Два коаксиальных цилиндра разного радиуса (4 видео)

Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено газом. Радиусы цилиндров равны r = 5 см и R = 5,2 см. Высота внутреннего цилиндра h = 25 см. Внешний цилиндр вращается с частотой n = 360 об/мин. Для того чтобы внутренний цилиндр оставался неподвижным, к нему надо приложить касательную силу F = 1,38 мН. Рассматривая в первом приближении случай как плоский, найти из данных этого опыта вязкость η газа, находящегося между цилиндрами.

F = 1,38 мН = 1,38·10 -3 Н ____________________________

Скорость молекул на внутреннем цилиндре

Площадь внутреннего цилиндра

Ответ:

Видео:Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)Скачать

Два коаксиальных цилиндра разного радиуса

Каркас, состоящий из двух коаксиальных цилиндров с радиусами и , может свободно вращаться вокруг закрепленной горизонтальной оси . На каркас намотана изолированная проволока так, как показано на рисунке. К нижнему концу проволоки прикреплен груз, а ее верхний конец тянут с постоянной скоростью вертикально вверх. Цилиндры находятся в однородном магнитном поле с индукцией , параллельной оси цилиндров. Найти напряжение между концами проволоки, когда на цилиндре радиусом остается хотя бы часть проволоки.

На движущиеся в магнитном поле с индукцией вместе с проволокой свободные носители заряда действует сила Лоренца. Магнитная составляющая этой силы , где заряд носителя, движущегося со скоростью , направлена перпендикулярно скорости носителя и индукции магнитного поля. Под действием этой силы происходит перераспределение зарядов, в результате чего возникает кулоновское электрическое поле, стремящееся скомпенсировать действие магнитной составляющей силы Лоренца. При установившемся движении действие обеих составляющих силы Лоренца взаимно компенсируется, а потому в каждой точке проволоки должно существовать кулоновское электрическое поле, напряженность которого равна . Поэтому точки, лежащие в поперечном сечении проволоки, не будут эквипотенциальными. Однако, считая проволоку достаточно тонкой, разностью потенциалов между точками одного и того же поперечного сечения можно пренебречь. Вместе с тем, можно утверждать, что на участке проволоки, находящемся между цилиндрами с радиусами и , будет существовать электрическое поле, величина составляющей которого, направленной по радиусу цилиндра, равна , где удаление точки провода от оси вращения. Конечно, делая это утверждение, мы предполагали, что проволока нерастяжима и не скользит по цилиндрам, а цилиндры твердые.

Читайте также: Площадь осевого сечения цилиндра что это

На рисунке приведена зависимость величины этой составляющей от . Вспоминая связь между разностью потенциалов и напряженностью однородного кулоновского поля, можно утверждать, что разность потенциалов между точками, находящимися друг от друга на столь малом расстоянии в направлении действия поля, что напряженность поля между ними можно считать постоянной, равна . Отсюда получим, что искомая разность потенциалов должна быть равна площади заштрихованной части графика на рисунке. Поскольку указанная часть графика представляет собой трапецию, то

причем потенциал верхнего конца проволоки выше, чем точки проволоки, прикрепленной к грузу.

Следует отметить, что данную задачу можно было бы решить, используя правило потока Фарадея-Максвелла закон электромагнитной индукции. Однако известно (cм., например, Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Т. 6. Электродинамика. // М.: « Мир». 1966. С.53-55.), что правило потока Фарадея-Максвелла может давать неверный результат, если контур (или хотя бы часть его проводников) движется относительно источника магнитного поля. Кроме того, это правило не позволяет указать участок контура, где именно действуют сторонние силы, приводящие к возникновению ЭДС индукции. По этой причине такой способ решения задачи следует применять с осторожностью.

Видео:Пересечение двух цилиндров: объем и площадь поверхности через двойной интегралСкачать

Два коаксиальных цилиндра разного радиуса

Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах.

Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:

где d q – заряд, сосредоточенный на площади d S; d S – физически бесконечно малый участок поверхности.

Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).

Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность будетодинакова по величине и противоположна по направлению.

Читайте также: Сколько цилиндров у ламборгини хуракан

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).


Рис. 2.11	Рис. 2.12

Применим теорему Остроградского-Гаусса. Поток Ф_Е через боковую часть поверхности цилиндра равен нулю, т.к . Дляоснования цилиндра

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:

Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:

откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:

Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости

Поле двух равномерно заряженных плоскостей

Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (рис. 2.13).

Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей .

Вне плоскостей напряженность поля

Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).

Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):

Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными.

Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора:

где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. , то

Это формула для расчета пондермоторной силы.

Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)

Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью , где d q – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).

Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.

Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r.

Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен

Читайте также: Компрессия в цилиндрах двигателя норма лачетти

При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса , отсюда

Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).

Если уменьшать радиус цилиндра R (при ), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при , получить нить.

Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле будет отсутствовать (рис. 2.16) .

В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае:

Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).

Поле заряженного пустотелого шара

Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным, – в любой точке проходит через центр шара. ,и силовые линии перпендикулярны поверхности в любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.17).

Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда

Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов: