Цилиндром ( прямым круговым цилиндром ) называется тело, состоящее из двух кругов ( оснований цилиндра ), совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие при параллельном переносе точки этих кругов. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований, называются образующими цилиндра.
Цилиндр — тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, пересекающими образующие данной поверхности.
Цилиндрическая поверхность — поверхность, которая образуется движением прямой линии вдоль некоторой кривой. Прямую называют образующей цилиндрической поверхности, а кривую линию — направляющей цилиндрической поверхности.
Боковая поверхность цилиндра — часть цилиндрической поверхности, которая ограничена параллельными плоскостями.
Основания цилиндра — части параллельных плоскостей, отсекаемые боковой поверхностью цилиндра.
Цилиндр называется прямым (См.Рис.1), если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае цилиндр называется наклонным.
Круговой цилиндр — цилиндр, основания которого являются кругами.
Прямой круговой цилиндр ( просто цилиндр ) – это тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. См.Рис.1.
Радиус цилиндра – радиус его основания.
Образующая цилиндра — образующая цилиндрической поверхности.
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.
Ось цилиндра параллельна его образующей и является осью симметрии цилиндра.
Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра. См.Рис.2.
Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и длине окружности основания.
Площадь боковой поверхности цилиндра — площадь развёртки боковой поверхности. $$S_ =2\pi\cdot rh$$ , где h – высота цилиндра, а r – радиус основания.
Площадь полной поверхности цилиндра — площадь, которая равна сумме площадей двух оснований цилиндра и его боковой поверхности, т.е. выражается формулой: $$S_ =2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , где h – высота цилиндра, а r – радиус основания.
Объем всякого цилиндра равен произведению площади основания на высоту: $$V = S\cdot h$$ Объем круглого цилиндра: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , где (r — радиус основания).
Призма есть частный вид цилиндра (образующие параллельны боковым ребрам; направляющая — многоугольник, лежащий в основании). С другой стороны, произвольный цилиндр можно рассматривать как выродившуюся («сглаженную») призму с очень большим числом очень узких граней. Практически цилиндр неотличим от такой призмы. Все свойства призмы сохраняются и в цилиндре.
- Развертки цилиндра и конуса
- Круглый прямой цилиндр, развертка и формула для ее площади
- Цилиндр как фигура геометрии
- Круглый прямой цилиндр
- Развертка круглого прямого цилиндра
- Площадь развертки цилиндра
- Задача на нахождение радиуса фигуры
- Круглый прямой цилиндр, развертка и формула для ее площади
- Цилиндр как фигура геометрии
- Круглый прямой цилиндр
- Развертка круглого прямого цилиндра
- Площадь развертки цилиндра
- Задача на нахождение радиуса фигуры
- 📺 Видео
Видео:Объём цилиндраСкачать
Развертки цилиндра и конуса
Поверхность цилиндра состоит из двух равных кругов радиуса R и прямоугольника, ширина которого равна высоте цилиндра, длина вычисляется по формуле С=2пR , где п=3,14. Изображение цилиндра и его развертка на рисунках:
Поверхность конуса состоит круга радиуса R и сегмента круга радиуса OA. Дуга АВ=2пR. Изображение конуса и его разверток показаны на рисунках:
Читайте также: Блок цилиндров описание назначение
а) Когда угол прямой имеем четверть круга. Чтобы дуга АВ=2пR, надо чтобы АО=4R
б) Когда угол развернутый имеем половину круга. Чтобы дуга АВ=2пR, надо чтобы АО=2R
в) Когда угол 120 градусов имеем треть круга. Чтобы дуга AB=2пR, надо чтобы АО=3R
Развертка «Усеченный конус»
Поверхность усеченного конуса состоит двух кругов радиуса R1 , R2 и сегмента круга радиуса OA. Дуга AB=2пR. Изображение усеченного конуса и его разверток показаны на рисунках:
а) Когда угол прямой имеем четверть круга. Чтобы дуга AA1=2пR1, и дуга BB1=2пR надо чтобы А1О=4R1, В1О=4R2
б) Когда угол развернутый имеем половину круга. Чтобы дуга AA1=2пR1, и дуга BB1=2пR надо чтобы А1О=2R1, В1О=2R2
в) Когда угол 120 градусов имеем треть круга. Чтобы дуга AA1=2пR1, и дуга BB1=2пR надо чтобы А1О=3R1, В1О=3R2
Видео:Построение развертки цилиндра. Урок 37.(Часть2.ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)Скачать
Круглый прямой цилиндр, развертка и формула для ее площади
Цилиндр — это одна из пространственных фигур, которая является объектом изучения стереометрии. Важная характеристика любой фигуры — это площадь ее поверхности. В данной статье рассмотрим, что собой представляет развертка цилиндра, а также покажем, как вычислить ее площадь.
