Длинный цилиндр изготовлен из материала с замороженной однородной намагниченностью

Видео:Цилиндры ФараоновСкачать

Магнитостатика «замороженность» и петля гистерезиса

Во время изучения материала по теме «Магнетики в постоянном магнитном поле» возникло 2 вопроса:
1. Что означает термин «замороженность» в следующих контекстах:

а) «Решение данным способом целесообразно, если задано «замороженное» распределение намагниченности M(r), из которого можно сразу найти распределение «магнитных зарядов». «

б) «Длинный цилиндр радиуса R изготовлен из материала с «замороженной» однородной намагниченностью, направленной вдоль его оси. «

Если для данного состояния есть какое-то определение — поделитесь пожалуйста!

2. Только ли у ферромагнетиков В (Н) и М (Н) нелинейные и обладают гистерезисом? Для диамагнетиков и для парамагнетиков расчет производят без гистерезисной прямой или они вообще не зависят от предыстории?

Заранее благодарю за ответ!

а) Распределение намагниченности M(r) заморожено низкими температурами. Например, как в железе при комнатной температуре.
То есть, грубо говоря, намагниченность не нулевая, когда парамагнетик находится в магнитозамороженном состоянии, например, в состоянии ферромагнетика или в состоянии ферримагнетика, или антиферромагнетика или в любом другом «замороженном» состоянии. Даже состояние спинового стекла является магнитозамороженным, хотя в нем нет магнитного порядка, но M(r) не равна нулю.
Если парамагнетик находится в парамагнитной фазе, то его M(r) в отсутствии магнитного поря равно нулю, так как магнитные моменты парамагнитных атомов кристалла при такой температуре хаотически вращаются некорреллированно с ближайшими соседями.

б) M(r) равно константе. Точнее вектор намагниченности не зависит от координат точек в цилиндре, везде постоянный. Например такое бывает в состоянии насыщения ферромагнетика, феррита и других магнетиков.

2.
Маленькая ошибка. Ферромагнетик, это и есть парамагнетик. Некоторые парамагнетики при низких температурах становятся ферромагнетиками. Они замораживаются в ферромагнитной фазе, как, например, железо при температуре ниже 770 градусов.
То есть ферромагнетик, это фазовое состояние некоторых парамагнетиков. Как, например, лед, это фазовое состояние воды. Большинство парамагнетиков замораживается в другие магнитные структуры, иногда в несколько разных структур при разных температурах.

Практически у всех магнитозамороженных структур парамагнетика наблюдается нелинейное поведение намагниченности с гистерезисом под действием статического магнитного поля. У ферритов (ферримагнетиков) и скошенных антиферромагнетиков, например, кривая намагниченности в слабых полях не отличается от кривой намагниченности ферромагнетика, тоже с гистерезисом и с насыщением, и только в очень сильном магнитном поле происходит резкий скачок намагниченности. У антиферромагнетика гистерезиса нет, просто в некотором сильном поле неожиданно у образца появляется намагниченность. И т. д.

Если парамагнетик находится в парамагнитной фазе, то только в слабых полях у него намагниченность растем линейно от величины магнитного поля. Потом намагниченность всё равно плавно выходит на горизонтальное насыщение и дальше намагнитить парамагнетик в парамагнитной фазе уже невозможно.

Видео:Магнитный гистерезисСкачать

Учебник — Электричество и магнетизм. Методика решения задач — Д.Ф. Киселев, страница 50

Видео:Из чего НА САМОМ ДЕЛЕ Делают Неодимовые магниты?Скачать

Описание файла

PDF-файл из архива «Учебник — Электричество и магнетизм. Методика решения задач — Д.Ф. Киселев», который расположен в категории «книги и методические указания». Всё это находится в предмете «физика» из четвёртого семестра, которые можно найти в файловом архиве МФТИ (ГУ). Не смотря на прямую связь этого архива с МФТИ (ГУ), его также можно найти и в других разделах. .

Видео:Парадокс сужающейся трубыСкачать

Просмотр PDF-файла онлайн

Видео:Объём цилиндра измерили с помощью мензурки (см. рисунок). Масса цилиндра равна 320 г. - №27231Скачать

Текст 50 страницы из PDF

Далее, зная распределениеэтих зарядов, можно найти поле Н, используя, по возможности, известное решение аналогичной электростатической задачи.322ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 10.3.8 (базовая задача). Постоянный магнит в видецилиндра радиуса R и длины 2l изготовлен из материала с однородной намагниченностью М, направленной вдоль его оси. Найти величину индукции и напряженности магнитного поля на оси цилиндра вне и внутри него, считая, что намагниченность не зависит отмагнитного поля.РешениеМетод молекулярных токов. Так как намагниченность однородна, то объемные молекулярные токи отсутствуют, а на боковой поверхности цилиндра имеется круговой поверхностный молекулярныйток плотности i’ = М.

Создаваемое этими токами поле В аналогичнополю соленоида с такой же поверхностной плотностью тока.Величина магнитной индукции на оси соленоида определяетсяизвестной формулой1B = µ 0 In (cos α1 − cos α 2 )2(глава 7, задача 7.3.5), где α1 и α2 – углы, под которыми видныкрайние точки соленоида из точки наблюдения A (рис. 10.7). Привыбранном здесь одинаковом направлении отсчета углов α1 и α2данная формула без изменений пригодна для точек как внутри, таки снаружи соленоида.

Подставляя в нее In = i′ = M, получим1B ( z ) = µ 0 M (cos α1 − cos α 2 ) =21l−zl+z.= µ0 M +22  R 2 + (l − z ) 22R + (l + z ) Величина напряженности Н магнитного поля внутри магнитаопределяется соотношением (10.1), что даетB( z )1 l−zl+z−M = M+− 2 .µ02  R 2 + (l − z ) 2R 2 + (l + z ) 2Отметим, что для нахождения Н внутри магнита соотношение(10.10) применить нельзя, поскольку намагниченность не зависит от Н.Вне магнита согласно (10.10) H(z) = B(z)/µ0.H ( z) =Метод «магнитных зарядов».

Ввиду однородности намагниченности внутри магнита магнитные заряды возникают только на323Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном полеего торцах и, согласно (10.18),имеют поверхностные плотности σм = ±М. Таким образом, поле Н создается двумяпротивоположно заряженными соосными тонкими дисками, расположенными на расстоянии 2l друг от друга.Электростатическим аналогом, применимым к этой задаче, является равномерно заряженный тонкий диск, электрическое поле на оси которого было найдено в главе 1 (задача 1.3.6) и равноxα2а)MA α1zM1M201- M2б)Bµ00H-llz01,−Рис.

10.7.Красчетуиндукциии22 R + z0 напряженности магнитного поля на осицилиндрического постоянного магнитагде z0 – расстояние от центра (задача 10.3.8);диска, σ – поверхностная а) Система координат,плотность электрического за- б) Зависимость В(z) и Н(z) на оси магнитаряда.Произведем стандартную замену (10.19)Е→ Н, σ/ε0 → σми перейдем в нашу систему координат (рис.

10.7 а). Для правого торцас положительным зарядом надо взять z0 = l – z, а для левого, с отрицательным зарядом, z0 = l + z. Складывая поля от обоих торцов с учетомих направления, получаем ту же, приведенную выше, формулу дляН(z).Графики зависимостей В(z) и Н(z) на оси магнита приведены наlрис. 10.7 б для случая = 10.RПоля В для соленоида и цилиндрического магнита совпадают каквнутри, так и снаружи их. Поля Н совпадает у них только снаружи.Внутри соленоида Н = В/µ0, а в магните Н противоположно по направлению, а его величина быстро уменьшается с удалением от торцов. Для тонкого длинного магнита можно считать, что Н = 0 в большей части его объема, кроме областей в непосредственной близостиEz =σ2ε 0324ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1его торцов, где Н испытывает скачок в пределах ± M . Отметим, что2все найденные величины относятся к осевой линии цилиндра.1l−zl+z;+Ответ: B ( z ) = µ 0 M 22  R 2 + (l − z ) 22R + (l + z ) 1 l−zl+z.Вне магнита: H ( z ) = M +22 2  R 2 + (l − z ) 2R + (l + z ) l−zl+z1 Внутри :H ( z) = M +− 2 .2  R 2 + (l − z ) 2R 2 + (l + z ) 2Задача 10.3.9.

Длинный цилиндр радиуса R изготовлен из материала с «замороженной» однородной намагниченностью, направленной вдоль его оси. Индукция магнитного поля в центре торцаданного цилиндра равна В1. Найти индукцию В2 в центре тонкогодиска толщины h (h > R даннаяµ pформула переходит в B = 0 m3 , что совпадает с известным выра2π zжением для магнитной индукции на оси магнитного диполя.Ответ: B =326ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1 MhВблизи центра диска B (0) = µ 0, что при тонком диске2R( h R > R) индукция магнитного поля на оси z, перпендикулярной оси диполя (Глава 7, задача7.3.3, замечание 2), равна:B = B x = µ 0 ( H + M ) = µ 0 M (1 −329Гл.

Видео:Изготовление Цилиндров фараона своими руками! Даром ! Смотреть всем! Помощь своему организму!ЦилиндрСкачать

Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. — Электричество и магнетизм. Методика решения задач, страница 50

Видео:ЦентрНаучФильм СССР, Физика в половине десятого, 1971Скачать

Описание файла

PDF-файл из архива «Д.Ф. Киселев, А.С. Жукарев, С.А. Иванов и др. — Электричество и магнетизм. Методика решения задач», который расположен в категории «книги и методические указания». Всё это находится в предмете «физика» из третьего семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Видео:Спираль Архимеда построениеСкачать

Просмотр PDF-файла онлайн

Видео:Галилео. Эксперимент. Разрезание магнитного поляСкачать

Текст 50 страницы из PDF

Магнитное поле, создаваемоепостоянным магнитом с фиксированным распределением намагниченности M(r), можно найти, заменив магнит эквивалентным распределением молекулярных токов, в общем случае как объемныхj’ = rot M (10.11), так и поверхностных i’ = [n (М2 – М1)] (10.16).Индукция магнитного поля рассчитывается по найденному распределению молекулярных токов аналогично методам нахождения индукции магнитного поля токов в вакууме, рассмотренным в главе 7.Метод «магнитных зарядов». Решение данным способом целесообразно, если задано «замороженное» распределение намагниченности M(r), из которого можно сразу найти распределение «магнитных зарядов», как поверхностных (10.18) σм = – (n⋅(M2 – M1)),так и объемных (10.17) ρм (r) = – div M.

Далее, зная распределениеэтих зарядов, можно найти поле Н, используя, по возможности, известное решение аналогичной электростатической задачи.322ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 10.3.8 (базовая задача). Постоянный магнит в видецилиндра радиуса R и длины 2l изготовлен из материала с однородной намагниченностью М, направленной вдоль его оси. Найти величину индукции и напряженности магнитного поля на оси цилиндра вне и внутри него, считая, что намагниченность не зависит отмагнитного поля.РешениеМетод молекулярных токов.

Так как намагниченность однородна, то объемные молекулярные токи отсутствуют, а на боковой поверхности цилиндра имеется круговой поверхностный молекулярныйток плотности i’ = М. Создаваемое этими токами поле В аналогичнополю соленоида с такой же поверхностной плотностью тока.Величина магнитной индукции на оси соленоида определяетсяизвестной формулой1B = µ 0 In (cos α1 − cos α 2 )2(глава 7, задача 7.3.5), где α1 и α2 – углы, под которыми видныкрайние точки соленоида из точки наблюдения A (рис. 10.7). Привыбранном здесь одинаковом направлении отсчета углов α1 и α2данная формула без изменений пригодна для точек как внутри, таки снаружи соленоида. Подставляя в нее In = i′ = M, получим1B ( z ) = µ 0 M (cos α1 − cos α 2 ) =21l−zl+z.= µ0 M +22  R 2 + (l − z ) 22R + (l + z ) Величина напряженности Н магнитного поля внутри магнитаопределяется соотношением (10.1), что даетB( z )1 l−zl+z−M = M+− 2 .µ02  R 2 + (l − z ) 2R 2 + (l + z ) 2Отметим, что для нахождения Н внутри магнита соотношение(10.10) применить нельзя, поскольку намагниченность не зависит от Н.Вне магнита согласно (10.10) H(z) = B(z)/µ0.H ( z) =Метод «магнитных зарядов».

