Боковую поверхность цилиндра в осевом сечении которого квадрат (2 видео)

Видео:№523. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высотуСкачать

Боковую поверхность цилиндра в осевом сечении которого квадрат

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Высота цилиндра равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара (см. рис.).

Площадь основания цилиндра:

Площадь боковой поверхности цилиндра:

Площадь полной поверхности цилиндра:

Поскольку площадь поверхности шара дается формулой имеем:

Высота цилиндра равна 5, а радиус основания 10.

а) Докажите, что площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его основания.

б) Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 от неё.

а) Вспомним, что площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле , где — радиус основания, — высота цилиндра. В данном случае , поэтому , откуда и следует требуемое.

б) Сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно его оси OO₁, — прямоугольник ABB₁A₁ (O и AB — соответственно центр и хорда нижнего основания цилиндра), AA₁ = 5. Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно высоте OH треугольника OAB. OA = OB = 10, OH = 6, откуда

В условии сказано, что дан цилиндр: «Высота цилиндра. «, а в решении рассмотрен прямой цилиндр. Действительно, ответ такой же получится при решении задачи с наклонным цилиндром, но тем не менее, в сечении образуется параллелограмм, а не прямоугольник: прямая АА1 параллельна и равна прямой ВВ1, как образующие, которые параллельны, в свою очередь оси цилиндра — прямой ОО1. По признаку параллельности прямой и плоскости получаем, что ОО1 параллельна плоскости (АА1ВВ1). И уже нельзя говорить, что ОО1 является высотой, ведь цилиндр может быть и наклонным. Прямая ОО1 является осью цилиндра. А условная прямая О1М может являться высотой цилиндра (точка М может совпасть с точкой О, если цилиндр прямой). Она будет являться и высотой параллелограмма (это может быть и прямоугольник, который по определению также является параллелограммом).

Таким образом, ответ хотя и верный, но рассмотрено частное решение данной задачи. Либо составители допустили ошибку не указав, что дан прямой цилиндр (в 2018-ом же писали: «. образующая перпендикулярна плоскости основания»), либо решение данной задачи следует подправить.

В школьном курсе задачи о наклонных цилиндрах не рассматриваются.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В₁ и С₁, причем ВВ₁ — образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает ось цилиндра.

Читайте также: Втулка направляющая блока цилиндров 2112

а) Докажите, что угол АВС₁ прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB = 20, BB₁ = 15, B₁C₁ = 21.

а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС₁. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС₁ — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол АВС прямой.

Прямая СС₁ является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС₁б а значит, угол АВС₁ прямой.

б) Отрезок AC является диаметром основания цилиндра. Значит, длина

окружности основания цилиндра равна

Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна

а) Докажите, что угол АВС₁ прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB = 15, BB₁ = 21, B₁C₁ = 20.

б) Отрезок AC является диаметром основания цилиндра. Значит, длина

окружности основания цилиндра равна

Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна

Аналоги к заданию № 520938: 520945 Все

В прямом кругом цилиндре, осевое сечение которого квадрат со стороной 12, хорда равная перпендикулярна диаметру Найти площадь сечения цилиндра плоскостью если образующая цилиндра.

Из условия задачи следует, что

Если вычислим площадь сегмента то искомую площадь вычислим по формуле где — угол между сечением и плоскостью основания цилиндра, так как сегмент есть ортогональная проекция сечения на основание.

Пусть — центра основания цилиндра, — точка пересечения хорды и диаметра Тогда

Поскольку окружность симметрична относительно диаметра, то

Читайте также: Газ травит в цилиндры

Площадь сегмента вычислим как разность площадей сектора и треугольника

Прежде найдем В (рис.2), где по теореме Пифагора имеем: Итак, катет равен половине гипотенузы названного треугольника, а это значит, что Тогда Из соображений сказанной выше симметрии относительно диаметра

Ортогональная проекция сечения — сегмент

Очевидно, что площадь сегмента CBD равна площади аналогичного сегмента, приведенного в случае 1, т.е.

