Видео:Призма, вписанная в цилиндр.The prism inscribed in the cylinder.Скачать
Дана правильная шестиугольная призма вписанная в цилиндр
Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» применяется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение.
Видео:Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмыСкачать
Задача. Призма, вписанная в цилиндр
В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 60 градусам. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45 градусов. Найдите объем цилиндра.
Решение .
Объем цилиндра найдем по формуле:
где:
R — радиус основания прямого цилиндра,
h — высота.
Найдем основание цилиндра. 1-й способ .
Основание цилиндра одновременно является окружностью, описанной вокруг прямоугольного треугольника, являющегося основанием призмы. Диаметр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. То есть длина гипотенузы равна 2R.
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника найдем по формуле:
R = x / 2 sin α
где:
x — сторона треугольника
α — угол, противолежащий стороне а.
Противолежащий угол найдем следующим образом. Поскольку треугольник прямоугольный, то противолежащий катету угол будет равен 180-90-60 = 30 градусов. Таким образом, радиус описанной окружности (он же радиус цилиндра) равен:
Найдем основание цилиндра. 2-й способ
У прямоугольного треугольника гипотенуза одновременно является диаметром описанной окружности. Половина гипотенузы будет равна ее радиусу.
Таким образом найдем гипотенузу для прямоугольного треугольника, зная угол и его катет через тригонометрическую функцию:
2R = 2a / cos 60 = 2a / 0.5 = 4a
R = 2a
Найдем высоту цилиндра .
Диаметр описанной окружности образует с диагональю призмы прямоугольный треугольник, один катет которого является диаметром описанной окружности, второй — высотой цилиндра и призмы, а гипотенуза является диагональю большей стороны призмы и одновременно цилиндра.
Поскольку угол диагонали с основанием составляет 45 градусов, то второй угол равен 180 — 45 — 90 = 45 градусов.
Исходя из того, что прямоугольный треугольник равнобедренный, то высота цилиндра и призмы равна диаметру окружности. Таким образом:
V = пR 2 h
V = п*4a 2 *4a
V = п16a 3 .
Видео:Геометрия Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равнаСкачать
Задача. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма
В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найти угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
Если радиус основания равен высоте цилиндра, диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы представляет собой прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен высоте цилиндра (r), а второй катет равен стороне шестиугольника, вписанного в окружность.Согласно свойствам шестиугольника, вписанного в окружность, его сторона равна радиусу такой окружности.
То есть, каждая боковая грань данной вписанной призмы – квадрат. Диагональ грани образует с осью цилиндра, как и с боковым ребром, одинаковый угол 45°, так как ось цилиндра и боковые ребра вписанной призмы параллельны.
Видео:ЕГЭ Задание 8 Правильная шестиугольная призмаСкачать
Дана правильная шестиугольная призма вписанная в цилиндр
Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями о стереометрических фигурах; знание их свойств; знание формул для вычисления площадей поверхностей и объемов тел; умение применять эти знания при решении задач.
Ориентировочное время выполнения учащимися: 10—15 минут.
• Элементы, площадь поверхности, объем стереометрических фигур.
Особенности экзаменационных заданий по стереометрии
Задания этого вида представляют собой стереометрические задания на установление взаимосвязи между основными элементами многогранников и круглых тел, а также на использование формул для вычисления их площадей поверхностей и объемов. Вычислительной трудности задания не представляют; решение, как правило, сводится к использованию одной-двух формул. Соответствующие формулы нужно знать наизусть.
Куб — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Куб является частный случаем параллелепипеда и призмы, поэтому для него выполнены все их свойства. Кроме того, если а — длина ребра куба, — диагональ основания, — диагональ куба, — площадь полной поверхности, а V — объем куба, то справедливы формулы:
Видео:10 класс, 30 урок, ПризмаСкачать
Призма. Прямоугольный параллелепипед
Призмой (n-угольной призмой) называется многогранник, две грани которого — равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней — параллелограммы.
Правильной призмой называется прямая призма, основание которой — правильный многоугольник.
Прямой призмой называется призма, боковое ребро которой перпендикулярно плоскости основания. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру, а все боковые грани прямой призмы — прямоугольники.