Ввиду однородности намагниченности внутри магнита магнитные заряды возникают только на323Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном полеего торцах и, согласно (10.18),имеют поверхностные плотности σм = ±М. Таким образом, поле Н создается двумяпротивоположно заряженными соосными тонкими дисками, расположенными на расстоянии 2l друг от друга.Электростатическим аналогом, применимым к этой задаче, является равномерно заряженный тонкий диск, электрическое поле на оси которого было найдено в главе 1 (задача 1.3.6) и равноxα2а)MA α1zM1M201- M2б)Bµ00H-llz01,−Рис. 10.7.Красчетуиндукциии22 R + z0 напряженности магнитного поля на осицилиндрического постоянного магнитагде z0 – расстояние от центра (задача 10.3.8);диска, σ – поверхностная а) Система координат,плотность электрического за- б) Зависимость В(z) и Н(z) на оси магнитаряда.Произведем стандартную замену (10.19)Е→ Н, σ/ε0 → σми перейдем в нашу систему координат (рис.

10.7 а). Для правого торцас положительным зарядом надо взять z0 = l – z, а для левого, с отрицательным зарядом, z0 = l + z. Складывая поля от обоих торцов с учетомих направления, получаем ту же, приведенную выше, формулу дляН(z).Графики зависимостей В(z) и Н(z) на оси магнита приведены наlрис. 10.7 б для случая = 10.RПоля В для соленоида и цилиндрического магнита совпадают каквнутри, так и снаружи их. Поля Н совпадает у них только снаружи.Внутри соленоида Н = В/µ0, а в магните Н противоположно по направлению, а его величина быстро уменьшается с удалением от торцов.

Для тонкого длинного магнита можно считать, что Н = 0 в большей части его объема, кроме областей в непосредственной близостиEz =σ2ε 0324ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1его торцов, где Н испытывает скачок в пределах ± M . Отметим, что2все найденные величины относятся к осевой линии цилиндра.1l−zl+z;+Ответ: B ( z ) = µ 0 M 22  R 2 + (l − z ) 22R + (l + z ) 1 l−zl+z.Вне магнита: H ( z ) = M +22 2  R 2 + (l − z ) 2R + (l + z ) l−zl+z1 Внутри :H ( z) = M +− 2 .2  R 2 + (l − z ) 2R 2 + (l + z ) 2Задача 10.3.9.

Длинный цилиндр радиуса R изготовлен из материала с «замороженной» однородной намагниченностью, направленной вдоль его оси. Индукция магнитного поля в центре торцаданного цилиндра равна В1. Найти индукцию В2 в центре тонкогодиска толщины h (h > R даннаяµ pформула переходит в B = 0 m3 , что совпадает с известным выра2π zжением для магнитной индукции на оси магнитного диполя.Ответ: B =326ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1 MhВблизи центра диска B (0) = µ 0, что при тонком диске2R( h R

Видео:Галилео. Эксперимент. Цилиндр МагнусаСкачать

«ЭЛЕКТРИЧЕСКТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Допущено УМО по классическому университетскому образованию РФ в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, . »

Ввиду подразумеваемой тонкости линейных проводников токи I и I можно считать пространственно совпадающими, поэтому влияние магнитной среды на поле вне проводника эквивалентно Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле увеличению тока в проводнике в µ раз:

Поэтому и в этом случае индукция магнитного поля В снаружи проводников также увеличится в µ раз по сравнению с индукцией В0 от этих линейных токов в вакууме.

Если же и провод сделан из магнетика, то его собственная намагниченность не влияет на индукцию вне провода, поскольку полный молекулярный ток через поперечное сечение самого проводника (объемный ток плюс поверхностный) всегда равен нулю (подробнее см. задачу 10.3.3).

Важно отметить, что все вышесказанное справедливо только в случае, если однородный магнетик бесконечен, или же занимает область, границы которой совпадают с линиями исходного поля В или линиями совпадающего с ним поля Н0, какими они были бы в отсутствие магнитной среды (в вакууме). То же относится к случаю, когда среда неоднородна (т.е. проницаемость µ = µ(r) зависит от координат), но линии Н0 совпадают с поверхностями постоянства µ. В этих случаях везде div M = 0, поле Н в магнетике определяется только токами проводимости и будет таким же, как в вакууме.

Поэтому решение для таких задач целесообразно начинать с нахождения поля Н, используя формулы для расчета магнитных полей от токов в вакууме (глава 7), убрав из них множитель µ0. Затем, зная Н(r), поле векторов М(r) и В(r) можно найти по формулам (10.9) и (10.10) соответственно. Благодаря магнетику индукция В возрастет в µ раз, а вместе с ней также возрастут в µ раз и магнитные потоки через контуры и, соответственно, величины их коэффициентов самоиндукции и взаимной индукции (глава 8).

Если же линии Н0 не параллельны границам магнетика или поверхностям постоянства µ, нахождение магнитного поля требует точного решения краевой задачи. В некоторых случаях, когда можно достаточно просто найти распределение молекулярных токов или «магнитных зарядов» по границам магнетика, задача допускает и элементарное решение (см. задачу 10.3.5).

Задача 10.3.2 (базовая задача). Прямой бесконечно длинный немагнитный провод радиуса а, по которому течет ток I, находится в непроводящей бесконечной однородной среде с магнитной проЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ницаемостью µ. Найти намагниченность М(r), магнитную индукцию В(r), напряженность поля Н(r) и молекулярный ток I (r).

Решение В силу осевой симметрии силовые линии векторов Н и В являются окружностями, на которых их модули Н и В постоянны (рис. 10.2). Записывая теорему (10.5) о циркуляции вектора Н для контура радиуса r, получаем Рис. 10.2. К расчету магнитного поля, созИз-за однородности среды объемные даваемого бесконечным немагнитным молекулярные токи отсутствуют, но имепроводом в магнитной среде (задача 10.3.2). I – ток проводимости в проводе, I – поверхностный молекулярный ток где а – радиус провода. Направление i при µ 1 совпадает с направлением тока в проводе. Полный поверхностный молекулярный ток Таким образом, влияние намагничиваемой среды на магнитное поле учитывается молекулярным током, который добавляется к току проводимости, текущему по проводнику. Магнитная индукция вне провода определяется величиной эффективного полного тока Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле Задача 10.3.3. Бесконечный прямолинейный однородный провод радиуса a, сделанный из материала с магнитной проницаемостью µ1, находится в непроводящей бесконечной однородной среде с магнитной проницаемостью µ2.

По проводу течет постоянный ток I. Найти напряженность поля Н(r), магнитную индукцию В(r), намагниченность М(r), объемную j (r) и поверхностную i плотность молекулярных токов внутри провода и снаружи.

В силу осевой симметрии системы линии полей Н, В и М являются окружностями, на которых модули Н, В и М постоянны (рис. 10.3). Обозначим переменные внутри провода индексом 1, вне него – 2.

Область r a. Решение для Н(r), В(r) и М(r) в наружной области разобрано в предыдущей задаче, в полученных ответах нужно только поставить индекс 2.

Область r a. Записывая теорему (10.5) о циркуляции вектора Н для контура радиуса r, получаем откуда следует где I(r) обозначает ТОК, протекающий через круг радиуса r. Отсюда получаем Ввиду магнитной однородности Рис. 10.3. К расчету магнитного материала провода плотность моле- поля, создаваемого бесконечным

Видео:Теплоизолированный цилиндр разделён подвижным теплопроводящим поршнем на две части. В одной - №29369Скачать

314 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

где j = – плотность токов проводимости. Полная поверхностa ная плотность молекулярного тока на границе провод-среда (10.16):

Картина линий для полей Н и В и качественный график их зависимости от r показаны на рис. 10.3 для случая µ1 µ2.

Замечание. Полный поверхностный молекулярный ток можно представить в виде суммы вкладов I 2 пов и I1пов соответственно от внешней и внутренней приграничной намагниченности Таким образом, поверхностный молекулярный ток, обусловленный намагниченностью материала провода, равен Полный же объемный молекулярный ток в проводе I1 об = a2j’ = (µ1 –1)I. Итак, Это – следствие указанного выше общего положения, что молекулярный ток через площадь любого сечения намагниченного тела равен нулю. Поэтому суммарный молекулярный ток, существенный для расчета поля вне провода, равен I = (µ2 –1)I, то есть определяется только внешней средой и не зависит от магнитной проницаемости самого провода.

Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле Задача 10.3.4. По проводящей бесконечной плоскости течет постоянный ток с поверхностной плотностью i (рис. 10.4). С одной стороны к плоскости прилегает бесконечная пластина конечной толщины из материала с магнитной проницаемостью µ. Найти во всем пространстве магнитную индукцию В, напряженность Н, намагниченность М и молекулярные токи.

Решение по направлению от нас в плосi кость рисунка. В отсутствие магH нетика векторы индукции в силу дулю, параллельны плоскости и противоположно направлены по ее разным сторонам (B1 и –В1 на Рис. 10.4. К расчету магнитного поля рис. 10.4). Величина индукции со- в пластине из магнетика, прилегающей к плоскости с током (задача ставляет B1 = µ0i (глава 7, зада- 10.3.4) ча 7.3.7), а напряженность магнитного поля H1 = 1 = i. Поскольку полный молекулярный ток через поперечное сечение пластины равен нулю, то добавление пластины магнетика не меняет вышеуказанных значений магнитного поля снаружи от нее.

Внутри магнитного слоя напряженность поля H2 = H1 (следствие сохранения тангенциальной компоненты вектора Н на границе), а индукция Согласно (10.9, 10.10), намагниченность M = (µ – 1)H1 = (µ – 1)i.

Поскольку намагниченность однородна, объемные молекулярные токи отсутствуют, и имеются только поверхностные молекулярные токи, противоположно направленные на верхней и нижней поверхности, с плотностью i = M = (µ – 1)i.

Ответ: Направления векторов магнитного поля и токов покаЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 10.3.5 (базовая задача). Прямой тонкий бесконечно длинный провод малого радиуса а, по которому течет ток I, лежит на поверхности плоского непроводящего однородного магнетика с магнитной проницаемостью µ, занимающего половину пространства (рис.10.5а). Найти намагниченность М, магнитную индукцию В, напряженность Н и молекулярные токи во всем пространстве.

В данной задаче граница магнетика не совпадает с круговыми линиями поля Н0 от линейного тока I в вакууме, поэтому поле Н не будет совпадать с Н0. Путь решения задачи – найти распределение молекулярных токов и на основании его выразить поле индукции В.

В силу однородности среды и отсутствия в ней токов проводимости объемные молекулярные токи отсутствуют (10.15). Рассмотрим распределение поверхностных молекулярных токов.

Возьмем произвольный участок поверхности, не прилегающий к проводу (окрестность точки А на рис.10.5а). Протекающий по нему поверхностный молекулярный ток i создал бы у поверхности этого участка только тангенциальные компоненты индукции Bt1,2 = ± µ 0i (см. глава 7, задача 7.3.7). Молекулярные токи, текущие на всей остальной поверхности магнетика, и ток проводимости, текущий по проводу, в окрестности точки А могут создать только нормальные компоненты поля В.

На поверхности магнетика токов проводимости нет, поэтому тангенциальные компоненты поля Н на границе должны быть неB B прерывны. Учитывая, что H1t = 1t и H 2 t = 2 t, это граничное условие дает Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле откуда следует i = 0, то есть поверхностные молекулярные токи на плоской границе отсутствуют.

Рис. 10.5. К нахождению магнитного поля от провода с током, лежащего на границе плоского полубесконечного магнетика (задача 10.3.5):

а – распределение молекулярного тока I’ и линии поля В. I – ток проводимости;

б – эквивалентная задача о магнитном поле В прямолинейного тока в вакууме; в – линии поля Н На границе самого провода с магнитной средой (r = a) имеется скачок тангенциальной компоненты намагниченности, вызывающий молекулярный ток с поверхностной плотностью i = M(а) и полной величины I = iа, который добавляется к току проводимости I, образуя с ним суммарный эффективный линейный ток Ввиду тонкости провода эффективный ток также можно считать линейным. Поэтому, заменяя поле, создаваемое магнитной средой, полем молекулярных токов, приходим к задаче о находящемся в вакууме линейном тонком бесконечном проводе с эффективным током I (рис. 10.5б). Линии магнитной индукции вокруг него B будут окружностями, а величина В в зависимости от расстояния до провода r определяется из (10.14):

Поскольку В = µµ0Н и М = Н, линии полей Н и М также будут окружностями. Отметим, что все это справедливо на расстояниях от провода, много больших его радиуса а, когда несимметричность распределения молекулярных токов около провода становится несущественной.