Видео:11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать

Тест с ответами: “Цилиндр”

1. Дан цилиндр, длина диаметра основания которого в два раза меньше длины образующей. Объем этого цилиндра равен 108п. Вычислите диаметр основания:
а) 6 +
б) 14
в) 12

2. Что представляет сечение цилиндра, проведенное плоскостью, перпендикулярно оси:
а) овал
б) круг +
в) прямоугольник

3. Вычислите длину радиуса основания равностороннего цилиндра, площадь полной поверхности которого равна 24п:
а) 48
б) 12
в) 2 +

4. Что представляет осевое сечение цилиндра:
а) прямоугольник +
б) треугольник
в) овал

5. Объем цилиндра равен произведению площади … на высоту:
а) стороны
б) вершины
в) основания +

6. Что представляет боковая поверхность цилиндра:
а) треугольник
б) прямоугольник +
в) круг

7. Сечение, проходящее параллельно основаниям цилиндра, является:
а) прямоугольником
б) квадратом
в) кругом +

8. Объем цилиндра равен 64π, а площадь боковой поверхности – 32π. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, деленную на π:
а) 64 +
б) 72
в) 48

9. Цилиндр, осевым сечением которого является квадрат, называется:
а) правильным круглым
б) эллиптическим
в) равносторонним +

10. Про прямые круговые цилиндры C1 и C2 известно, что у C1 радиус основания в два раза больше, чем у C2, но у C2 высота в три раза больше, чем у C1. Найдите отношение объёма цилиндра C2 к объёму C1:
а) 1
б) 0,75 +
в) 1,2

11. Если диаметр основания и образующая цилиндра равны друг другу, то осевым сечением является:
а) квадрат +
б) круг
в) прямоугольник

12. В цилиндрический сосуд, в котором находится 10 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 2,4 раза. Чему равен объем детали:
а) 24 л
б) 14 л +
в) 12 л

13. Геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её:
а) цилиндр +
б) конус
в) квадрат

14. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Объем параллелепипеда равен 5. Найдите высоту цилиндра:
а) 1,20
б) 1,5
в) 1,25 +

Читайте также: Цилиндр заряженный линейной плотностью

15. Сечение, проходящее параллельно оси цилиндра, может быть:
а) либо прямоугольником, либо квадратом +
б) только квадратом
в) только прямоугольником

16. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого:
а) 18 см
б) 3 см +
в) 9 см

17. Если диаметр основания и образующая цилиндра не равны друг другу, то осевым сечением является:
а) квадрат
б) круг
в) прямоугольник +

18. В цилиндрический сосуд налили 1200 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 10 см. Чему равен объем детали:
а) 1100 см3
б) 1000 см3 +
в) 100 см3

19. Вычислите длину высоты равностороннего цилиндра, площадь осевого сечения которого равна 25:
а) 50
б) 12,5
в) 5 +

20. Пусть V, r, h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите объем, если r=2√2 cм, h=3 см:
а) 43π см3
б) 24π см3 +
в) 31π см3

21. Сколько образующих можно провести в цилиндре:
а) много +
б) одну
в) две

22. Радиус основания цилиндра равен 7, а высота – 10. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π:
а) 124
б) 140 +
в) 104

23. Какой вид не может иметь сечение цилиндра:
а) овал
б) квадрат
в) треугольник +

24. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 41. Найдите площадь полной поверхности цилиндра:
а) 60
б) 61,5 +
в) 55

25. Вращением какой геометрической фигуры можно получить цилиндр:
а) прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы
б) прямоугольного треугольника вокруг катета
в) прямоугольника вокруг одной из сторон +

26. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 18π, а диаметр основания равен 9. Найдите высоту цилиндра:
а) 4
б) 2 +
в) 36

27. Площадь полной поверхности цилиндра:
а) S=2п(r+h) +
б) S= r(r+h)
в) S=пr(r+h)

28. Поверхность, образуемая однопараметрическим семейством параллельных прямых (называемых образующими) и проходящими через точки некоторой кривой (называемой направляющей):
а) поверхность основания цилиндра
б) коническая поверхность
в) цилиндрическая поверхность +

29. Площадь боковой поверхности цилиндра:
а) S=пrh +
б) S=2r
в) S=r2

30. Отрезок, высекаемый плоскостями его оснований на прямой, перпендикулярной им, или длина этого отрезка:
а) сторона цилиндра
б) высота цилиндра +
в) вершина цилиндра