Соотношения для прямой призмы
Пусть H — высота прямой призмы, AA1 — боковое ребро, — периметр основания, — площадь основания, — площадь боковой поверхности, — площадь полной поверхности, V — объем прямой призмы. Тогда имеют место следующие соотношения:
Особенности правильной шестиугольной призмы
В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник. Напомним его свойства.
— Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.
— Большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам.
— Меньшая диагональ правильного шестиугольника в раз больше его стороны.
— Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°.
— Меньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.
— Треугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60°.
Пусть вне плоскости многоугольника задана точка P. Тогда фигура, образованная треугольниками , и многоугольником вместе с их внутренними областями называется пирамидой (n-угольной пирамидой).
Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а основание ее высоты — центр этого многоугольника.
Соотношения для правильной пирамиды
Пусть H — высота правильной пирамиды, h — ее апофема, — периметр основания пирамиды, — площадь основания, — площадь боковой поверхности, — площадь полной поверхности, V — объем правильной пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:
Секущей плоскостью многогранника называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.
Тетраэдр имеет четыре грани, поэтому его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники (рис. 1). Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники (рис. 2).
Теоремы, используемые при построении сечений
Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Поэтому секущая плоскость пересекает плоскости параллельных граней по параллельным прямым.
Теорема 2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Теорема 3. Если прямая l параллельна какой либо прямой m, проведённой в плоскости то она параллельна и самой плоскости
Теорема 4. Если прямая, лежащая в плоскости сечения, не параллельна плоскости некоторой грани, то она пересекается со своей проекцией на эту грань.
Алгоритм построения сечений
Для построения сечений рекомендуем пользоваться следующим алгоритмом.
1. Если две точки секущей плоскости лежат в плоскости одной грани, то проводим через них прямую. Часть прямой, лежащая в плоскости грани — сторона сечения.
2. Если прямая a является общей прямой секущей плоскости и плоскости какой-либо грани, то находим точки пересечения прямой a с прямыми, содержащими ребра этой грани. Полученные точки — новые точки секущей плоскости, лежащие в плоскостях граней.
3. Если никакие две из данных точек не лежат в плоскости одной грани, то строим вспомогательное сечение, содержащее любые две данные точки, а затем выполняем шаги 1, 2.
Для контроля правильности построенного сечения, проверяйте, что:
— все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника;
— все стороны сечения лежат в гранях многогранника;
— в каждой грани многогранника лежит не более одной стороны сечения.
Цилиндром называется фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону.
Пусть h — высота цилиндра, r — радиус основания, Sбок — площадь боковой поверхности, Sполн — площадь полной поверхности, V — объем цилиндра. Тогда имеют место следующие соотношения:
Конусом называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет.
Пусть h — высота конуса, r — радиус основания, l — образующая, Sбок — площадь боковой поверхности, Sполн — площадь полной поверхности, V — объем конуса. Тогда имеют место следующие соотношения:
Видео:ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2Скачать
Сфера и шар
Шаром называется фигура, полученная при вращении полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр. Сферой называется поверхность шара. Пусть R — радиус шара, S — площадь сферы, V — объем шара. Тогда имеют место следующие соотношения:
Комбинации круглых тел. Вписанные сферы
Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается обоих оснований цилиндра и каждой его образующей.
Сфера называется вписанной в конус, если она касается основания конуса и каждой его образующей.
Сфера называется вписанной в усечённый конус, если она касается обоих оснований конуса и всех его образующих.
Теорема 1: В прямой круговой цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда его высота равна диаметру основания. Причём центр сферы есть середина оси цилиндра.
Теорема 2: В любой прямой круговой конус можно вписать сферу. Причём центр сферы есть точка пересечения оси конуса с биссектрисой угла наклона образующей конуса к плоскости его основания.
Теорема 3. В усечённый конус можно вписать сферу тогда и только тогда, когда он прямой круговой, и длина его образующей равна сумме длин радиусов оснований. Причём центр сферы есть середина оси усечённого конуса.
Комбинации круглых тел. Описанные сферы
Сфера называется описанной около цилиндра, если окружности его оснований лежат на сфере.
Сфера называется описанной около конуса, если вершина конуса и его основание лежат на сфере.
Теорема 1: около цилиндра можно описать сферу тогда и только тогда, когда он прямой круговой. Причём центр сферы есть середина оси цилиндра.