Ввиду того, что эффективный ток I пока не известен, для нахождения величины полей В(r) и Н(r) запишем теорему (10.5) о

Видео:Германий - Полуметалл, Создающий СКОРОСТНОЙ ИНТЕРНЕТ!Скачать

318 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

циркуляции вектора Н, выбрав в качестве контура окружность радиуса r:

Читайте также: Чери куку сколько цилиндров

откуда следует где а – радиус провода. Линии поля Н показаны на рис. 10.5в. Полный молекулярный ток на границе провода с магнетиком, представляющей в сечении полуокружность длины а, равен Замечание. Векторное поле Н не является чисто вихревым, и его линии терпят разрыв на границе магнетика.

Задача 10.3.6. Длинный по сравнению со своим радиусом соленоид заполнен неоднородным парамагнетиком с восприимчивостью, зависящей от расстояния r от по закону (r) = ar2, где а = const. На оси соленоида индукция магнитного поля равна В0.

Найти намагниченность M(r), магнитную индукцию B(r) и плотность объемных j'(r) и поверхностных i’ молекулярных токов внутри соленоида. Краевыми эффектами пренебречь.

Введем правую систему декартовых координат xyz с осью Z, совпадающей с осью соленоида. В вакууме в соленоиде с длиной, Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле много большей его радиуса, линии напряженности магнитного поля Н0 параллельны его оси, а значит и величина поля Н0 в соленоиде везде одинакова (кроме области вблизи его концов). Поскольку линии поля Н0 параллельны поверхностям постоянства величины µ(r) = const, поле Н при введении магнетика останется без изменения, и в данном случае его величина определяется заданным по условию значением в центре так как в центре µ(0) = 1. Исходя из известного значения Н, с помощью (10.9), (10.10) получаем Рис. 10. 6. К расчету магнитного поля соленоида, заполненного неоднородным магнетиком (задача 10.3.6).

а – вид с торца соленоида: линии объемных (j’) и поверхностных (i’) молекулярных токов;

б – центральное осевое сечение соленоида: линии намагниченности М.

Чтобы найти молекулярные токи, можно воспользоваться интегральным соотношением (10.12) о циркуляции вектора М.

В силу осевой симметрии задачи линии молекулярных токов j’ являются окружностями, лежащими в перпендикулярных сечениях соленоида (рис.10.6а). Рассмотрим в плоскости xz прямоугольный контур длины l и высоты r, одна сторона которого совпадает с осевой линией (r = 0) (пунктир на рис.10.6б). Выберем направление обхода так, чтобы положительная нормаль к контуру совпадала с направлением орта e цилиндрической системы координат. Циркуляция вектора М по данному контуру равна

Видео:Индукция магнитного поля | Физика 9 класс #37 | ИнфоурокСкачать

320 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Приравнивая циркуляцию вектора М молекулярному току I’ через данный контур (10.12), получаем соотношение Дифференцируя его по r, получаем Разумеется, j'(r) можно найти и непосредственно из дифференциального соотношения (10.11) j’ = rot M, исходя из найденного выше выражения для M(r). Учитывая, что намагниченность имеет только z-компоненту, в цилиндрических координатах ротор будет иметь -компоненту, равную На границе магнитной среды (r = R) плотность поверхностного молекулярного тока найдем из (10.16): i’ = i’ = M(R) = aR2 0.

Направление линий молекулярных токов j’ и i’ показано на рис. 10.6.

Ответ: M(r) = ar2 0, B(r) = (1+ar2) B0, j'(r) = –2ar 0, Задача 10.3.7. Найти индуктивность соленоида длины l и радиуса a (l a), содержащего N витков, если он заполнен парамагнетиком с неоднородной магнитной проницаемостью µ(r) = 1 + r, где r – расстояние от оси соленоида, = const.

Поскольку линии поля внутри пустого соленоида Н0 параллельны поверхностям постоянства величины µ(r), поле Н при введении магнетика останется без изменения и будет, как и в вакууме, Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле равно H = nI, где n = N / l – плотность намотки, а магнитная индукция Магнитный поток через один виток контура равен потоку через поперечное сечение S соленоида:

Полный поток через всю обмотку Ф = NФ1 = LI, откуда где V – объем соленоида.

Замечание. Если µ = 1 ( = 0), то получается известная формула для индуктивности соленоида в вакууме L = µ 0 n 2 V (Глава 8, задача 8.3.10).

Применение метода молекулярных токов и магнитных зарядов при расчете магнитного поля систем с постоянными магнитами Метод молекулярных токов. Магнитное поле, создаваемое постоянным магнитом с фиксированным распределением намагниченности M(r), можно найти, заменив магнит эквивалентным распределением молекулярных токов, в общем случае как объемных j’ = rot M (10.11), так и поверхностных i’ = [n (М2 – М1)] (10.16).

Индукция магнитного поля рассчитывается по найденному распределению молекулярных токов аналогично методам нахождения индукции магнитного поля токов в вакууме, рассмотренным в главе 7.

Метод «магнитных зарядов». Решение данным способом целесообразно, если задано «замороженное» распределение намагниченности M(r), из которого можно сразу найти распределение «магнитных зарядов», как поверхностных (10.18) м = – (n(M2 – M1)), так и объемных (10.17) м (r) = – div M. Далее, зная распределение этих зарядов, можно найти поле Н, используя, по возможности, известное решение аналогичной электростатической задачи.

Видео:Циклотрон: устройство и принцип работыСкачать

322 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 10.3.8 (базовая задача). Постоянный магнит в виде цилиндра радиуса R и длины 2l изготовлен из материала с однородной намагниченностью М, направленной вдоль его оси. Найти величину индукции и напряженности магнитного поля на оси цилиндра вне и внутри него, считая, что намагниченность не зависит от магнитного поля.

Решение Метод молекулярных токов. Так как намагниченность однородна, то объемные молекулярные токи отсутствуют, а на боковой поверхности цилиндра имеется круговой поверхностный молекулярный ток плотности i’ = М. Создаваемое этими токами поле В аналогично полю соленоида с такой же поверхностной плотностью тока.

Величина магнитной индукции на оси соленоида определяется известной формулой (глава 7, задача 7.3.5), где 1 и 2 – углы, под которыми видны крайние точки соленоида из точки наблюдения A (рис. 10.7). При выбранном здесь одинаковом направлении отсчета углов 1 и данная формула без изменений пригодна для точек как внутри, так и снаружи соленоида. Подставляя в нее In = i = M, получим Величина напряженности Н магнитного поля внутри магнита определяется соотношением (10.1), что дает Отметим, что для нахождения Н внутри магнита соотношение (10.10) применить нельзя, поскольку намагниченность не зависит от Н.

Вне магнита согласно (10.10) H(z) = B(z)/µ0.

Метод «магнитных зарядов». Ввиду однородности намагниченности внутри магнита магнитные заряды возникают только на Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле имеют поверхностные плотности м = ±М. Таким обраа) зом, поле Н создается двумя противоположно заряженными соосными тонкими дисками, расположенными на расM стоянии 2l друг от друга.

Электростатическим анало- дача 1.3.6) и равно где z0 – расстояние от центра (задача 10.3.8);

диска, – поверхностная а) Система координат, плотность электрического за- б) Зависимость В(z) и Н(z) на оси магнита ряда.

Произведем стандартную замену (10.19) и перейдем в нашу систему координат (рис. 10.7 а). Для правого торца с положительным зарядом надо взять z0 = l – z, а для левого, с отрицательным зарядом, z0 = l + z. Складывая поля от обоих торцов с учетом их направления, получаем ту же, приведенную выше, формулу для Н(z).

Графики зависимостей В(z) и Н(z) на оси магнита приведены на рис. 10.7 б для случая = 10.

Поля В для соленоида и цилиндрического магнита совпадают как внутри, так и снаружи их. Поля Н совпадает у них только снаружи.

Внутри соленоида Н = В/µ0, а в магните Н противоположно по направлению, а его величина быстро уменьшается с удалением от торцов. Для тонкого длинного магнита можно считать, что Н = 0 в большей части его объема, кроме областей в непосредственной близости

Видео:Эффект Магнуса и уравнение БернуллиСкачать

324 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

его торцов, где Н испытывает скачок в пределах ± M. Отметим, что все найденные величины относятся к осевой линии цилиндра.

Задача 10.3.9. Длинный цилиндр радиуса R изготовлен из материала с «замороженной» однородной намагниченностью, направленной вдоль его оси. Индукция магнитного поля в центре торца данного цилиндра равна В1. Найти индукцию В2 в центре тонкого диска толщины h (h R), отрезанного от этого цилиндра.

Так как намагниченность М однородна, то объемные молекулярные токи отсутствуют, а на боковой поверхности цилиндра имеется круговой поверхностный молекулярный ток плотности i’ = М.

Создаваемое этими токами поле В аналогично полю соленоида с такой же поверхностной плотностью тока. Величина магнитной индукции в центре торца соленоида равна B1 = µ 0i = µ 0 M (глава 7, задача 7.3.5, замечание 2). Из этого соотношения находим веB Поле в центре тонкого диска с той же намагниченностью можно представить как поле кругового витка с молекулярным током I’ = hi’ = hM (см. рис. 10.8). По известной формуле (глава 7, задача 7.3.3, замечание 1) величина индукции в центре витка равна Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле Задача 10.3.10. Постоянный магнит имеет форму тонкого диска радиуса R и толщины h (h R). Магнитный момент диска pm перпендикулярен его плоскости (рис. 10.8). Предполагая, что намагниченность диска однородна, найти величину магнитной индукции на оси диска в зависимости от расстояния z от его центра.

Так как намагниченность однородна, то объемные молекулярные токи отсутствуют, а на боко- Рис. 10.8. К расчету вой поверхности диска в соответствии с (10.16) магнитного поля на течет поверхностный молекулярный ток плотно- оси нормально насти i’ = М. Полный поверхностный молекулярный магниченного диска (задача 10.3.10) ток, текущий по периметру диска, равен Поскольку диск тонкий, этот ток можно считать линейным и создаваемое им магнитное поле будет совпадать с полем на оси кольца с током I = I’, определяемым следующей формулой (см. Глава 7, задача 7.3.3) Подставляя сюда значение силы молекулярного тока I’, окончательно получаем Замечание. На больших расстояниях от диска z R данная формула переходит в B = 0 m, что совпадает с известным выраz жением для магнитной индукции на оси магнитного диполя.

Видео:Уравнение БернуллиСкачать

326 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Вблизи центра диска B (0) = µ 0, что при тонком диске ( h R 1) дает B(0) 0. Такой же близкой к нулю будет величина вектора индукции и внутри диска. Это легко сразу получить из рассмотрения задачи методом «магнитных зарядов». Однородно намагниченный диск эквивалентен тонкому «конденсатору», заряженному с поверхностной плотностью зарядов м = ±М. Как известно из электростатики, напряженность поля у наружной стороны пластины конденсатора вдали от его краев Н 0, а внутри Н = м = М, откуда согласно (10.1) следует B = µ0(H – M) = 0.

Задача 10.3.11 (базовая задача). Постоянный магнит в виде длинного цилиндра с однородной «замороженной» намагниченностью М, направленной вдоль его оси, разрезан пополам и половинки разведены на расстояние, малое по сравнению с его радиусом а.

Найти: 1) магнитную индукцию В1 и напряженность магнитного Н1 поля в зазоре, а также в остальных частях магнита вдали от зазора (В2 и Н2); 2) силу F притяжения двух половинок магнита.

Решение методом магнитных зарядов ±M (10.18). Таким образом, зазор эквивалентен тонкому плоскому электрическому конденсатору. Напряженность 1.3.9). Произведя замены Е Н1, Рис. 10.9. К нахождению Направление вектора Н1 совпадает и намагниченности М с направлением В1.

Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле Вне «конденсатора» поле H близко к нулю, т.е. внутри обеих половинок магнита вдали от зазора Н2 = 0 и В2 = В1 = µ0(Н2 + М) = µ0М.

Силу, действующую на половинки магнита, можно найти как притяжение двух пластин заряженного конденсатора по аналогии с соответствующей электростатической задачей:

Данную силу можно найти и из магнитного давления на границе магнитных сред, используя (10.29), (10.23):

Решение методом молекулярных токов Так как намагниченность однородна, объемные молекулярные токи отсутствуют, а на боковой поверхности цилиндрического магнита имеется круговой поверхностный молекулярный ток плотности i’ = М. Магнитная индукция B внутри длинного цилиндра будет та же, что и внутри соленоида с поверхностным током i = i’, т.е.

B = µ0i = µ0M. При этом, в отличие от соленоида, напряженность магнитного поля внутри цилиндра равна нулю:

Если поперечный зазор в цилиндре узкий, то можно пренебречь краевыми эффектами, то есть считать, что силовые линии В не отклоняются от продольного направления. Тогда вектор В в зазоре сохранит ту же величину B = µ0M в силу сохранения нормальной компоненты Вn на границе сред, при этом внутри зазора Н1 = B/µ0 = M, а поле Н вдали от зазора останется нулевым.

Задача 10.3.12. Тонкий диск толщины h и радиуса R (h R) имеет однородную «замороженную» намагниченность с вектором намагниченности М, лежащим в его плоскости. Найти:

1) магнитную индукцию В и напряженность магнитного поля Н в центре диска;

Видео:Неодим - Металл, из которого делают МАГНИТЫ!Скачать

328 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

2) в дипольном приближении индукцию В на оси диска на расстоянии z от него.

Решение Ввиду разрыва нормальной компоненты вектора М на боковой поверхности диска согласно (10.18) появляются «магнитные заряды» с поверхностной плотностью м = M cos (рис. 10.10).

1) Пусть ось ОX параллельна вектору намагниченности. Ввиду симметрии задачи магнитное поле в x-компоненту. Рассмотрим бесконечно малый участок боковой поверхности диска, расположенный под углом площадь hR d. На нем находится который (по аналогии с точечным электрическим зарядом) создает в Рис. 10.10. К расчету магнитного ей, равной Интегрируя по углу, получаем величину поля Н в центре диска и, затем, магнитную индукцию 2) Магнитный момент диска равен pm = MV= MR2h и направлен по оси х. В дипольном приближении (z R) индукция магнитного поля на оси z, перпендикулярной оси диполя (Глава 7, задача 7.3.3, замечание 2), равна:

Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле Задача 10.3.13 (базовая задача). Шар радиуса R имеет однородную «замороженную» намагниченность с вектором намагниченности М (рис. 10.11). Найти магнит- z ную индукцию В(r) и напряженность снаружи (2) шара.

Решение Задачу удобно решить методом Поскольку намагниченность внутри шара однородна, объемных магнитных зарядов нет, но на поверх- – ности согласно (10.18) возникают заРис. 10.11. К нахождеряды с поверхностной плотностью (рис. 10.11). Аналогичная электроста- 10.3.13) тическая задача для однородно поляризованного шара была решена выше (Глава 4, задача 4.3.17) где было получено, что внутри шара напряженность электрического поля где Р – вектор поляризации, а снаружи поле совпадает с полем точечного диполя, расположенного в центре шара, имеющего дипольный момент p = R 3P.

Произведя замены (10.19) Е Н, M, p pm, для области внутри шара, получаем

Видео:Как сделать солнечный Мендосинский моторСкачать

330 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

где p m = R M – вектор магнитного дипольного момента шара.

Замечание. Магнитное поле, порождаемое однородной намагниченностью внутри конечных тел, называется размагничивающим полем (поскольку оно направлено против направления намагниченности). При однородной намагниченности тела это поле будет однородным только для тел в форме эллипсоида или его частных случаев – шара или сфероида.

Для эллипсоида размагничивающее поле можно записать в виде H р = NM, где N – тензор размагничивающих факторов (коэффициентов). В главных осях эллипсоида тензор N диагонален, и сумма диагональных элементов всегда равна 1. Поэтому в шаре все коэффициенты размагничивания равны 1 3. Аналогичным способом можно решить задачу для длинного цилиндра с поперечной намагниченностью (без учета неоднородности поля на торцах, то есть, аппроксимируя его длинным сфероидом). В этом случае оба коэффициента размагничивания в его поперечном сечении равны 1 2, а продольный равен нулю (это используется далее в задаче 10.4.9).

Тонкую плоскую пластину без учета неоднородности поля на ее краях можно аппроксимировать сплюснутым сфероидом. Тогда размагничивающий фактор в перпендикулярном к плоскости пластины направлении будет равен 1, а в плоскости пластины – 0.

Задачи для ферромагнетиков с гистерезисом магнитной Метод решения. Для таких сред µ const, поэтому при нахождении полей нужно учитывать нелинейную зависимость намагниГл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле ченности M(H) или индукции B(H) от напряженности поля Н внутри ферромагнетика, задаваемую петлей гистерезиса ферромагнитного материала. Для связи векторов B, H и М нужно использовать общее соотношение (10.1) H = (10.6), (10.7). При наличии симметрии удобно использовать закон полного тока – интегральное соотношение для поля Н (10.5).

Задача 10.3.14 (базовая задача). Ферромагнитный материал имеет остаточную намагниченность Mr и коэрцитивную силу Hc, а участок петли гистерезиса, соответствующий размагничиванию, можно приближенно аппроксимировать четвертью эллипса (рис. 10.12). Из данного материала изготовлен постоянный магнит в виде тонкого тора среднего радиуса R с тонким зазором ширины h (h R). Найти индукцию магнитного поля в зазоре.

Решение нению с его средним радиусом пренебрежем зависимостью магнитного поля по толщине тора.

Пусть Н1 – средняя напряженность магнитного поля внутри тора, Н2 – напряженность в зазоре, а силовые линии полей магнитной индукции В и полей Н1,2 ввиду большой магнитной прони- Рис. 10.12. Идеализироцаемости ферромагнетика не выходят ванный участок петли наружу и являются окружностями. За- гистерезиса ферромагнепишем закон полного тока (10.5) для тика (задача 10.3.14) циркуляции вектора Н по окружности радиуса R:

Непрерывность нормальной компоненты индукции Вn на границах тонкого зазора дает соотношение Связь M1и Н1 определяется заданной формой кривой размагничивания (эллипс):

Видео:Закон Бернулли в реальной жизниСкачать

332 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Решая данную систему из этих трех уравнений, получаем B = µ0H2, где Нахождение магнитной энергии и сил в магнитных средах Метод решения. Энергию магнитного поля можно найти из соотношений (10.23), (10.24). Объемная плотность сил и магнитное давление определяются из (10.27)-(10.29). Если магнитное поле создается контуром с током, то для нахождения сил удобно использовать энергетический метод (Глава 9, (9.8)):

где A – механическая работа, совершаемая искомыми силами при малом изменении конфигурации системы, а WI = const – происходящее при этом изменение магнитной энергии при условии, что ток через контур поддерживается постоянным, L – соответствующее малое изменение индуктивности контура.

Задача 10.3.15 (базовая задача). Длинный и тонкий вертикально расположенный соленоид, намотанный на тонкостенную немагнитную трубку с плотностью намотки n (витков/м), погружен одним концом в парамагнитную жидкость с плотностью. После включения тока I жидкость в трубке поднялась на высоту h. Найти магнитную проницаемость жидкости. Капиллярными эффектами пренебречь.

Решение В данной задаче поле Н, строго говоря, не будет совпадать с Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле полем пустого соленоида Н0, поскольку линии Н0 перпендикулярны поверхности магнитной жидкости. Действительно, на этой границе нормальная компонента поля Н будет иметь скачок H 2 n H1n = M n, вызванный полем возникающих на границе поверхностных «магнитных зарядов» плотности = Mn. Однако ввиду малости поперечного сечения соленоида поле от этих «магнитных зарядов» будет быстро спадать с удалением от границы (по аналогии с графиком Н(z) в задаче 10.3.8). Поэтому в остальной части длинного соленоида поле Н не изменится и будет, как и в вакууме, равно H = nI.

Тогда магнитная индукция будет B1 = µ0H над жидкостью, и B2 = µµ0H – внутри жидкости. Поскольку эти величины не зависят от положения уровня жидкости, удобно решить задачу, исходя из магнитного давления на границе раздела (10.27):

Так как w2 w1, то при смещении границы вверх энергия магнитного поля возрастает (за счет работы источника ЭДС, поддерживающего ток в соленоиде). Поскольку токи остаются постоянными, из (9.8) следует, что механическая работа также положительна, то есть силы давления направлены вверх. Это давление, вызывающее подъем жидкости, при равновесии должно компенсироваться гидростатическим давлением p = gh.

Замечание 1. То, что B1 B2, не противоречит условию непрерывности нормальной компоненты вектора B на границе раздела, которое всегда выполняется. Приведенные выражения для величины полей B1,2 и Н справедливы при достаточно большом удалении от границы жидкости. На самой границе поле неоднородно, вектор В не перпендикулярен к границе, и часть линий индукции В из нижней части, где ее величина больше и линии идут гуще, выходит за пределы соленоида, не проходя в верхнюю часть.

Замечание 2. Несмотря на неоднородность поля в окрестности границы раздела сред, при нахождении магнитного давления надо использовать величины полей, взятых вдали от границы. Действительно, при малом смещении приграничной области, где поля неЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ однородны, вся она смещается как целое, и ее магнитная энергия остается постоянной. Полная же энергия меняется только из-за изменения объемов верхней и нижней части, где поля однородны и были найдены выше.

Задача 10.3.16. Бесконечная плоская пластина-магнит толщины l однородно намагничена так, что вектор намагниченности М перпендикулярен ее плоскости. Найти магнитную энергию W единицы площади пластины.

Решение Ввиду однородности намагниченности объемных молекулярных токов нет. Поскольку вектор М перпендикулярен поверхности, поверхностные молекулярные токи также отсутствуют, и ввиду отсутствия токов проводимости и молекулярных токов индукция магнитного поля В везде равна нулю, как внутри, так и вне пластины.

Учитывая, что внутри пластины В = µ0(Н + М) = 0, получаем Н = –М. Это – размагничивающее поле, которое соответствует нормальному размагничивающему фактору пластинки N 1 (см.

замечание к задаче 10.3.13).Поскольку магнитное поле создается не сторонними источниками, а порождается самой намагниченностью, то согласно (10.24) плотность энергии На единицу площади пластины приходится энергия Ответ: W = wl = µ0M 2l.

Задача 10.3.17. В длинный соленоид вставлен по его оси тонкий по сравнению с радиусом соленоида парамагнитный стержень радиуса а с магнитной проницаемостью µ. Один конец стержня находится в середине соленоида, второй совпадает с его торцом. Найти силу, действующую на стержень, если в центре соленоида магнитная индукция равна В0.

Решение Введем декартову систему координат с осью Z, направленной по оси соленоида. Пусть стержень расположен в положительной Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле части оси Z. В длинном соленоиде на его оси индукция магнитного поля меняется от В0 в середине до величины В1 = В0 в центре торца (глава 7, задача 7.3.5, замечание 2). Поскольку вектор индукции направлен вдоль оси соленоида Z и все величины зависят только от координаты z, то согласно (10.27) объемная плотность сил, действующих в стержне Дифференциал величины силы, действующей на элемент объема dV, равен Проекцию вектора силы на ось Z находим, интегрируя в пределах от В0 до В1= В0.

Знак минус означает, что сила направлена против оси Z, то есть стремится втянуть парамагнитный стержень в центр соленоида.

Задача 10.3.18. Найти силу притяжения двух половинок тонкого тора среднего радиуса R, имеющего квадратное поперечное сечение площади S (R S ), сделанного из материала с большой магнитной проницаемостью µ (µ 1). На торе намотано N витков провода, по которому идет ток I.

Решение Силы в данной задаче можно найти несколькими способами. Используем здесь энергетический метод (глава 9, (9.8)) Раздвинем половинки тора на расстояние x, малое по сравнеЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ нию с размером поперечного сечения (рис. 10.13). Учитывая, что элементар- I ная работа при малом раздвижении половинок A = Fdx, и выражая энергию получаем x I = const 2 x притяжения половинок кругНайдем зависимость индуктивности лого электромагнита (задача контура L от х. Поскольку µ велико 10.3.18) (µ 1), будем считать, что магнитное поле сконцентрировано внутри тора, силовые линии полей магнитной индукции В и напряженности Н являются окружностями, и они не искажаются при пересечении тонкого зазора. Ввиду малой толщины тора пренебрежем также зависимостью полей от радиуса.

