Два противоположных ребра правильного тетраэдра служат диаметрами оснований цилиндра (4 видео)

Содержание

«МАТЕМАТИКА АДАПТАЦИОННЫЙ КУРС Учебное пособие Допущено УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия по дисциплине вузовского компонента Математика. . »
МАТЕМАТИКА
АДАПТАЦИОННЫЙ КУРС
🔥 Видео

Видео:Методика прижатия аорты по Шмидту - meduniver.comСкачать

«МАТЕМАТИКА АДАПТАЦИОННЫЙ КУРС Учебное пособие Допущено УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия по дисциплине вузовского компонента Математика. . »

7. Окружность, вписанная в ромб ABCD касается стороны AB в точке M, причем AM : M B = 2 : 3. Если площадь ромба равна 60 6, то радиус окружности равен 8. В трапеции ABCD диагональ AC является биссектрисой угла A. Биссектриса угла B большее основание AD в точке E. Найдите высоту трапеции, если AC = 8 5, BE = 4 5.

9. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 32 3. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник M P K, если точки M, P и K середины сторон AB, CD, EF соответственно.

10. Равнобедренная трапеция описана около окружности радиуса 4. Найдите тангенс угла при большем основании трапеции, если ее средняя линия равна 4 5.

15.6. Ответы Аудиторные задачи:

1. 16; 2. 120 ; 3. 80 ; 4. 25; 5. 13; 6. 108; 7. 14; 8. 150 ; 9. 36; 10. 12; 11. 100; 12.

8; 13. 8; 14. 16; 15. 11,5; 16. 96; 17. 6; 18. 12; 19. 48; 20. 60; 21. 7,5; 22. 4; 23. 120 ;

24. 60 ; 25. 6; 26. 12; 27. 1,5; 28. 15; 29. 6; 30. 10; 31. 16; 32. 4,5; 33. 30; 34. 160 ;

35. 28,5; 36. 3; 37. ; 38. 0,875; 39. 2880; 40. 30; 41. 168; 42. 14; 43. 75; 44. 2; 45.

1. 9; 2. 96; 3. 24; 4. 5; 5. 8; 6. 7,5; 7. 11; 8. 12; 9. 2; 10. 4; 11. 4; 12. 60, 120, 10, 13; 13. 2; 14. 52,5; 15. 13,5; 16. 27; 17. 2 2; 18. ; 19. 35.

16. Векторы на плоскости и в пространстве Векторы на плоскости и в пространстве, линейные операции над векторами:

сложение, вычитание, умножение на число. Метод координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между точками на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами в координатной форме. Длина вектора. Скалярное произведение векторов, его свойства. Угол между векторами. Условия перпендикулярности и коллинеарности векторов.

16.1. Справочный материал Прямоугольная декартова система координат на плоскости Расстояние между точками плоскости A и B, имеющими координаты соответственно (x1 ; y1 ) и (x2 ; y2 ), определяется по формуле По этой же формуле определяется длина отрезка AB или модуль вектора AB.

Координаты (xср ; yср ) середины отрезка AB определяют по формулам Координаты вектора AB (x; y) находят по формулам Прямоугольная декартова система координат в пространстве Расстояние между точками пространства A (x1 ; y1 ; z1 ) и B (x2 ; y2 ; z2 ) определяют по формуле По этой же формуле определяют длину отрезка AB или модуль вектора AB.

Координаты (xср ; yср ; zср ) середины отрезка определяют по формулам Координаты вектора AB (x; y; z) находят по формулам Тот факт, что вектор AB имеет координаты (x; y; z), может быть записан так:

где i, j, k единичные векторы, направленные вдоль осей Ox, Oy, Oz соответственно.

Если вектор задан своими координатами a1, a2, a3, то его длину находят по формуле Пусть два вектора (a1 ; a2 ; a3 ) и b (b1 ; b2 ; b3 ), тогда Скалярным произведением · b векторов и b называется число где угол между векторами и b.

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, выражается формулой Косинус угла между векторами (a1 ; a2 ; a3 ) и b (b1 ; b2 ; b3 ) определяют по форa муле Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов (a1 ; a2 ; a3 ) и b (b1 ; b2 ; b3 ) имеет вид Необходимым и достаточным условием параллельности (коллинеарности) ненулевых векторов и b является существование такого числа, что 16.2. Примеры Пример 1. При каком значении z векторы (6; 0; 12) и b (8; 13; z) перпендикулярны?