Видео:Цилиндр - расчёт площади, объёма.Скачать
Цилиндр как фигура геометрии
Предположим, что у нас имеется некоторая плавная кривая. Это может быть круг, эллипс, парабола и так далее. Возьмем отрезок произвольной длины, который не лежит в плоскости кривой, и опишем с помощью него поверхность, следуя направлению кривой и транслируя отрезок параллельно самому себе. Полученная поверхность называется цилиндрической или просто цилиндром. Отмеченная кривая называется директрисой (направляющей), а отрезок — генератрисой (образующей).
Если к цилиндрической поверхности добавить еще две плоские одинаковые фигуры, ограничивающие эту поверхность с торцов, то полученное тело также называется цилиндром. Оно состоит из двух равных оснований и цилиндрической поверхности.
Для наглядного представления описанной фигуры ниже приведен рисунок. На нем изображен эллиптический цилиндр, имеющий полуоси a и b и высоту h (дистанция между основаниями).
Видео:Построение развёртки усечённого цилиндра.Скачать
Круглый прямой цилиндр
Пусть директрисой будет окружность некоторого радиуса. Тогда образованная генератрисой фигура будет называться круглым цилиндром. Тем не менее генератриса относительно плоскости, ограниченной директрисой, может быть направлена произвольным образом. Поэтому в общем случае говорят о наклонном круглом цилиндре. Если же генератриса будет перпендикулярна плоскостям основания, то цилиндр называется прямым. Он показан на рисунке ниже.
Здесь AB = DC — радиус цилиндра, AD = BC = h — высота фигуры. Для прямого цилиндра высота всегда равна длине образующей. Отрезок AD обозначает ось цилиндра — прямая, соединяющая две центральные точки оснований. От оси цилиндра все точки боковой поверхности лежат на одном расстоянии, равном радиусу фигуры.
Далее в статье будем рассматривать развертку поверхности цилиндра, круглого и прямого.
Видео:Развертка цилиндраСкачать
Развертка круглого прямого цилиндра
Когда говорят о развертке цилиндра, то подразумевают общую площадь его поверхности, представленную плоскими фигурами. Круглый прямой цилиндр образован двумя кругами, имеющими одинаковые радиусы, и одной боковой поверхностью, которая эти круги соединяет друг с другом.
На рисунке показан бумажный цилиндр. Как осуществляется построение развертки цилиндра? Возьмем воображаемые ножницы и отрежем одно основание вдоль окружности. Затем проделаем аналогичные действия со вторым основанием. Боковую поверхность разрежем вдоль генератрисы, то есть параллельно оси фигуры, и развернем ее. Таким образом, мы получили развертку, которая показана на рисунке ниже.
Читайте также: Блок цилиндров хонда 400
Очевидно, что она состоит из двух одинаковых кругов. Что касается цилиндрической поверхности, то в разрезанном виде она представлена прямоугольником. Развертку удобно использовать при определении площади поверхности рассматриваемой фигуры.
Видео:Задание 38. Как начертить РАЗВЕРТКУ УСЕЧЕННОГО ЦИЛИНДРАСкачать
Площадь развертки цилиндра
Выше мы показали, как можно получить развертку фигуры. Чтобы рассчитать ее площадь, необходимо сложить площади для всех ее частей, то есть для двух круглых оснований и одного прямоугольника.