Пусть Н1 – напряженность магнитного поля в нижней половине, Н2 – в верхней, Н3 – в зазоре. Запишем закон о циркуляции вектора Н (10.5) для окружности радиуса R, учитывая, что ее поверхность пересекают N витков с током I:

Поскольку зазор тонкий и нормальная компонента индукции Вn непрерывна на границах зазора, модуль вектора В будет одинаков везде, как в торе, так и в зазоре. Подставляя в последнее соотношение следующие выражения полей Н1-3 через В и решая получившееся для В уравнение, находим Учитывая, что полный поток магнитной индукции через обмотку находим индуктивность L контура Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле Отсюда получаем Когда половинки тора полностью прижаты (х = 0), сила будет равна Отрицательный знак силы означает, что она направлена против увеличения расстояния х, то есть вызывает взаимное притяжение половинок тора.

Замечание. Силу притяжения можно легко найти и как притяжение «магнитных зарядов», образующихся на границах зазоров, как было рассмотрено в задаче 10.3.11. Используя полученное там выражение для силы и найденную здесь величину поля В, а также учитывая наличие двух зазоров, получаем В использованном приближении (µ 1, (µ 1) µ 1 ) это выражение совпадает с приведенным выше.

Читайте также: Как восстановить газовый цилиндр в теплице

Задача 10.3.19. Найти период малых горизонтальных крутильных колебаний стрелки компаса вокруг вертикальной оси, перпендикулярной бесконечному горизонтальному проводу с током I.

стрелка расположена над проводом на расстоянии h от него

Видео:Объединенный институт ядерных исследований, 1958Скачать

338 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

(рис. 10.14а). Стрелку считать тонким цилиндром длины 2l с однородной продольной постоянной намагниченностью M и плотностью.

ской стрелки нормальная компонента намагниченности имеет разрыв, из-за чего на них появятся поверхностные б) ная величина «заряда» на ка- F ждом торце будет qм = ±S, где S – площадь основания цилиндра.

Ввиду тонкости цилинд- колебаний стрелки компаса над прора-стрелки можно считать, водом с током (Задача 10.3.19).

что магнитное поле, создав) вид сверху ваемое проводом, на поверхности торца стрелки однородно и имеет индукцию где – угол между осью Z и перпендикуляром, опущенным из торца на ось провода (рис. 10.14б).

Силы со стороны магнитного поля будут приложены к торцам стрелки, направлены по касательным к силовой линии (пунктир на рис. 10.15б) и равны F1,2 = F = B(r) qм.

Для расчета момента этих сил относительно оси Z требуется их Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле х-компонента где l’ = l cos – проекция половины стрелки на ось х.

При отклонении стрелки от положения равновесия на угол возникает возвращающий момент магнитных сил (рис. 10.14в). В приближении малых колебаний ( 1, l l’ ) момент этих сил будет пропорционален углу и равен где через D обозначен данный коэффициент пропорциональности.

Уравнение малых колебаний стрелки имеет вид где J = m( 2l ) 2 = Sl 3 – момент инерции тонкого цилиндра длины 2l относительно оси, проходящей через его центр. Для круговой частоты колебаний получаем Замечание. При малом размере магнитной стрелки по сравнению с расстоянием до провода (l h) можно использовать дипольное приближение. Дипольный момент стрелки-цилиндра равен pm = MV = 2MSl, а действующий на него вращающий момент Nz = [pmB]z = – pmB sin, где B = 0. Подставляя эти выражения в уравнение колебаний, получаем 2 = 0, что совпадает с найh

340 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

денным выше ответом при § 10.4. Задачи для самостоятельного решения Задача 10.4.1. Бесконечная плоская пластина-магнит намагничена так, что вектор намагниченности М перпендикулярен ее плоскости. Найти магнитную индукцию В и напряженность поля Н внутри и вне пластины.

Ответ: внутри В = 0, Н = –М; снаружи В = 0, Н = 0.

Задача 10.4.2. Бесконечная плоская пластина-магнит намагничена так, что вектор намагниченности М параллелен ее плоскости.

Найти магнитную индукцию В и напряженность поля Н внутри и вне пластины.

Ответ: внутри В = µ0М, Н = 0; снаружи В = 0, Н = 0.

Задача 10.4.3. Плоский постоянный магнит граничит с вакуумом и имеет постоянную намагниченность М, параллельную поверхности. Снаружи у поверхности вектор магнитной индукции имеет величину В и образует угол с нормалью к поверхности.

Найти вектор магнитной индукции В1 внутри магнита (модуль и угол с нормалью).

Задача 10.4.4. По бесконечному проводу круглого сечения радиуса a, находящемуся в вакууме, течет постоянный ток I. Магнитr ная проницаемость материала провода равна µ(r) = 1 +. Найти напряженность поля Н(r), магнитную индукцию В(r), намагниченность М(r), объемную j'(r) и поверхностную i’ плотность молекулярных токов и полную величину этих токов I’об и I’.

Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле Указание. Для нахождения молекулярных токов можно рассчитать rot M в декартовых координатах, либо использовать выражение ротора в цилиндрических координатах, в которых, учитывая, что вектор М имеет только круговую — компоненту:

Другим способом является использование интегрального соотношения (10.12), как это было сделано в задаче 10.3.6.

Задача 10.4.5. Круговой тонкий виток, в котором течет ток силы I, лежит на плоской границе раздела вакуума и магнетика с магнитной проницаемостью µ. Найти индукцию магнитного поля на оси контура в зависимости от расстояния z от его центра.

Указание: см. решение задачи 10.3.5.

индукция в отсутствие магнетика.

Задача 10.4.6. Диск радиуса R из ферромагнетика (µ 1) помещен в магнитное поле с вектором индукции В0, параллельным его оси. Оценить, при какой толщине l диска индукция в центре диска будет отличаться от В0 не более, чем на величину В = В0, = 0,01.

Указание: считая в первом приближении, что внутри диска В = В0, найти поправку В как вклад от поверхностного молекулярного тока, текущего по боковой поверхности диска (см. рис. 10.10).

342 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 10.4.7. Шар радиуса R имеет однородную «замороженную» намагниченность с вектором намагниченности М (рис. 10.11).

Найти: магнитную индукцию В и напряженность магнитного поля Н в центре шара. Решить методом молекулярных токов и методом «магнитных зарядов».

Задача 10.4.8. В однородное магнитное поле с вектором индукции В0 поместили однородный шар из магнетика с магнитной проницаемостью µ. Найти напряженность Н, индукцию В магнитного поля и намагниченность М внутри шара.

Указание. См. решение задачи 10.3.13.

Задача 10.4.9. Бесконечно длинный цилиндр из однородного изотропного магнетика с магнитной проницаемостью µ поместили в однородное постоянное магнитное поле с вектором индукции В0, который перпендикулярен оси цилиндра. Найти величину намагниченности магнетика.

Указание. См. замечание к задаче 10.3.13.

Задача 10.4.10. Электромагнит с тон- Рис.10.15. К расчету магнитноким сердечником квадратного сечения со го поля вне зазора электромагстороной a, сделанный из материала с нита (задача 10.4.10) большой магнитной проницаемостью µ, имеет тонкий плоский поперечный зазор ширины l, в котором создается магнитное поле с индукцией В. Оценить в дипольном приближении магнитную индукцию в точке А, лежащей в плоскости зазора на большом расстоянии r от его центра (r а, R а l, где R – средний радиус тора).

Указание. Использовать метод «магнитных зарядов».

Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле Задача 10.4.11. Два длинных тонких цилиндрических магнита одинакового радиуса, имеющие одинаково направленные продольные намагниченности М1 и М2 соответственно, соединены торцами. Найти величину индукции магнитного поля В1,2 и напряженности Н1,2 внутри обоих магнитов. Векторы намагниченности считать постоянными и независящими от магнитного поля внутри магнитов.

Ответ: В1 = µ0 М1; В2 = µ0 М2 ; Н1,2 = 0.

Данное решение справедливо вдали от торцов цилиндров. На торцах поле Н испытывает скачки в пределах ± М1, ± |M1 – M2| и ± M соответственно и быстро уменьшается к нулю с удалением от торцов.

Задача 10.4.12. Длинный тонкий цилиндрический соленоид с плотностью намотки n (витков/м) приставлен торцом к длинному тонкому цилиндрическому железному сердечнику того же радиуса с большой магнитной проницаемостью.

Найти величину намагниченности М сердечника, индукции магнитного поля В и напряженности Н внутри соленоида (1) и железного сердечника (2), если по соленоиду течет ток силы I.

Ответ: В1 = В2 = µ0nI, Н1 = nI, Н2 0, М nI. Данное решение справедливо вдали от торцов соленоида и сердечника.

Указание. Считать, что из-за большой величины магнитной проницаемости сердечника линии индукции В, выходящие из соленоида, концентрируются в сердечнике и не выходят из его боковой поверхности.

Задача 10.4.13. Намагниченность насыщения материала составляет Мs и достигается в поле насыщения Hs. Из этого материала изготовлен тонкий тор среднего радиуса R, в котором сделан малый воздушный зазор l (l R). На тор намотано N витков провода.

1) При какой величине силы тока Is через обмотку наступит насыщение материала? 2) Как будет меняться индукция в зазоре при I Is?

344 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

R с узким поперечным воздушным зазором.

Материал имеет остаточную намагниченность Mr и коэрцитивную силу Hc, а кривую (рис. 10.16).

1) Какова ширина зазора hmax, при дальнейшем увеличении которой величина индукция в зазоре начнет резко умень- Рис. 10.16. Идеализированшаться? ная петля гистерезиса постоянного магнита (задача индукции В в зазоре при его ширине hmax?

Задача 10.4.15. Постоянный магнит имеет вид кольца среднего радиуса R с узким воздушным поперечным зазором ширины h. Материал имеет остаточную наHc H магниченность Mr и коэрцитивную силу Hc, а участок кривой гистерезиса на участке размагничивания можно аппроксимиро- Рис.10.17. Идеализированвать прямой линией (рис. 10.17). ный участок размагничивания петли гистерезиса ферНайти магнитную индукцию внутри ромагнетика (задача 10.4.15) зазора, пренебрегая рассеянием магнитного поля на его краях.

Гл. 10. Магнетики в постоянном магнитном поле Задача 10.4.16. Бесконечная плоская пластина-магнит толщины l намагничена так, что вектор намагниченности М образует угол с нормалью к ее поверхности. Найти магнитную энергию W единицы площади пластины.

Задача 10.4.17. Длинный соленоид длины l и радиуса R с плотностью намотки n витков на метр и протекающим по нему током I погружен горизонтально до середины в парамагнитную жидкость с магнитной проницаемостью µ. Найти давление, действующее на поверхность жидкости со стороны магнитных сил и полную силу, действующую на соленоид.

Ответ: p = (1 2 ) µ0(µ – 1)n 2I 2; F = 2lRp, сила направлена вниз.

Задача 10.4.18. Небольшой шарик объема V из парамагнитного материала с проницаемостью µ переместили из точки с магнитной индукцией В в точку, где магнитное поле отсутствует. Какую работу совершили магнитные силы?

Задача 10.4.19. Найти силу притяжения двух половинок тонкого тора радиуса R, имеющего квадратное поперечное сечение площади S (R S ), сделанных из материалов с большой магнитной проницаемостью µ1 и µ2 соответственно. Обмотка на торе имеет N витков и по ней идет ток I.

346 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 10.4.20. В сердечнике тороидального электромагнита радиуса R I и круглого сечения площади S (R S ) имеется малый зазор шириl ны l (l S ), в который помещена пластинка из того же материала (рис. 10.18). По обмотке из N витков течет ток I. Магнитная проницаемость Рис. 10.18. Сердечник элекматериала µ (µ 1). тромагнита с магнитной прокладкой в зазоре (задача Какую работу нужно совершить 10.4.20) против магнитных сил, чтобы удалить пластинку из зазора?

Задача 10.4.21. Бесконечный прямолинейный тонкий провод расположен на расстоянии а над плоской бесконечной поверхностью магнетика с проницаемостью µ. Найти силу, действующую на единицу длины провода, если по нему течет ток силы I.

1. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм, 42. – М., Оникс 2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. т.III Электричество. – М., Физматлит, 2006, §§ 58-61, 73.

3. Калашников С.Г. Электричество. – М.: Физматлит, 2003, 4. Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Физматлит, Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RL, RC И RLC ЦЕПЯХ.

СВОБОДНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

В КОНТУРАХ

Переходные процессы – процессы, которые возникают в электрических цепях после того, как один из параметров цепи испытал скачкообразное (очень быстрое) изменение. Например, подключенный к цепи источник ЭДС (генератор тока или напряжения) формирует прямоугольный импульс напряжения или тока, или в цепи c подключенным постоянным источником ЭДС происходит коммутация отдельных элементов цепи с помощью ключей.

