Тела вращения – это объемные тела, которые возникают при вращении некой плоской фигуры, которая ограничена кривой и крутится вокруг оси, лежащей в той же плоскости. К телам вращения относятся цилиндр, конус и шар.
Цилиндр — это объемное тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Возьмем прямоугольник АВСD. Будем вращать этот прямоугольник против часовой стрелки вокруг стороны АD.
Прямая АD — ось цилиндра.
Отрезок АD — высота цилиндра.
Основания цилиндра — два равных круга образованных при вращении сторон АВ и DC (круги равные, т.к. стороны АВ и DC равны как противоположные стороны прямоугольника).
Радиус цилиндра — радиус оснований цилиндра.
Цилиндрическая поверхность (или боковая поверхность цилиндра) — поверхность, образованная при вращении стороны ВС и состоящая из отрезков, параллельных оси цилиндра (АD).
Образующие цилиндра — отрезки, из которых составлена боковая поверхность цилиндра (на рисунке выше указаны образующие ВС и ЕК).
Определение
Объем цилиндра
Доказательство:
Дано: цилиндр с площадью основания S, высотой h и объемом V.
Доказать: V = Sh.
Доказательство:
Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим цилиндр и призму с площадями оснований, равными S, и высотами, равными h, «стоящие» на одной плоскости.
Видео:60. Площадь поверхности цилиндраСкачать
Любая секущая плоскость, параллельная плоскости, на которой стоят цилиндр и призма, дает в качестве сечения цилиндра круг площади S, а в качестве сечения призмы — многоугольник площади S. Значит, объем цилиндра равен объему призмы. Но объем призмы равен Sh. Поэтому и объем цилиндра равен Sh, т.е. V = Sh. Что и требовалось доказать.
Площадь боковой поверхности цилиндра
Рассмотрим цилиндр с радиусом r и высотой h.
Представим, что его боковую поверхность разрезали по одной из его образующих АD и развернули так, что получился прямоугольник АDА1D1, стороны АD и А1D1 которого являются двумя краями разреза боковой поверхности цилиндра. Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра.
Сторона АА1 прямоугольника АDА1D1 равна длине окружности основания, а сторона АD равна высоте цилиндра, т.е. АА1 = 2 r, АВ = h. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, значит, площадь прямоугольника АDА1D1 равна 2 rh.
Площадь Sбок боковой поверхности цилиндра равна площади ее развертки, т.е. Sбок = 2 rh. |
Поделись с друзьями в социальных сетях:
§ 2. Тела и поверхности вращения
Цилиндр
Возьмём прямоугольник ABCD и будем вращать его вокруг одной из сторон, например вокруг стороны АВ (рис. 360). В результате получится тело, которое называется цилиндром. Прямая АВ называется осью цилиндра, а отрезок АВ — его высотой. При вращении сторон AD и ВС образуются два равных круга — они называются основаниями цилиндра, а их радиус называется радиусом цилиндра. При вращении стороны CD образуется поверхность, состоящая из отрезков, параллельных оси цилиндра. Её называют цилиндрической поверхностью или боковой поверхностью цилиндра, а отрезки, из которых она составлена, — образующими цилиндра. Таким образом, цилиндр — это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.
Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать (см. задачу 1213), что объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
На рисунке 361, а изображён цилиндр с радиусом r и высотой h. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей АВ и развернули таким образом, что получился прямоугольник АВВ’А’, стороны АВ и А’В’ которого являются двумя краями разреза боковой поверхности цилиндра (рис. 361, б). Этот прямоугольник называется развёрткой боковой поверхности цилиндра. Сторона АА’ прямоугольника равна длине окружности основания, а сторона АВ равна высоте цилиндра, т. е. AA’ = 2 πr, AB = h.
Читайте также: Как прочистить компенсационное отверстие в главном цилиндре сцепления
Площадь S6oк боковой поверхности цилиндра равна площади её развёртки, т. е. S6oк = 2 πrh.
Конус
Возьмём прямоугольный треугольник АВС и будем вращать его вокруг катета АВ (рис. 362). В результате получится тело, которое называется конусом. Прямая АВ называется осью конуса, а отрезок АВ — его высотой. При вращении катета ВС образуется круг, он называется основанием конуса. При вращении гипотенузы АС образуется поверхность, состоящая из отрезков с общим кондом А. Её называют конической поверхностью или боковой поверхностью конуса, а отрезки, из которых она составлена, — образующими конуса. Таким образом, конус — это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.
Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать (см. задачу 1219), что объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Видео:ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРАСкачать
Иначе говоря, объём V конуса выражается формулой , где r — радиус основания конуса, h — его высота.
Рассмотрим теперь конус, у которого радиус основания равен r, а образующая равна l (рис. 363, а). Его боковую поверхность можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих. Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор (рис. 363, б). Радиус этого сектора равен образующей конуса, т. е. равен l, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, т. е. равна 2πr.
Площадь Sбок боковой поверхности конуса равна площади её развёртки, т. е.
где α — градусная мера дуги сектора (см. рис. 363, б). Длина дуги окружности с градусной мерой а и радиусом l равна 
. С другой стороны, длина этой дуги равна 2 πr, т. е. 
, поэтому
Итак, площадь боковой поверхности конуса с образующей l и радиусом основания r выражается формулой:
Сфера и шар
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки (рис. 364). Данная точка называется центром сферы (точка О на рисунке 364), а данное расстояние — радиусом сферы (на рисунке 364 радиус сферы обозначен буквой R). Любой отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо её точкой, также называется радиусом сферы.
Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Ясно, что диаметр сферы радиуса R равен 2R.
Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Ясно, что шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая и саму точку О), и не содержит других точек. Отметим также, что шар может быть получен вращением полукруга вокруг его диаметра (рис. 365). При этом сфера образуется в результате вращения полуокружности.
Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать, что объём шара радиуса R равен (см. задачу 1224).
В отличие от боковых поверхностей цилиндра и конуса сферу нельзя развернуть так, чтобы получилась плоская фигура. Поэтому для сферы непригоден способ вычисления площади с помощью развёртки. Вопрос о том, что понимать под площадью сферы и как её вычислить, будет рассмотрен в курсе стереометрии в 11 классе. Здесь же отметим, что для площади S сферы радиуса R получается формула:
Видео:11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать
Читайте также: Откуда пошли шляпы цилиндры
Один из возможных способов получения этой формулы даёт задача 1225.
Задачи
1213. Докажите, что объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим цилиндр и призму с площадями оснований, равными S, и высотами, равными h, «стоящие» на одной плоскости (рис. 366). Любая секущая плоскость, параллельная этой плоскости, даёт в качестве сечения цилиндра круг площади S, а в качестве сечения призмы — многоугольник площади S. Значит, объём цилиндра равен объёму призмы. Но объём призмы равен Sh. Поэтому и объём цилиндра равен Sh.
1214. Пусть V, r и h — соответственно объём, радиус и высота цилиндра. Найдите: а) V, если u = 2√2 см, h = 3 см; б) r, если V = 120 cм 3 , h = 3,6 см; в) h, если r = h, V = 8π см 3 .
1215. В цилиндр вписана правильная п-угольная призма (т. е. основания призмы вписаны в основания цилиндра). Найдите отношение объёмов призмы и цилиндра, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8; д) n — произвольное натуральное число.
1216. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
1217. Сколько квадратных метров листовой жести пойдёт на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади её боковой поверхности?
1218. Один цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD вокруг прямой АВ, а другой цилиндр — вращением этого же прямоугольника вокруг прямой ВС. а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны, б) Найдите отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров, если АВ = а, ВС = b.
1219.*Докажите, что объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим конус и пирамиду с площадями оснований S и высотами PH = h и QO = h соответственно, «стоящие» на одной плоскости α (рис. 367). Докажем, что объём конуса равен 1/3•Sh
Проведём секущую плоскость β, параллельную плоскости а и пересекающую высоты PH и QO в точках Н1 и O1 соответственно. В сечении конуса плоскостью β получится круг радиуса Н1А1. Треугольники РН1А11и PHА подобны по двум углам (∠P — общий, ∠PH1А1 = ∠PHA = 90°, так как в противном случае прямые НА и Н1А1, а значит, и плоскости α и β пересекались бы, что противоречит условию). Поэтому 
, откуда 
, и площадь сечения конуса равна
Площадь сечения пирамиды равна (см. задачу 1209). По условию PH = QO = h. Интуитивно ясно также, что РН1 = QO1 (аккуратное доказательство этого факта будет дано в курсе стереометрии 10—11 классов).
Видео:№545. Цилиндр получен вращением квадрата со стороной а вокруг одной из его сторон.Скачать
Следовательно, площадь сечения конуса равна площади сечения пирамиды. Поэтому и его объём равен объёму пирамиды, т. е. равен 1/3•Sh что и требовалось доказать.