Решение. Воспользуемся формулой (14) Ответ: z = 4.

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов Решение. Запишем векторы, b в координатной форме:

Используя формулу (12), имеем Ответ: 8.

Пример 3. При каком значении векторы (2; 3; 4) и b (; 6; 8) параллельa ны?

Решение. Используя формулу (15), имеем = b.

Решая систему, получим = ; = 4.

Пример 4. Найти угол между векторами (1; 2; 2) и b (6; 3; 6).

Решение. Используя формулу (13), имеем Ответ: = arccos.

Пример 5. Векторы AB = 3 i + 4 k и AC = 5 i 2 j + 4 k служат сторонами треугольника ABC. Найти длину медианы AM.

Решение. AM = (AB + AC), Ответ: |AM | = 3 2.

Пример 6. Даны два вектора a(5, 2) и b(7, 3). Найти вектор c, удовлетворяющий условиям a · c = 38, b · c = 30.

Решение. Пусть c(x, y), тогда по формуле скалярного произведения и из условия задачи имеем Решая эту систему относительно x и y, получаем x = 6, y = 4.

16.3. Аудиторные задачи 1. При каких значениях x и y векторы a(3, 2, x) и b(y, 4, 2) коллинеарны? В ответе записать произведение найденных x и y.

2. При каком значении x векторы a(x, 3, 4) и b(5, 6, 3) перпендикулярны?

3. Найти произведение координат x и z вектора a(x, 2, z), перпендикулярного вектору b(2, 3, 2) и оси Ox.

4. Укажите градусную меру угла между векторами a и b, если 5. Найти длину вектора c = a + b, где a(1, 2, 3), b(4, 2, 9).

6. При каких значениях z длина вектора c = 2i9j +z k равна 11. В ответе записать произведение всех найденных значений z.

7. Найти |a|, если |b| = 7, |a + b| = 12, |a b| = 14.

8. Даны векторы a(6, 2, 1) и b(0, 1, 2). Найти длину вектора c = 2a b.

9. Найти |a| · |b|, если a + b делит угол между векторами a(3; 5; 7) и b пополам.

10. Найти угол между векторами a = 2i + 5j k и b = i 3k.

11. Найти градусную меру угла между вектором a( 2; 5/2; 3/2) и осью абсцисс.

12. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a и b, если угол между ними 45 и a · b = 4.

13. Найти наибольший угол треугольника с вершинами в точках A(1, 2), B(1, 4), C(3, 2).

14. Найти угол при основании равнобедренного треугольника с вершинами в точках A(2, 3, 0), B(3, 2, 1), C(3, 4, 1).

15. В трапеции ABCD стороны BC и AD основания, M и N середины сторон AB и CD, векторы AB(7; 4; 5), AC(3; 2; 1), AD(6; 3; 9). Найти сумму координат вектора M N.

16. В треугольнике ABC с вершинами в точках A(4, 5, 1), B(2, 3, 0), C(2, 1, 1) найти длину медианы BD.

17. При каких значениях параметра m длина вектора a(m + 3, m, 2) не превосходит 18. Найти угол между векторами a и c, если c = a + b, a(2, 1, 3), b(1, 1, 1).

19. Зная, что |a| = 2, |b| = 5 и угол между векторами a и b равен, найти, при каком значении векторы p = a + 17b и q = 3a b перпендикулярны.

20. Векторы a и b образуют угол в 120 и |a| = 3, |b| = 5. Найти |a b|.

21. Найти угол между векторами 2a и, если a(4, 2, 4) и b(2, 2, 0).

22. Найти координату x точки M, лежащей на оси Ox и одинаково удаленной от точек A(1, 2, 3) и B(3, 3, 2).

23. Длины ненулевых векторов a и b равны. Найти угол между этими векторами, если известно, что векторы p = a + 2b и q = 5a 4b перпендикулярны.

24. Дан треугольник с вершинами в точках A(3, 2, 1), B(3, 0, 2), C(1, 2, 5). Найти угол, образованный медианой BD и основанием AC.

25. Найти площадь четырехугольника, вершины которого расположены в точках A(0, 0), B(1, 3), C(2, 4), D(3, 1).

26. Найти квадрат расстояния от начала системы координат до центра окружности, описанной вокруг треугольника ABC, координаты вершин которого A(1, 0, 1), B(1, 1, 0), C(1, 1, 1).

27. В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке O. Найти сумму векторов OA + OB + OC.