Квазистационарный ток – изменяющийся со временем ток, удовлетворяющий следующим условиям:

1) Для периодического тока: линейные размеры цепи l много меньше длины волны где T – период изменения процесса со временем, с – скорость распространения электромагнитной волны по цепи, которая близка к скорости света.

Для переходного непериодического процесса: линейные размеры цепи должны удовлетворять условию где t – длительность интервала времени, за который происходит скачкообразное изменение параметра цепи. Это условие позволяет пренебречь конечностью скорости распространения электромагнитных полей и считать, что в любом сечении последовательной цепи сила тока одинакова. Например, для синусоидального тока время скачка параметров t

Для того чтобы считать изменение параметров цепи мгновенными, длительность скачка параметров должна быть много меньше – времени релаксации цепи: t. Величина зависит от вида цепи и параметров входящих в нее элементов, и будет рассмотрена ниже при решении конкретных задач.

348 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

2) Токи смещения малы по сравнению с токами проводимости где – удельное сопротивление среды, в которой распространяется ток, – её диэлектрическая проницаемость. Для металлических проводников это условие заведомо хорошо выполняется при выполнении условия 1 ( 1018 c 1 [1, §48]).

Предположение о квазистационарности токов позволяет при анализе процессов, происходящих в цепи, использовать те же методы, что и в цепях постоянного тока (подробнее см. главу 6).

Рассмотрим взаимосвязь между током и напряжениями на отдельных участках цепи (резистор, конденсатор, индуктивность, которые рассматриваются как элементы с сосредоточенными параметрами).

UR – напряжение на резисторе; IR – ток, протекающий через этот резистор; R – величина сопротивления резистора.

UC – напряжение на конденсаторе; IС – ток, протекающий через конденсатор; Q – заряд конденсатора, С – емкость конденсатора.

Из соотношений (11.2) следует:

где UС (0) – напряжение на конденсаторе в момент времени t = 0.

Замечания 1) Выбор момента времени t = 0 является, вообще говоря, произвольным. За этот момент времени удобно выбрать тот момент, когда происходит скачкообразное изменение одного из параметров цепи.

2) Напряжение и заряд на конденсаторе всегда является непрерывной функцией времени, даже в тех случаях, когда ток IС испытывает очень быстрое («скачкообразные») изменения. Это связано с Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

тем, что никакая система не может изменять свою энергию мгновенно.

UL –напряжение на катушке индуктивности, IL – ток, протекающий через катушку; L – индуктивность катушки. Напряжение на катушке индуктивности UL равно взятой с обратным знаком ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке. Поэтому можно либо учитывать напряжение на катушке индуктивности в сумме с другими напряжениями в контуре, либо включить этот элемент в состав ЭДС, действующих в контуре. Из соотношения (11.4) следует:

где IL(0) – сила тока через катушку в момент времени t = 0.

Реальная катушка наряду с индуктивностью L, обладает также омическим (активным) сопротивлением r, и напряжение UrL на ней равно Замечание. Ток, протекающий через катушку индуктивности, всегда является непрерывной функцией времени, даже в тех случаях, когда напряжение UL испытывает очень быстрые («скачкообразные») изменения. Как и конденсатор, катушка индуктивности не может изменять свою энергию мгновенно.

Генератор напряжения – устройство, напряжение на выходе которого E(t) не зависит от величины тока, протекающего через этот генератор. Внутреннее сопротивление такого генератора принимается равным нулю, а в реальности – это источник ЭДС с внутренним сопротивлением, много меньшим сопротивления внешней цепи.

Генератор тока – устройство, которое обеспечивает силу тока в цепи I(t), не зависящую от напряжений на элементах этой цепи.

Такой генератор имеет бесконечное внутреннее сопротивление, а в реальности – это источник ЭДС с внутренним сопротивлением, значительно превышающим сопротивление внешней цепи.

Правила Кирхгофа (более подробно см. §6.1 главы 6)

350 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Правило I. Для каждого узла цепи алгебраическая сумма сил токов равна нулю:

При суммировании знак входящего тока (обычно «+») принимается противоположным знаку выходящего («–»).

Правило II. При обходе любого замкнутого контура, выбранного в разветвленной цепи, алгебраическая сумма напряжений на элементах цепи (резисторе, конденсаторе, катушке индуктивности) равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в данный контур:

Для использования данных формул сначала нужно выбрать направления токов в каждой ветви цепи, что можно сделать произвольным образом (истинные направления токов определяются по знакам полученных решений). Как и для резисторов, напряжения на конденсаторах и катушках индуктивности понимаются как разность потенциалов на их концах в выбранном направлении протекания тока.

Записывая правила Кирхгофа (11.7) и (11.8) с учётом выражений для напряжений на элементах цепи – резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности (11.1) – (11.6), приходим к системе дифференциальных уравнений. Из этой системы можно получить одно уравнение цепи – дифференциальное уравнение, которое (в неявном виде) описывает изменение во времени одной изучаемой величины Х (тока, напряжения, заряда). Решение этого уравнения даёт зависимость от времени Х(t) в явном виде. В механике аналогами уравнения цепи и его решения являются уравнение движения и закон движения соответственно.

Установившееся значение исследуемой величины X – значение изучаемой величины Х (тока, напряжения, заряда: X = I, U, Q) при t, т.е. после окончания всех переходных процессов.

Начальные условия X(0), X (0) – такие значения исследуемой величины X(t) и её производной по времени X (t), которые они имеют сразу после “скачка” (изменения параметров цепи), который произошёл при t = 0.

Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

RC- и RL-цепи Если цепь состоит из резисторов и конденсаторов (RC-цепь) или из резисторов и катушек индуктивности (RL-цепь), то в ней могут происходить только релаксационные непериодические процессы. В зависимости от сложности цепи, уравнение цепи может быть любого порядка, начиная с первого.

В курсе общей физики рассматриваются только такие цепи, в которых уравнение цепи является дифференциальным уравнением либо первого, либо второго порядка.

Уравнение цепи первого порядка В этом случае уравнение цепи можно записать в виде:

Решение такого уравнения имеет следующий вид где А –- константа, определяемая из начального условия Х(0). Так как X (0) = X + A, решение уравнения (11.9) окончательно можно записать следующим образом:

Например, если в качестве исследуемой величины выбрана сила тока в цепи, то уравнение цепи имеет вид а его решение Величина, входящая в уравнение (11.9) и в его решение (11.10) определяет время, за которое величина X (t ) X уменьшается в e раз. Эта величина называется временем релаксации.

Она является одной из основных характеристик цепи, определяется только параметрами цепи и не зависит от начальных условий.

Уравнение цепи второго порядка Его можно представить в виде:

Решением этого уравнения является функция

352 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

в которой константы и определяются параметрами самой цепи, а константы А1 и В1 находятся из начальных условий.

При t значение исследуемой величины, как следует из (11.10) и (11.12), стремится к установившемуся значению Х. Таким образом, решение уравнения цепи в обоих случаях описывает переходный процесс установления силы тока в цепи (или напряжения на элементах цепи) после скачкообразного изменения параметров (например, замыкания или размыкания ключа).

RLC-цепи Если электрическая цепь содержит конденсатор, катушку индуктивности и резистор, то в ней при определенном соотношении параметров элементов могут происходить колебательные процессы.

Такую цепь называют колебательным контуром.

Если в цепи присутствуют и резисторы, и катушки индуктивности, и конденсаторы, то уравнение цепи имеет вид дифференциального уравнения порядка не ниже второго. В простых случаях, рассматриваемых обычно в курсе общей физики, это – уравнение второго порядка, которое имеет вид:

В зависимости от соотношения параметров цепи решение этого уравнения может описывать как свободные колебания, так и релаксационные (непериодические) процессы.

Величина, входящая в уравнение (11.13) определяет диссипацию энергии в цепи и называется коэффициентом затухания. Она определяется параметрами цепи (R, L, C). Как и в механических колебательных системах, потери энергии в электрической цепи приводят к затухающим колебаниям. В электрическом колебательном контуре энергия уменьшается за счет выделения тепла на активном сопротивлении (резисторе). В рассматриваемом квазистационарном приближении потери на излучение малы и не учитываются. Величина Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

является временем релаксации контура, т.е. временем, за которое амплитуда собственных затухающих колебаний уменьшается в е раз.

Величина 0 зависит только от индуктивности катушки и емкости конденсатора и определяет частоту незатухающих (гармонических) свободных колебаний в контуре, если бы в нем не было потерь (см. (11.14), (11.15)).

В зависимости от соотношения коэффициента затухания и частоты 0 уравнение (11.13) описывает следующие различные процессы, происходящие в цепи.

Если в цепи имеются только L и С элементы, то = 0. В этом случае реализуются свободные незатухающие гармонические колебания. При этом уравнение цепи имеет вид:

где 0 = 1 LC – частота собственных гармонических колебаний.

Решением уравнения (11.14) является где Х0 – амплитудное значение исследуемой величины, 0 – начальная фаза колебаний. Константы Х0 и 0 находятся из начальных условий, т.е. из значений переменной X(t) и её производной при t = 0.

В реальной цепи потери энергии всегда существуют, т.е. всегда, но потери за один период могут быть малыми по сравнению с запасом энергии в контуре, и тогда приближенно можно считать колебания гармоническими.

Этот случай возможен, только если в цепи присутствуют все L, С и R элементы. При этом реализуются свободные затухающие колебания.

Если константа X, входящая в уравнение (11.13), отлична от нуля (X 0), то после затухания колебаний (при t ) соответствующая переменная (ток в цепи, напряжения на элементах цепи или установившиеся заряды на конденсаторах) не равна нулю (аналог в механике – колебания со смещённым от нуля положением

354 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

равновесия из-за приложения к колебательной системе постоянной силы).

Решение уравнения (11.13) в этом случае имеет вид где константы Х0 и 0, как и в предыдущем случае, находятся из начальных условий, т.е. из значений переменной X(t) и её производной при t = 0, а = 2 2 – частота собственных затухающих колебаний.

При очень слабом затухании ( 0) обычно говорят о величине X 0 et как о зависящей от времени амплитуде затухающих колебаний.

Выражение (11.16) удобно преобразовать к виду:

где а и b – константы, для определения которых используются начальные условия:

В этом случае колебания в цепи отсутствуют, и реализуется переходной процесс установления напряжения на элементах цепи (силы тока в цепи).

Аналогично (11.11) решение уравнения цепи в этом случае имеет вид:

а константы А и В определяются из начальных условий.

В частном случае 2 = 0 решение уравнения (11.13) имеет вид Основными характеристиками, которыми определяются потери энергии в любой колебательной системе, в том числе и при описании затухающих колебаний, являются: коэффициент затухания (определен выше), логарифмический декремент затухания и добротность Q.

Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

Логарифмический декремент затухания определяется соотношением где Xn и Xn+1 – два последовательных максимальных отклонения (амплитуды) колеблющейся величины в одну и ту же сторону. Учитывая, что X n = e ( t1 + nT ), где t1 = arctg, Т – период затухающих колебаний, получаем Логарифмический декремент затухания – это величина, обратная числу колебаний Ne, за которые амплитуда колебаний убывает в e 2,7 раза:

Например, если = 0,01, то амплитуда уменьшится в e раз после 100 колебаний.

Коэффициент затухания, частота колебаний и логарифмический декремент затухания связаны следующим соотношением Добротность колебательной системы Q определяется соотношением При малом затухании ( 0) добротность можно также представить как где W – средняя за период энергия, запасённая в цепи, W – уменьшение энергии за один период колебаний. При очень большой величине добротности амплитуда уменьшается медленно, и форма колебания мало отличается от гармонической.

356 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Если при описании затухающих колебаний использовать в качестве основных параметров частоту 0 и добротность Q, то частоту собственных затухающих колебаний можно представить в виде Мощность, подводимая к элементу цепи, равна где U(t) и I(t) –напряжение на данном элементе (сопротивлении, конденсаторе, катушке) и ток через этот элемент. Эта мощность может выделяться на резисторе в виде тепла или расходоваться на зарядку конденсатора и создание магнитного поля в катушке индуктивности.

§ 11.2 Основные типы задач (классификация) 11.1. Задачи на определение временных зависимостей напряжения на элементах цепи или силы тока при переходных процессах в RC и RL-цепях.

11.2. Задачи на определение временных зависимостей зарядов, напряжений и токов в RLC-цепях.