Обозначим радиус основания буквой r, а высоту фигуры — буквой h. Площадь одного основания равна площади круга, то есть:
Здесь pi — число Пи, приблизительно равное 3,14.
Чтобы вычислить площадь прямоугольника, представляющего боковую поверхность фигуры в развернутом виде, необходимо знать две его стороны. Одна из них равна высоте h. Вторая, как можно догадаться, соответствует длине директрисы, то есть длине окружности. Обозначим ее l. Тогда можно записать следующие равенства:
Здесь Sb — площадь прямоугольника, равная площади цилиндрической поверхности.
Учитывая, что фигура имеет два основания, складываем рассчитанные величины, получаем общую площадь развертки цилиндра:
S = 2*So + Sb = 2*pi*r2 + 2*pi*r*h = 2*pi*r*(r + h)
Площадь S фигуры однозначно определяется через ее радиус и высоту.
Покажем, как использовать это равенство для решения геометрической задачи.
Видео:Как запомнить площадь поверхности цилиндра #математикапрофиль #геометрияегэСкачать
Задача на нахождение радиуса фигуры
Известно, что общая поверхность круглого прямого цилиндра составляет 60 см2. Чему равен радиус основания цилиндра, если его высота равна 7 см, а фигура имеет лишь одно основание.
Описанный в условии задачи цилиндр представляет собой бочку без крышки, поэтому площадь его поверхности образована не двумя, а одним основанием.
Если учесть названный факт, тогда формула для площади фигуры запишется в следующем виде:
Подставим все известные из условия величины в это равенство, получим:
Мы получили классическое полное квадратное уравнение. Его решение даст искомое значение радиуса r. Решаем через дискриминант:
D = 43,962 — 4*3,14*(- 60) ≈ 2686,08;
r = (-43,96±√2686,08)/(2*3,14) = 1,25 см
При решении уравнения отрицательный корень был отброшен, в виду его нефизического значения.
Таким образом, параметры открытого цилиндра из условия задачи составляют 7 см в высоту и 2,5 см в диаметре.
Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать
Круглый прямой цилиндр, развертка и формула для ее площади
Цилиндр — это одна из пространственных фигур, которая является объектом изучения стереометрии. Важная характеристика любой фигуры — это площадь ее поверхности. В данной статье рассмотрим, что собой представляет развертка цилиндра, а также покажем, как вычислить ее площадь.
Видео:Объем цилиндраСкачать
Цилиндр как фигура геометрии
Предположим, что у нас имеется некоторая плавная кривая. Это может быть круг, эллипс, парабола и так далее. Возьмем отрезок произвольной длины, который не лежит в плоскости кривой, и опишем с помощью него поверхность, следуя направлению кривой и транслируя отрезок параллельно самому себе. Полученная поверхность называется цилиндрической или просто цилиндром. Отмеченная кривая называется директрисой (направляющей), а отрезок — генератрисой (образующей).
Если к цилиндрической поверхности добавить еще две плоские одинаковые фигуры, ограничивающие эту поверхность с торцов, то полученное тело также называется цилиндром. Оно состоит из двух равных оснований и цилиндрической поверхности.
Для наглядного представления описанной фигуры ниже приведен рисунок. На нем изображен эллиптический цилиндр, имеющий полуоси a и b и высоту h (дистанция между основаниями).
Видео:Усеченный цилиндр: проекции сечения, изометрия, развертка поверхностиСкачать
Круглый прямой цилиндр
Пусть директрисой будет окружность некоторого радиуса. Тогда образованная генератрисой фигура будет называться круглым цилиндром. Тем не менее генератриса относительно плоскости, ограниченной директрисой, может быть направлена произвольным образом. Поэтому в общем случае говорят о наклонном круглом цилиндре. Если же генератриса будет перпендикулярна плоскостям основания, то цилиндр называется прямым. Он показан на рисунке ниже.
