верха и низа цилиндра, которые считаются по формуле Sо = 2π * r2.

Конечная формула выглядит следующим образом:

Sпол = 2π * r2 + 2π * r * h.

Видео:площадь полной поверхности цилиндра.Скачать

Основные определения и свойства цилиндра

Рассмотрим две паралллельные плоскости паралллельные плоскости α и β и произвольную окружность радиуса r с центром в точке O , лежащую в плоскости α (рис. 1).

Если из каждой точки окружности опустить перпендикуляр на плоскость β , то основания этих перпендикуляров образуют на плоскости β окружность радиуса r , центр O₁ которой является основанием перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость β (рис.2).

Читайте также: Сколько литров масла в двигателе ока 2 цилиндра

Отрезок перпендикуляра , опущенного из любой точки окружности с центром O на плоскость β , который заключен между плоскостями α и β , называют образующей цилиндра .

Совокупность всех образующих цилиндра называют цилиндрической поверхностью .

Фигуру, ограниченную цилиндрической поверхностью и плоскостями α и β, называют цилиндром .

Отрезок OO₁ называют осью цилиндра .

Радиус окружности Радиус окружности на плоскости α с центром в точке O называют радиусом цилиндра .

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями α и β , называют высотой цилиндра .

Круги с центрами O и O₁ на плоскостях α и β , называют основаниями цилиндра .

Замечание 1. Цилиндрическую поверхность часто называют боковой поверхностью цилиндра . Боковая поверхность цилиндра и основания цилиндра вместе составляют полную поверхность цилиндра .

Замечание 2. Каждая образующая цилиндра параллельна оси цилиндра, а длина каждой образующей цилиндра равна высоте цилиндра.

Замечание 3. Прямая OO₁ является осью симметрии цилиндра, а середина отрезка OO₁ является центром симметрии цилиндра.

Видео:ЦИЛИНДР. КОНУС. ШАР. ЕГЭ. ЗАДАНИЕ 5.СТЕРЕОМЕТРИЯСкачать

Геометрическая фигура

Сначала дадим определение фигуре, о которой пойдет речь в статье. Цилиндр представляет собой поверхность, образованную параллельным перемещением отрезка фиксированной длины вдоль некоторой кривой. Главным условием этого перемещения является то, что отрезок плоскости кривой принадлежать не должен.

На рисунке ниже показан цилиндр, кривая (направляющая) которого является эллипсом.

Здесь отрезок длиной h является его образующей и высотой.

Видно, что цилиндр состоит из двух одинаковых оснований (эллипсы в данном случае), которые лежат в параллельных плоскостях, и боковой поверхности. Последней принадлежат все точки образующих линий.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№34 - Тела и поверхности вращения.)Скачать

Осевое сечение наклонного цилиндра

Рисунок выше демонстрирует наклонный цилиндр, изготовленный из бумаги. Если выполнить его осевое сечение, то получится уже не прямоугольник, а параллелограмм. Его стороны – это известные величины. Одна из них, как и в случае сечения прямого цилиндра, равна диаметру d основания, другая же – длина образующего отрезка. Обозначим ее b.

Для однозначного определения параметров параллелограмма недостаточно знать его длины сторон. Необходим еще угол между ними. Предположим, что острый угол между направляющей и основанием равен α. Он же и будет углом между сторонами параллелограмма. Тогда формулу для площади осевого сечения наклонного цилиндра можно записать следующим образом:

Диагонали осевого сечения цилиндра наклонного рассчитать несколько сложнее. Параллелограмм имеет две диагонали разной длины. Приведем без вывода выражения, позволяющие рассчитывать диагонали параллелограмма по известным сторонам и острому углу между ними:

Здесь l1 и l2 – длины малой и большой диагоналей соответственно. Эти формулы можно получить самостоятельно, если рассмотреть каждую диагональ как вектор, введя прямоугольную систему координат на плоскости.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Примеры расчета площади поверхности цилиндра

Для понимания приведенных формул попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах.

1. Радиус ос­но­ва­ния цилиндра равен 2, высота равна 3. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 37,68.

2. Как найти площадь поверхности цилиндра, если высота равна 4, а радиус 6?

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

Площадь поверхности цилиндра равна 376,8.

3. Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна 24π, а диаметр основания — 3. Найдите высоту цилиндра.

Из формулы расчета площади боковой поверхности цилиндра Sбок. = 2πrh следует, что высота равна:

Значение радиуса получаем из формулы: d = 2r

Видео:Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания... (ЕГЭ)Скачать

Площадь цилиндра формула через диаметр

Для облегчения расчетов иногда требуется произвести вычисления через диаметр. Например, имеется кусок полой трубы известного диаметра.

Не утруждая себя лишними расчетами, имеем готовую формулу. На помощь приходит алгебра за 5 класс.

Sпол = 2π * r2 + 2π * r * h = 2π * d2/4 + 2π * h * d/2 = π * d2/2 + π * d * h,

Вместо r в полную формулу нужно вставить значение r = d/2.

Видео:Стереометрия, номер 10.1Скачать

Площадь боковой поверхности цилиндра через радиус основания и высоту

Формула для нахождения боковой поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:

, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Заключение

В конце статьи назрел вопрос: а так ли необходимы все эти вычисления и переводы одних значений в другие. Зачем все это нужно и самое главное, для кого? Но не стоит пренебрегать и забывать простые формулы из средней школы.

Мир стоял и будет стоять на элементарных познаниях, из математики, в том числе. И, приступая к какой-нибудь важной работе, никогда не лишне освежить в памяти данные выкладки, применив их на практике с большим эффектом. Точность – вежливость королей.

🔥 Видео

Решаем ВСЕ ЗАДАНИЯ №3 из ФИПИ для ЕГЭ по профильной математикеСкачать

Комбинации тел. Урок 10. Геометрия 11 классСкачать

ЕГЭ 2024 Ященко 4 вариант ФИПИ школе полный разбор!Скачать