11.3. Расчет энергетических характеристик процессов (мощность, энергия, количество выделенного тепла и т. д.).

§ 11.3 Методы решения и примеры решения задач Методы решения задач типа 11.1 и 11.2 практически совпадают и сводятся к процедурам, описанным ниже.

Из условия задачи нужно определить переменную Х, поведение которой следует исследовать (ток, напряжение, заряд).

Читайте также: Great wall 3505100k00b1 цилиндр главный тормозной gw hover под abs

Далее для указанной в условиях задачи схемы записать правила Кирхгофа (11.7), (11.8) и, пользуясь соотношениями (11.1) – (11.6), получить дифференциальное уравнение для искомой величины Х.

Используя математические преобразования, привести полученное дифференциальное уравнение цепи к стандартному виду (11.9), (11.11), (11.13) и определить порядок уравнения.

Записать начальные условия для Х(0) и Х (0). Для определения установившегося стационарного значения Х нужно в полученном Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

уравнении цепи приравнять нулю все производные по времени и решить это уравнение.

Исходя из типа полученного уравнения цепи, выбрать решение в виде (11.10), (11.12), (11.15), (11.16) — (11.19).

Из начальных условий найти все неизвестные коэффициенты в выбранном решении.

Проанализировать решение и написать ответ.

Задачи на определение временных зависимостей напряжения на элементах цепи или силы тока при переходных процессах Базовыми задачами этого раздела являются задачи 11.3.1, 11.3.2, 11.3.3.

Задача 11.3.1 (базовая задача). Резистор R, незаряженный конденсатор C и генератор постоянного напряжения E соединены последовательно (последовательная RC-цепь, рис. 11.1 а). Определить зависимость напряжения на конденсаторе от времени после замыкания ключа К.

Решение По второму правилу Кирхгофа кания ключа в любой момент времени должна быть равна E:

Согласно выражениям (11.1) и (11.2) Так как все элементы цепи соединены последовательно, сила тока на всех участках цепи одинакова Выберем в качестве исследуемой величины напряжение на конденсаторе UC. Совершив обход контура по выбранному направЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ лению тока и используя записанные выше соотношения, получим уравнение цепи:

Приведём это уравнение к стандартному виду (11.9) До замыкания ключа К напряжение на конденсаторе было равно нулю. Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, следовательно, и сразу после замыкания ключа это напряжение будет равно нулю. Таким образом, начальное условие можно записать в виде: U c (0) = 0.

В соответствии с (11.10) решением этого уравнения будет функция где время релаксации = RC. График этой зависимости представлен на рис. 11.1 б.

Замечание 1. Используя полученный результат, можно определить зависимость от времени и всех осталь- Рис. 11.1б. Зависимость напряжения на конденсаторе от вреных параметров цепи: напряжения на Замечание 2. Если до замыкания ключа конденсатор был заряжен до напряжения U0, то начальное условие будет иметь вид U C (0) = U 0, и напряжение на конденсаторе будет меняться со временем по следующему закону:

Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

Задача 11.3.2 (базовая задача). Заряженный до напряжения U конденсатор C и резистор R соединены последовательно (последовательная RC-цепь, рис. 11.2а). Определить зависимость напряжения на конденсаторе от времени после замыкания ключа К.

тора в последовательной RCUC + U R = 0.

цепи (задача 11.3.2) Аналогично решению задачи 11.3.1 можно записать Выберем в качестве исследуемой величины напряжение на конденсаторе UC. Выполнив обход контура по выбранному направлению тока и используя записанные выше соотношения, получим уравнение цепи и приведём его к виду (11.9):

U0, то есть U C (0) = U 0. В соответствии с (11.10) решением этого уравРис.11.2 б Зависимость напряже- нения будет функция ния на конденсаторе от времени при разрядке в последовательной RC-цепи (задача 11.3.2) График этой зависимости представлен на рисунке 11.2 б.

Замечание. Режим зарядки и разрядки конденсатора можно получить, если вместо источника постоянного напряжения и ключа исЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ пользовать генератор прямоугольного импульса напряжения (рис.11.3 б):

Здесь длительность импульса должна быть намного больше времени релаксации (Tи ), чтобы за время действия импульса напряжение на конденсаторе практически сравнялось с его стационарным значением E0.

Задача 11.3.3 (базовая задача). Резистор R, катушка индуктивности L и генератор напряжения E соединены последовательно (последовательная RL-цепь, рис.11.3 а). Определить зависимость напряжения на резисторе от времени, если напряжение генератора меняется со временем по закону, показанному на рис. 11.3б:

Рис.11.3а. Схема к расчёту переходных про- Рис.11.3б. Сигнал, формируемый цессов в последовательной RL-цепи (задача генератором прямоугольных импульсов напряжения 11.3.3) При решении считать, что при t 0 сила тока в цепи равна нулю, а время релаксации существенно меньше длительности импульса ( Tи).

Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

Решение Используя второе правило Кирхгофа (11.8) запишем Так как все элементы цепи соединены последовательно, сила тока на всех участках цепи одинакова Согласно выражениям (11.1) и (11.4) Выберем в качестве исследуемой величины напряжение на резисторе UR. Используя записанные выше соотношения, получим уравнение цепи:

Приведём это уравнение к стандартному виду (11.9) Сила тока в цепи не может измениться скачком, следовательно, начальное условие можно записать в виде U R (0) = 0.

В соответствии с (11.10) решением полученного уравнения будет функция где время релаксации = R L. График этой зависимости представлен на рис. 11.3 в.

Рассуждая аналогично первой части данной задачи, запишем уравнение цепи для этого промежутка времени Так как согласно условию Tи, то при t = Tи напряжение на резисторе можно считать равным U R (Tи ) = E0 (1 e Tи ) E0.

362 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Тогда получим зависимость напряжения на резисторе от времени: U R (t ) = E0 e (t Tи ), где время релаксации = R L.

График этой зависимости представлен на рисунке 11.3в.

Задача 11.3.4. Незаряженный конденсатор, резистор и генератор напряжения E(t) соединены в последовательную цепь (рис.11.4а). Определить зависимость от времени напряжения на конденсаторе UС(t), если генератор напряжения формирует пилообразный сигнал (см. рис.11.4б):

Решение Так как пилообразный сигнал нельзя описать одной функцией, рассмотрим отдельно случаи 0 t T0 и t T0.

Рис.11.4а. Схема последовательного со- Рис.11.4б. Сигнал, формируемый генератора напряжения E(t) (задача дача 11.3.4) 11.3.4) ЭДС в цепи не равна нулю, следовательно, конденсатор будет заряжаться. Второе правило Кирхгофа (11.8) для этого случая имеет вид:

где I – ток в цепи, q – заряд конденсатора.

Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

В отличие от базовой задачи 11.3.1 здесь ЭДС не является постоянной величиной, однако, продифференцировав по времени правую и левую часть этого уравнения, получим следующее уравнение относительно силы тока в цепи Приводя уравнение цепи к стандартному виду (11.9), имеем:

Решение этого уравнения, с учётом начального условия I(0) = (при t 0 ток в цепи отсутствовал), согласно (11.10) равно Таким образом, напряжение на конденсаторе в этот промежуток времени меняется по закону и при t = T0 достигает максимального значения Так как здесь ЭДС генератора равна нулю, то конденсатор будет разряжаться. В этом случае, используя результат базовой задачи 11.3.2, имеем:

Замечание. В частном случае T0 RC = экспонента может быть представлена в виде e

364 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 11.3.5. Конденсаторы С1 и С2, предварительно заряженные соответственно до напряжений U1(0) и U2(0) в полярности, указанной на рис.11.5, соединяют последовательно с резистором R.

Определить зависимость от времени силы тока в цепи и напряжений на конденсаторах С1 и С2 после замыкания ключа К.

При расчёте положить U1(0) U2(0).

Решение После замыкания ключа К резистор R и конденсаторы С1 и С2 составляют последовательную замкнутую цепь. Внешнего источника – генератора напряжения, в этой цепи нет. ПоэтоРис.11.5. Схема соединения резистора му второе правило Кирхгофа R и конденсаторов С и С в задаче (11.8) с учетом (11.2) для ука- 11.3. занной на рисунке 11.5 полярности подключения конденсаторов и выбранного направления тока запишется в виде:

Здесь I – сила тока в цепи, Q1 и Q2 – заряды конденсаторов С1 и С2.

Продифференцируем по времени правую и левую часть этого уравнения. Тогда учитывая, что согласно закону сохранения заряда Решением этого уравнения по аналогии с базовой задачей 11.3.2 будет функция где I(0) – начальное значение тока в цепи, = R 1 2 – время реC1 + C лаксации.

Определим I(0). Так как напряжение на конденсаторе не может изменяться скачком, то сразу после замыкания ключа К напряжения на конденсаторах С1 и С2 имеют то же значение, что и до замыкания ключа, то есть U1(0) и U2(0). Таким образом, напряжение на резиГл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

сторе сразу после замыкания ключа равно U R (0) = U1 (0) U 2 (0).

Поэтому согласно закону Ома для участка цепи, начальное значение силы тока равно Окончательно получим следующую зависимость силы тока в цепи от времени:

Определить зависимость от времени напряжений на конденсаторах С1 и С2 после замыкания ключа К можно двумя способами.

Так как напряжение U1(0) U2(0), то после замыкания ключа конденсатор С1 будет разряжаться, и согласно (11.3), напряжение на нём (падение напряжения между точками А и В схемы) будет уменьшаться со временем или, с учётом выражения для I(0), полученного выше Аналогично, получим напряжение на конденсаторе С2 (напряжение на нём увеличивается, т.е. конденсатор заряжается) После замыкания ключа К в цепи будет происходить зарядка конденсатора С2 от значения U2(0) до некоторого установившегося значения U, и одновременная разрядка конденсатора С1 от значения U1(0) до установившегося значения U.

Аналогично базовым задачам 11.3.2 (разрядка конденсатора в последовательной RC-цепи) и 11.3.1 (зарядка конденсатора в последовательной RC-цепи) получим:

366 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Определим установившееся значение напряжения на конденсаторах С1 и С2.

Суммарный заряд, сосредоточенный как на “верхних” (точки А и D), так и на “нижних”(точка B) обкладках конденсаторов не изменяется во время переходного процесса, то есть получим установившееся значение напряжения U.

Окончательный результат имеет следующий вид Результаты для напряжений UAB и UDB, полученные первым и вторым способом, хотя и имеют разный вид, являются эквивалентными. Покажем это для UAB:

Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

Задача 11.3.6. Параллельно соединённые резисторы сопротивлением R и R/99 соединены последовательно с катушкой индуктивности L и генератором постоянного напряжения E0 (рис.11.6а). Определить, как изменяется со временем напряжение U(t) между точками A и B при замыкании и размыкании ключа K.

1) Ключ замыкают Используя правило Кирхгофа (11.8), составляем уравнение для тока I, который протекает через индуктивность L и источник ЭДС E0.

где R0 = R 100 – сопротивление двух параллельно соединенных резисторов R и r. Приведём уравнение цепи к виду (11.9) Время релаксации при замыкании ключа равно 1 = L R0.

Для определения начального условия U(0) используем тот факт, что ток в цепи сразу после включения ключа I(0) имеет то же значение, что и до включения:

368 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Установившееся значение исследуемого напряжения равно U = E0 (так как катушка не обладает омическим сопротивлением).

Используя выражение (11.10), получим 2) Ключ размыкают Проводя аналогичные расчеты и учитывая изменившиеся начальные условия (U(0) = E0), получим Схематично графики этих релаксационных процессов показаны на рис. 11.6 б.

Рис. 11.6б. Зависимость напряжения между точками А и В от времени при замыкании и размыкании ключа (задача 11.3.6) Ответ: при замыкании ключа U (t ) = E0 1 0,99 exp ;

Замечание. Времена релаксации в рассматриваемых случаях имеют существенно разные значения Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

Задача 11.3.7. Параллельно соединенные резистор R и конденсатор C подсоединены к генератору тока I(t) (рис. 11.7а), который формирует ступенчатый сигнал (рис. 11.7б).

Определить, как изменяется со временем напряжение U на конденсаторе и ток, протекающий через конденсатор.

Рис. 11.7а. Схема параллельного со- Рис. 11.7б. Ступенчатый сигнал, единения резистора R, конденсатора C формируемый генератором тока (заи генератора тока I(t) (задача 11.3.7) дача 11.3.7) Решение Используя первое правило Кирхгофа (11.7), можем записать Здесь IR и IC – токи, протекающие через резистор и конденсатор, а I0 – полный ток в цепи, создаваемый генератором тока.