Теорема 2: около конуса можно описать сферу тогда и только тогда, когда он круговой. Причём центр сферы есть точка пересечения прямой, перпендикулярной к плоскости основания и проходящей через центр его, и плоскости, перпендикулярной какой-либо его образующей конуса и проходящей середину этой образующей.
Следствие: сферу можно описать около любого прямого кругового конуса. В этом случае, центр сферы — точка пересечения прямой, содержащей высоту конуса с плоскостью, перпендикулярной какой-либо из его образующих и проходящей через ее середину.
Комбинации конуса и цилиндра
Цилиндр называется вписанным в конус, если одно его основание лежит на основании конуса, а второе совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основанию. Конус в этом случае называется описанным вокруг цилиндра.
Цилиндр называется описанным вокруг конуса, если центр одного из оснований цилиндра является вершиной вершина конуса, а противоположное основание цилиндра совпадает с основанием конуса. Конус в этом случае называется вписанным в цилиндр.
Комбинации многогранников и круглых тел. Описанные сферы
Сфера называется описанной около многогранника, если все его вершины лежат на этой сфере. Многогранник называется в этом случае вписанным в сферу.
Возможность описать сферу около многогранника означает существование точки (центра сферы), равноудалённой ото всех вершин многогранника.
Теорема 1: если из центра описанной около многогранника сферы опустить перпендикуляр на какое-либо из его рёбер, то основание этого перпендикуляра разделит ребро на две равные части.
Теорема 2: если из центра описанной около многогранника сферы опустить перпендикуляр на какую-либо из его граней, то основание этого перпендикуляра попадёт в центр круга, описанного около соответствующей грани.
Теорема 3: если около многогранника описана сфера, то её центр лежит на пересечении перпендикуляров к каждой грани пирамиды, проведённых через центр окружности, описанной около соответствующей грани.
Теорема 4: если около многогранника описана сфера, то её центр является точкой пересечений всех плоскостей, проведённых через середины рёбер пирамиды перпендикулярно к этим рёбрам.
Комбинации многогранников и круглых тел. Вписанные сферы
Сфера называется вписанной в многогранник, если все его грани касаются этой сферы. Многогранник называется в этом случае описанным около сферы.
Теорема: если в многогранник с площадью поверхности S и объёмом V вписан шар радиуса r, то справедливо соотношение:
Комбинации конуса, цилиндра и многогранников
В условиях задач встречаются также следующие понятия, не входящие в школьные учебники, которые уточняются непосредственно в условиях задач. Приведем наиболее употребительные из них.
Цилиндр вписан в призму: основания цилиндра вписаны в основания призмы.
Цилиндр описан вокруг призмы: основания цилиндра описаны вокруг оснований призмы.
Цилиндр вписан в пирамиду: одно из основание цилиндра вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание цилиндра принадлежит основанию пирамиды.
Цилиндр описан вокруг пирамиды: вершина пирамиды принадлежит одному из оснований цилиндра, а другое его основание описано вокруг основания пирамиды.
Конус вписан в призму: основание конуса вписано в основание призмы, а вершина конуса принадлежит противоположному основанию призмы.
Конус описан вокруг призмы: одно из оснований призмы вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание призмы вписано в основание конуса.
Конус вписан в пирамиду: их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды. Вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой.
Конус описан вокруг пирамиды: их вершины совпадают, а основание конуса описано вокруг основания пирамиды.
📺 Видео
GeoGebra: цилиндр, вписанный в правильную призмуСкачать
Правильная шестиугольная призмаСкачать
ЕГЭ. Математика. База . Задача 16. Дана Правильная шестиугольная призма все ребра которой равны 1Скачать
Шестиугольная призма.Ортогональные и изометрическая проекции.Урок 17.(Часть2. ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)Скачать
Правильная шестиугольная призма Угол между прямымиСкачать
Правильная треугольная призмаСкачать
Построение правильной шестиугольной призмыСкачать
Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать
Стереометрия. ЕГЭ. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра. Найдите высоту цилиндраСкачать
Стереометрия. ЕГЭ. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмыСкачать
Стереометрия. ЕГЭ. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндраСкачать
Объем многогранника часть правильной шестиугольной призмыСкачать
ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 8. Правильная шестиугольная призма. УголСкачать
ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ПРИЗМЫ // СТЕРЕОМЕТРИЯСкачать