1220. Пусть h, r и V — соответственно высота, радиус основания и объём конуса. Найдите: а) V, если h = 3 см, r = 1,5 см; б) h, если r = 4 см, V=48 π cм 3 ; в) r, если h = m, V = p.
1221. Найдите объём конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна Р.
1222. Площадь полной поверхности конуса равна 45л дм 2 . Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор с дугой в 60°. Найдите объём конуса.
1223. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.
Читайте также: Опель корса пропуски зажигания 1 цилиндр
1224.* Докажите, что объём шара радиуса R равен
Рассмотрим два тела: половину шара радиуса R и тело Т, представляющее собой цилиндр радиуса R с высотой R, из которого вырезан конус с радиусом основания и высотой R. Представим себе, что оба тела «стоят» на плоскости а так, как показано на рисунке 368. Проведём секущую плоскость β, параллельную плоскости α и пересекающую радиус шара ОА, перпендикулярный к плоскости α, в точке А1, а высоту ВН конуса — в точке В1.
Сечение половины шара представляет собой круг радиуса (см. рис. 368). Поэтому площадь этого круга равна π (R 2 — OA 2 ).
Сечение тела Т представляет собой кольцо, площадь которого равна разности площадей двух кругов: круга радиуса R и круга радиуса В1В2 (см. рис. 368), т. е. равна Но В1В2 = ВВ1 (объясните почему) и, кроме того, ВВ1 = ОА1 (доказательство этого наглядно очевидного факта будет приведено в курсе стереометрии 10—11 классов).
Таким образом, площадь сечения половины шара равна площади сечения тела Т. Поэтому и объём половины шара равен объёму этого тела. В свою очередь, объём V тела Т можно вычислить как разность объёмов цилиндра и конуса:
Итак, объём половины шара равен 
и, следовательно, объём всего шара равен
Видео:ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Цилиндр. Площадь поверхностиСкачать
1223. Сферу радиуса R покрасили слоем краски толщины d. Слоем такой же толщины покрасили многоугольник и затратили при этом такое же количество краски. Найдите площадь многоугольника.
Если толщина слоя краски равна d, то объём краски, затраченной на покраску сферы, равен разности объёмов двух шаров: шара радиуса R + d и шара радиуса R, т. е. равен
При покраске многоугольника площади S слоем толщины d объём затраченной краски равен Sd, поскольку объём призмы равен произведению площади основания на высоту. Приравнивая эти два объёма и сокращая на d, находим S:
Если толщина d слоя краски очень мала по сравнению с радиусом R сферы, то величина S приблизительно равна . Основываясь на проведённых рассуждениях, естественно принять за площадь сферы величину 4πR 2 .
1226. Пусть V — объём шара радиуса R, S — площадь его поверхности. Найдите: a) S и V, если R = 4см; б) R и S, если V = 113,04 см 3 ; в) R и V, если S = 64π см 2 .
1227. Диаметр Луны составляет (приближённо) четвёртую часть диаметра Земли. Сравните объёмы Луны и Земли, считая их шарами.
1228. Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?
1229. Сколько кожи пойдёт на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см (на швы добавить 8% от площади поверхности мяча)?
1230. Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.
1231. Отношение объёмов двух шаров равно 8. Как относятся площади их поверхностей?
Ответы к задачам
1214. а) 24π см 3 ; б) см; в) 2 см.
1220. а) 2,25π см 3 ; б) 9см; в) .
Видео:11 класс, 17 урок, Площадь поверхности конусаСкачать
1223. Sбок = 80π см 2 , Sкон = 144π см 2 .
1226. а) 64π см 2 , ; б) ≈ 3 см, ≈ 36л см 2 ; в) 4 см, .
1227. Объём Земли в 64 раза больше объёма Луны.
📺 Видео
Площадь полной поверхности цилиндраСкачать
Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шараСкачать
Геометрия 9 класс (Урок№34 - Тела и поверхности вращения.)Скачать
Геометрия 11 класс (Урок№6 - Тела вращения. Цилиндр.)Скачать
Нахождение площади боковой поверхности цилиндраСкачать
Объем и площадь поверхности цилиндра (видео 44) | Подобие. Геометрия | МатематикаСкачать
Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 78. Найдите площадь полной поверхности цилиндраСкачать
№ 476 - Геометрия 7-9 класс АтанасянСкачать
ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2Скачать
ЗАДАНИЕ 8 из ЕГЭ_53Скачать
Площадь поверхности призмы. 11 класс.Скачать
Задача 8 № 25601 ЕГЭ по математике #4Скачать
Площадь полной поверхности призмыСкачать
№538. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5. Найдите площадь осевогоСкачать