Читайте также: Диаметр цилиндра двигателя зил
Здесь AB = DC — радиус цилиндра, AD = BC = h — высота фигуры. Для прямого цилиндра высота всегда равна длине образующей. Отрезок AD обозначает ось цилиндра — прямая, соединяющая две центральные точки оснований. От оси цилиндра все точки боковой поверхности лежат на одном расстоянии, равном радиусу фигуры.
Далее в статье будем рассматривать развертку поверхности цилиндра, круглого и прямого.
Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать
Развертка круглого прямого цилиндра
Когда говорят о развертке цилиндра, то подразумевают общую площадь его поверхности, представленную плоскими фигурами. Круглый прямой цилиндр образован двумя кругами, имеющими одинаковые радиусы, и одной боковой поверхностью, которая эти круги соединяет друг с другом.
На рисунке показан бумажный цилиндр. Как осуществляется построение развертки цилиндра? Возьмем воображаемые ножницы и отрежем одно основание вдоль окружности. Затем проделаем аналогичные действия со вторым основанием. Боковую поверхность разрежем вдоль генератрисы, то есть параллельно оси фигуры, и развернем ее. Таким образом, мы получили развертку, которая показана на рисунке ниже.
Очевидно, что она состоит из двух одинаковых кругов. Что касается цилиндрической поверхности, то в разрезанном виде она представлена прямоугольником. Развертку удобно использовать при определении площади поверхности рассматриваемой фигуры.
Видео:усеченный цилиндр-ортогональные проекции-изометрия-разверткаСкачать
Площадь развертки цилиндра
Выше мы показали, как можно получить развертку фигуры. Чтобы рассчитать ее площадь, необходимо сложить площади для всех ее частей, то есть для двух круглых оснований и одного прямоугольника.
Обозначим радиус основания буквой r, а высоту фигуры — буквой h. Площадь одного основания равна площади круга, то есть:
Здесь pi — число Пи, приблизительно равное 3,14.
Чтобы вычислить площадь прямоугольника, представляющего боковую поверхность фигуры в развернутом виде, необходимо знать две его стороны. Одна из них равна высоте h. Вторая, как можно догадаться, соответствует длине директрисы, то есть длине окружности. Обозначим ее l. Тогда можно записать следующие равенства:
Здесь Sb — площадь прямоугольника, равная площади цилиндрической поверхности.
Учитывая, что фигура имеет два основания, складываем рассчитанные величины, получаем общую площадь развертки цилиндра:
Площадь S фигуры однозначно определяется через ее радиус и высоту.
Покажем, как использовать это равенство для решения геометрической задачи.
Видео:Простой расчёт развёртки конусаСкачать
Задача на нахождение радиуса фигуры
Известно, что общая поверхность круглого прямого цилиндра составляет 60 см 2 . Чему равен радиус основания цилиндра, если его высота равна 7 см, а фигура имеет лишь одно основание.
Описанный в условии задачи цилиндр представляет собой бочку без крышки, поэтому площадь его поверхности образована не двумя, а одним основанием.
Если учесть названный факт, тогда формула для площади фигуры запишется в следующем виде:
Подставим все известные из условия величины в это равенство, получим:
Мы получили классическое полное квадратное уравнение. Его решение даст искомое значение радиуса r. Решаем через дискриминант:
При решении уравнения отрицательный корень был отброшен, в виду его нефизического значения.
Таким образом, параметры открытого цилиндра из условия задачи составляют 7 см в высоту и 2,5 см в диаметре.
📺 Видео
Hexagonal prism math pull-up net.Easy project to visualize how 3d shapes are formed.#scienceСкачать
развертка конусаСкачать
Уроки Компас 3D.Развертка цилиндраСкачать
11 класс, 32 урок, Объем цилиндраСкачать
Как начертить развёртку поверхностей цилиндра #чертёж #развёртка #цилиндрСкачать
Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать
36. Построение развертки цилиндра с линией пересеченияСкачать