Так как резистор и конденсатор соединены параллельно, второе правило Кирхгофа (11.8) запишется в виде Тогда, используя выражения для напряжений на резисторе и конденсаторе (11.1) и (11.2), можно записать Получим уравнение цепи

370 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

или, приводя к стандартному виду (11.9) Напряжение на конденсаторе не может мгновенно измениться, поэтому начальное условие в нашем случае имеет следующий вид:

Установившееся значение напряжения на конденсаторе U = IR = I0R.

Используя выражение (11.10), получим Задача 11.3.8. Квадратная рамка со стороной а находится в однородном магнитном поле индукции B. В начальный момент плоскость рамки параллельна направлению поля. Затем её очень быстро поворачивают на 90 0, так, что ее плоскость становится перпендикулярной направлению магнитного поля. Индуктивность рамки равна L, омическое сопротивление проводника, из которого сделана рамка, равно R. Определить, как изменится ток в рамке после ее поворота. До поворота ток в рамке был равен нулю.

1. При быстром повороте рамки из-за изменения величины потока магнитной индукции внешнего поля через плоскость рамки согласно закону электромагнитной индукции возникает ЭДС инd дукции E (t ) = и, как следствие, появляется индукционный ток I(t).

В процессе поворота рамки полный поток магнитной индукции (t) через плоскость рамки складывается из потока ФВ(t), обусловленного наличием внешнего магнитного поля, и потока I(t), создаваемого индукционным током Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

где ФВ(t) = Ba2 sin (t), (t) – угол между плоскостью рамки и направлением магнитного поля, который изменяется от = 0 (до поворота рамки) до = /2 (после поворота), а I(t) = LI(t), где L – индуктивность рамки. Рис. 11.8. Зависимость магнитного ного тока сразу после поворота. 11.3.8) Так как E (t )dt = I (t ) R = d, то, проинтегрировав правую и левую часть этого уравнения на интервале времени от 0 до t, где t – время поворота, получим:

Индукционный ток I(t) всегда ограничен по своей величине и не может принимать бесконечно больших значений (это одно из следствий закона Ленца). Поэтому при очень быстром повороте рамки До поворота рамки Ф(0) = 0, так как ток в рамке отсутствовал, а плоскость рамки была параллельна направлению магнитного поля.

Отсюда следует, что Таким образом, сила индукционного тока сразу после поворота рамки равна (с точностью до знака) 2) После поворота рамки поток, вызванный внешним полем, не изменяется со временем и равен ФВ = Ва2.

Поэтому ЭДС индукции в рамке после окончания поворота существует только за счёт изменения силы тока (ЭДС самоиндукции)

372 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Для расчёта зависимости индукционного тока от времени после поворота рамки преобразуем это уравнение к стандартному виду (11.9):

За начало отсчёта времени примем теперь конец интервала времени t, за который поворот рамки был завершён. Зная найденное выше начальное значение силы тока I(0) = I(t), далее, аналогично базовой задаче 11.3.3, получим зависимость силы тока от времени:

Замечание 1. После окончания поворота рамки магнитный поток через её плоскость изменяется по закону Замечание 2. Термин «очень быстро» в условии задачи имеет относительный характер. Для того, чтобы приведённое выше решение было справедливым, необходимо чтобы время, за которое совершается поворот рамки, было намного меньше времени релаксаL ции t =. В случае сверхпроводящей рамки (R = 0) время релаксации. В этом случае решение остаётся справедливым и при сколь угодно медленном повороте рамки.

Задача 11.3.9. Определить зависимость от времени напряжения U2(t) на конденсаторе С2 в цепи, представленной на рис. 11.9а, если генератор напряжения E(t) формирует ступенчатый сигнал (рис. 11.9б) При t 0 напряжения и токи в цепи равны нулю. При расчёте положить С1 = С2 = С, R1 = R2 = R.

Гл. 11. Переходные процессы в RL, RC и RLC-цепях.

Рис. 11.9а. Соединение элементов Рис. 11.9б. Ступенчатый сигнал, форцепи в задаче 11.3.9 мируемый генератором напряжения Решение Для контура (E, C1, C2, R2), согласно второму правилу Кирхгофа (11.8), запишем.

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ГОУВПО Амурский государственный университет Е.С Астапова Основы кристаллографии и физики кристаллов УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ для специальности 010701 – физика Факультет инженерно-физический Кафедра физического материаловедения и лазерных технологий 2006 г. Печатается по решению редакционно-издательского совета инженерно-физического факультета Амурского государственного университета Е. С. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра социологии УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ СОЦИОЛОГИЯ Основной образовательной программы по специальности 010701. 65 Физика Специализации: Физическое материаловедение, медицинская физика, информационные технологии в образовании и научной деятельности 2012г. 2 УМКД разработан к.ист.наук. »

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский государственный университет им. А.М. Горького ИОНЦ Нанотехнологии и перспективные материалы Физический факультет Кафедра компьютерной физики Введение в нанотехнологии Методические указания Подпись руководителя ИОНЦ Дата Екатеринбург 2007 Методические указания по изучению специальной дисциплины Введение в нанотехнологии составлены в соответствии с требованиями. »

«Авторы-составители А.Г. Сизых, Е.А. Слюсарева. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Проверка правила зеркальной симметрии спектров поглощения и люминесценции у растворов красителей: Метод. указания / Краснояр. гос. ун-т; Авт.-сост. А.Г. Сизых, Проверка правила зеркальной симметрии Е.А. Слюсарева. — Красноярск, 2002. – 22 с. спектров поглощения и люминесценции у растворов красителей Предназначены для студентов 4-го курса физического факультета. »

«МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра физики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ Составители Л.Г.Туренко, М.В.Пластинина Омск Издательство СибАДИ УДК 53:621. ББК 22. Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор ОмГИС В.В.Пластинин Работа. »

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ОБЩЕГО ФИЗИЧЕСКОГО ПРАКТИКУМА Дифракция света КАЗАНЬ 2010 2 СОСТАВИТЕЛИ: ДОЦЕНТ КАФЕДРЫ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Н.И.МОНАХОВА АССИСТЕНТ КАФЕДРЫ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ М.И.НОСКОВ ДОЦЕНТ КАФЕДРЫ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Е.А.ФИЛИППОВА ПРОФЕССОР КАФЕДРЫ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ А.И.ФИШМАН РЕЦЕНЗЕНТ: КАНД.Ф.-М.Н., ДОЦЕНТ КАФЕДРЫ ОПТИКИ И НАНОФОТОНИКИ Е.В.САРАНДАЕВ ПРЕДСТАВЛЕНЫ ЛАБОРАТОРНЫЕ. »

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИН КАФЕДР ФАКУЛЬТЕТА АГРОХИМИИ И ПОЧВОВЕДЕНИЯ 2008-2014 гг. Краснодар, 2014 Перечень учебно-методической литературы, имеющейся в наличии на кафедре неорганической и аналитической химии в 2013-14 уч. году № Наименование Дисциплина (в Наименование. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С. М. Кирова Кафедра целлюлозно-бумажного производства, лесохимии и промышленной экологии АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ И ФИЗИКОХИМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА Учебно-методический комплекс по дисциплине для подготовки дипломированного. »

«Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) В.В. Горлач, Н.А. Иванов, М.В. Пластинина ФИЗИКА: СРС Учебное пособие Под редакцией В.В. Горлача Допущено Научно-методическим Советом по физике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим направлениям и специальностям Омск СибАДИ 2009 1 УДК 53 (075.8) ББК 22.3 Г 69 Рецензенты: В.И. Суриков. »

«А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, А. С. Семёнов АЛГ ОР ИТ МЫ МЕ Т О Д О В ВЗВЕ Ш Е ННЫ Х НЕВЯЗОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В СИСТЕМЕ MATHCAD Учебное пособие Ульяновск 2006 УДК 519.6 (075) ББК 22.311 я7 A 67 Рецензенты: Кафедра прикладной математики Ульяновского государственного университета (зав. кафедрой доктор физико-математических наук, профессор А. А. Бутов); Доктор физико-математических наук, проф. УлГУ В. Л. Леонтьев. Утверждено. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет УТВЕРЖДАЮ Руководитель ООП подготовки магистров Ю.Г. Пастушенков 30 апреля 2012 г. Учебно-методический комплекс по дисциплине Дополнительный специализированный практикум по физике магнитных материалов для студентов 1 курса очной формы обучения Направление подготовки магистров 011200.68 –Физика Специализированная программа. »

«Библиографија Монографије 1. Экзистенциальные проблемы этики творчества Н. Бердяева. М.,2002. — 124 с. – 7,75 п.л. 2. Экзистенциальная диалектика Н. Бердяева как метод современной философии. М., 2004. с. -14,25 п.л. 3. Философия культуры Н.А. Бердяева и актуальные проблемы современности. М., 2005. с. – 13,75 п.л. Студије 1. Учебно-методическое пособие для студентов и аспирантов по курсу “Философии культуры Николая Бердяева”. Москва, 2004. – 24 с. – 3 п.л. 2. Проблема рациональности современной. »

«Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Химический факультет Кафедра аналитической химии С.В. Мугинова МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КУРСУ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ХИМИИ для студентов I-го курса факультета фундаментальной медицины МГУ Ответственный редактор профессор Т.Н. Шеховцова Москва-2007 г. Глава 6. Хроматографические методы анализа 6.1. Введение Хроматография универсальный и эффективный физикохимический метод разделения, обнаружения и определения соединений в их смеси. »

«Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Прикладная математика К. Ю. Федоровский АЛГЕБРА Введение в теорию групп Электронное учебное издание Курс лекций по дисциплине Алгебра Москва c 2012 МГТУ им. Н. Э. Баумана УДК 512.54 Рецензенты: Канатников Анатолий Николаевич, к.ф.-м.н., доц., Яворская Татьяна Леонидовна, к.ф.-м.н., доц. Федоровский Константин Юрьевич Алгебра. Введение в теорию групп. Курс лекций по дисциплине Алгебра. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный университет технологии и дизайна Кафедра наноструктурных, волокнистых и композиционных материалов им. А.И. Меоса ХИМИЯ И ФИЗИКА ПОЛИМЕРОВ Методические указания к самостоятельному изучению курса и выполнения контрольной работы для студентов квалификации Бакалавр направлений Технология изделий легкой. »

«№ 2499 Методические указания для изучения курса ЭКОЛОГИЯ к выполнению контрольной работы для студентов всех специальностей заочной формы обучения Иваново 2006 В методических указаниях приведены содержание дисциплины, варианты заданий, список вопросов контрольной работы, варианты и условия задач с примерами их решения, содержание лабораторных работ по курсу, а также список рекомендуемой литературы. Составитель: Валентина Ивановна Яницкая Научный редактор А. М. Осипов 1. Цели изучения дисциплины. »

«Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Бойко К.В., Нойкин Ю.М., Заргано Г.Ф. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению специального лабораторного практикума “Нелинейные твердотельные устройства СВЧ” (специальность 071500, радиофизика и электроника) Часть XVI МАЛОШУМЯЩИЙ УСИЛИТЕЛЬ НА ПТШ Ростов-на-Дону 2001 2 ОГЛАВЛЕНИЕ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 1.1 Энергетические характеристики шумовых сигналов 1.2 СВЧ четырёхполюсники 2. ОБЩИЕ. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра психологии и педагогики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Психология и педагогика Основной образовательной программы по специальности 010701.65 – Физика (Специализации: Медицинская физика, Информационные технологии в образовании и научной деятельности, Физическое материаловедение. »

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МИФИ Ю.Н. Громов Пособие по физике Колебания и волны В помощь учащимся 10 – 11 классов Москва 2009 УДК 534.1(075) ББК 22.32я7 Г 87 Громов Ю.Н. УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ФИЗИКЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. В помощь учащимся 10 – 11 классов. – М.: МИФИ, 2009. – 48 с. Дано систематизированное изложение основного содержания школьного курса физики по разделу Колебания и волны в соответствии с требованиями образовательного. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра Физики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ФИЗИКА Основной образовательной программы по специальности 130301.65 Геологическая съемка, поиски и разведка полезных ископаемых Благовещенск 2012 1 2 СОДЕРЖАНИЕ 1. Рабочая программа учебной дисциплины 2. Краткое изложение программного материала 3. »

© 2013 www.diss.seluk.ru — «Бесплатная электронная библиотека — Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.