В правильном тетраэдре ABCD точка К — середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и EC : ED = 1 : 2.
а) Найдите угол между прямыми ВС и КЕ.
б) Найдите расстояние между прямыми ВС и КЕ, если ребро тетраэдра равно
а) Проведем через точку K прямую KL параллельную BC, где точка L лежит на AC. KL — средняя линия треугольника ABC. Угол между прямыми KE и ВС равен углу EKL, найдем его из треугольника KEL. Пусть O — проекция вершины D, E’ — проекция точки E на прямую KC и пусть ребро тетраэдра равно a. Тогда
Вычислим высоту тетраэдра:
Косинус угла EKL найдем, применяя теорему косинусов:
б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от одной из них до плоскости, параллельной ей и проходящей через другую прямую. Таким образом, искомое расстояние между прямыми BC и KE равно расстоянию между точкой С и и плоскостью KEL (плоскость KEL — проходит через прямые KE и KL, где прямая KL параллельна BC). То есть искомое расстояние — высота hc тетраэдра CKEL, проведенная из вершины C.
Видео:Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"Скачать
Вычислим объем тетраэдра CKEL:
С другой стороны, где
В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник ABC. На прямой AA1 отмечена точка D так, что середина AD. На прямой B1C1 отмечена точка E так, что середина B1E.
а) Докажите, что прямые A1B1 и DE перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AB и DE, если а
а) Прямая AD перпендикулярна плоскости A1B1C1, поэтому проекцией прямой DE на эту плоскость является прямая A1E. Заметим, что в треугольнике A1EB1 медиана A1C1 равна половине стороны B1E, поэтому треугольник A1EB1 прямоугольный с прямым углом A1. Отсюда, по теореме о трех перпендикулярах, получаем, что ребро A1B1 перпендикулярно прямой DE.
б) В прямоугольном треугольнике A1EB1 найдем катет . Далее, пусть L — точка пересечения прямой и плоскости ABC. Тогда отрезки AL и A1E параллельны, следовательно по теореме о средней линии треугольника. Прямая AB перпендикулярна плоскости ADE, поэтому расстояние между прямыми DE и AB равно расстоянию от точки A до прямой DE, то есть высоте AF прямоугольного треугольника с катетами AD = 2 и Далее вычислим расстояние между прямыми AB и DE:
Читайте также: Уплотнение гильзы цилиндра 998 188 ch11179
В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник ABC. На прямой AA1 отмечена точка D так, что A1 — середина AD. На прямой B1C1 отмечена точка E так, что C1 — середина B1E.
Видео:Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать
а) Докажите, что прямые A1B1 и DE перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AB и DE, если а
а) Прямая AD перпендикулярна плоскости A1B1C1, поэтому проекцией прямой DE на эту плоскость является прямая A1E. Заметим, что в треугольнике A1EB1 медиана A1C1 равна половине стороны B1E, поэтому треугольник A1EB1 прямоугольный с прямым углом A1. Отсюда, по теореме о трех перпендикулярах, получаем, что ребро A1B1 перпендикулярно прямой DE.
б) В прямоугольном треугольнике A1EB1 найдем катет . Далее, пусть L — точка пересечения прямой и плоскости ABC. Тогда отрезки AL и A1E параллельны, следовательно по теореме о средней линии треугольника. Прямая AB перпендикулярна плоскости ADE, поэтому расстояние между прямыми DE и AB равно расстоянию от точки A до прямой DE, то есть высоте AF прямоугольного треугольника с катетами AD = 2 и Далее вычислим расстояние между прямыми AB и DE:
Аналоги к заданию № 563896: 563917 Все
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1. Известно, что AB = BC . Точка K — середина ребра A1B1 , а точка M лежит на ребре AC и делит его в отношении AM :MC =1:3.
а) Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC .
б) Найдите расстояние между прямыми KM и A1C1, если AB = 6 , AC = 8 и AA1 = 3.
а) Пусть точка L лежит на ребре A1C1 и делит его в отношении A1L:LC1=1:3. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, треугольник A1B1C1 тоже равнобедренный. Следовательно, отрезок KL перпендикулярен стороне A1C1. Отрезок ML тоже перпендикулярен стороне A1C1. Получаем, что прямая A1C1 перпендикулярна плоскости KLM, то есть прямая KM перпендикулярна прямой A1C1, а следовательно, и прямой AC.
Видео:✓ Расстояние между скрещивающимися прямыми | ЕГЭ-2018. Задание 14. Математика | Борис ТрушинСкачать
б) Пусть LH — высота треугольника KLM. Так как прямая A1C1 перпендикулярна плоскости KLM, расстояние между прямыми KM и A1C1, равно LH. Имеем LM = AA1 = 3; Тогда KL · LM = KM · LH;
Читайте также: Рабочий цилиндр сцепления газ 31105 крайслер шток
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1. Известно, что AB = BC. Точка K — середина ребра A1B1, а точка M лежит на ребре AC и делит его в отношении AM : MC = 1 : 3.
а) Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC .
б) Найдите расстояние между прямыми KM и A1C1, если AB = 10, AC = 8 и AA1 = 3.
а) Пусть точка L лежит на ребре A1C1 и делит его в отношении A1L : LC1 = 1 : 3. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, треугольник A1B1C1 тоже равнобедренный. Следовательно, отрезок KL перпендикулярен стороне A1C1. Отрезок ML тоже перпендикулярен стороне A1C1. Получаем, что прямая A1C1 перпендикулярна плоскости KLM, то есть прямая KM перпендикулярна прямой A1C1, а, следовательно, и прямой AC.
б) Пусть LH — высота треугольника KLM. Так как прямая A1C1 перпендикулярна плоскости KLM, расстояние между прямыми KM и A1C1, равно LH. Тогда LM = AA1 = 3, Значит KL · LM = KM · LH,
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник ABC со сторонами AB = BC, На ребре BB1 выбрана точка K так, что BK : B1K = 2 : 3. Угол между плоскостями ABC и AKC равен 45°.
а) Докажите, что расстояние между прямыми AB и A1C1 равно боковому ребру призмы.
Видео:19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать
б) Найдите расстояние между прямыми AB и A1C1, если KC = 8.
а) Прямые AB и A1C1 — скрещивающиеся и лежат в параллельных основаниях призмы. Поэтому расстояние между этими прямыми равно расстоянию между основаниями, то есть боковому ребру призмы.
б) Проведём BM — высоту равнобедренного треугольника ABC, являющаяся также медианой. Прямая KM — наклонная, по теореме о трёх перпендикулярах прямые KM и AC взаимно перпендикулярны. Таким образом, угол KMB — линейный угол двугранного угла между плоскостями ABC и AKC, и, следовательно, равен 45°, а треугольник KMB — прямоугольный и равнобедренный. Тогда:
Далее, поскольку находим:
Основанием пирамиды АВСD является равносторонний треугольник АВС, длина стороны которого равна 4. Боковое ребро CD перпендикулярно плоскости основания и имеет длину Пусть М — середина ребра ВС, а N — середина ребра АВ.
Читайте также: Расчет давления воздуха в цилиндре
А) Докажите, что угол между прямыми DM и СN равен 45°.
Б) Найдите расстояние между прямыми DM и СN.
а) Через точку M проведём отрезок MK параллельно прямой CN. Искомый угол равен углу между прямыми DM и MK. найдём угол DMK из треугольника DMK. Имеем а как средняя линия треугольника BCN. Далее, имеем:
Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать
По теореме косинусов для треугольника DMK имеем:
Таким образом, угол между прямыми DM и MK равен 45°.
б) Плоскость DMK содержит прямую DM и параллельна прямой CN (содержит отрезок MK параллельный прямой CN), таким образом расстояние между скрещивающимися прямыми DM и CN равно расстоянию от прямой CN до плоскости DMK, которое, в свою очередь, равно расстоянию до плоскости DMK от точки C, то есть высоте hc пирамиды DCMK, опущенной из точки C. Тогда имеем:
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Точка M — середина ребра B1C1, точка N лежит на ребре AC, причем AN : NC = 15 : 1. Катет AC в четыре раза больше бокового ребра AA1 призмы.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна прямой CA1.
б) Найдите расстояние между прямыми MN и CA1, если AC = 16,
а) Рассмотрим треугольник в нём следовательно,
а потому острые углы и равны. Прямые и AC взаимно перпендикулярны. Тогда прямая перпендикулярна прямой при этом прямая — проекция прямой MN на грань (прямая перпендикулярна прямой а прямая перпендикулярна прямой ). Таким образом, по теореме о трёх перпендикулярах прямая MN перпендикулярна прямой
б) Из п. а) следует, что плоскость перпендикулярна прямой Пусть K — точка пересечения и Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость перпендикулярную одной из них.
Видео:Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать
Таким образом, искомое расстояние есть расстояние от точки K до прямой MN. Из точки K на MN опустим перпендикуляр KH и найдём его из треугольника Имеем:
Треугольник CNK подобен треугольнику треугольник KNH подобен треугольнику C1MN, следовательно,
🎦 Видео
7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямымиСкачать
✓ Расстояние между скрещивающимися прямыми | ЕГЭ-2019. Задание 14. Математика | Борис ТрушинСкачать
Расстояние между скрещивающимися прямыми #2Скачать
✓ Задача про цилиндр | ЕГЭ-2018. Задание 14. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
Урок 15. Все способы расстояние между скрещивающимися прямыми. Стереометрия с нуля.Скачать
✓ Как решать стереометрию | ЕГЭ-2024. Математика. Профильный уровень. Задание 14 | Борис ТрушинСкачать
11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать
Задача C2: расстояние между двумя прямымиСкачать
Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ЦИЛИНДРСкачать
№278. Прямая AB параллельна прямой CD. Найдите расстояние между этими прямыми, если ∠ADCСкачать
18. Расстояние от точки до прямой в пространствеСкачать
Расстояние между прямыми в пространствеСкачать
Расстояние между точкамиСкачать