28. Точки A(1, 0, 2), B(2, 1, 0), C(1, 2, 0) являются последовательными вершинами параллелограмма. Найти сумму координат четвертой вершины.

29. Векторы AB = 3i+4k и AC = 5i2j +4k служат сторонами треугольника ABC.

30. Найти угол между диагоналями четырехугольника с вершинами в точках A(3, 3), B(2, 6), C(1, 5), D(6, 2).

31. Какому условию должны удовлетворять векторы a и b, чтобы вектор a+ b делил пополам угол между векторами a и b?

32. Найти координаты вектора p, коллинеарного вектору q(3, 4), если известно, что вектор p образует тупой угол с осью Ox и |p| = 10.

33. Найти вектор b, коллинеарный вектору a(2, 1, 1) и удовлетворяющий условию 34. Грани параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1 ромбы со стороной 3 2. Плоские углы при вершине A равны 60, 120, 120. Найти длину диагонали AC1.

35. Векторы a, b, c таковы, что a = 2b+3c. Чему равно скалярное произведение a· b, если скалярное произведение a · c = 3 и |a| = 2?

36. При каких значениях x и y точки A(2, 0), B(0, 2), C(0, 7) и D(x, y) являются последовательными вершинами равнобедренной трапеции ABCD?

37. Векторы x, y, z таковы, что x+y+z = 0. Зная, что |x| = 13, |y| = 14, |z| = 15, найти 38. Даны два вектора a(5, 2), b(7, 3). Найти вектор c, удовлетворяющий условиям 39. Из одной точки проведены векторы a(12, 16), b(12, 5). Найти координаты вектора, который будучи отложен от той же точки, делит пополам угол между векторами.

40. Даны векторы a(1, 1, 1), b(5, 3, 3), c(3, 1, 2). Найти векторы, коллинеарные вектору c, длины которых равны длине вектора a + b.

41. Вычислить косинус угла между векторами a b и a+ b, если a(1, 2, 1), b(2, 1, 0).

42. Углы между векторами a, b, c равны. Равны также их длины. Найти координаты вектора c, если a = i + j, b = j + k.

43. Вычислить координаты единичного вектора, если известно, что он перпендикулярен векторам a(1, 1, 0) и b(0, 1, 1).

44. В параллелограмме ABCD известны координаты трех вершин: A(3, 1, 2), B(0, 1, 1), C(1, 1, 0). Найти длину диагонали BD.

45. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC = 8) точка E делит боковую сторону AB в отношении 3:1 (считая от вершины B). Вычислить угол между векторами CE и CA, если CA = 12.

46. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1 B1 C1 D1 ребра AB, AD, AA1 равны соответственно 1, 2, 3. Найти косинус угла между диагоналями AC1 и BD.

16.4. Домашнее задание 1. При каком значении векторы a(2, 3, 4) и a(, 6, 8) параллельны?

2. Найти произведение координат x, y, z вектора c(x, y, z), если p·a = 6, p·b = 9, p·c = 4, a(1, 1, 0), b(1, 2, 3), c(1, 1, 0).

3. Найти значение выражения yz x2, где x, y, z координаты вектора c(x, y, z), зная, что |c| = 30. Вектор c перпендикулярен векторам a(2, 2, 1), b(3, 1, 1) и образует тупой угол с осью Oz.

4. Найти |a b|, если |a + b| = 31, |a| = 10, |b| = 21.

5. Найти значение выражения A = S · x · y, где S площадь треугольника ABC, координаты вершин которого A(1, 2), B(1, 4), C(3, 2), а x, y координаты центра описанной вокруг треугольника окружности.

6. Найти |a| : |b|, если a + b делит угол между векторами a и b(33; 22; 11) пополам.

7. Дан треугольник с вершинами в точках A(0, 0), B(2, 4), C(1, 3). Найти квадрат 8. Найти градусную меру угла между вектором a( 6; 3 2; 2 3) и осью ординат.

9. Найти диагональ AC параллелограмма ABCD, у которого AB = 7, AD = 8, BAD = 60.

10. В параллелограмме ABCD заданы AB(5; 1; 2), CB(3; 3; 4), A(2; 8; 2).

Найти сумму координат точки пересечения диагоналей параллелограмма.

11. Найти вектор c, зная, что он перпендикулярен векторам a(2, 3, 1), b(1, 2, 3) и удовлетворяет условию c · (2i j + k) = 6.

12. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA B C D с ребрами AA = 6, AB = 8 и AD = 5 найти косинус угла B AD.

13. Векторы x, y, z таковы, что x = 3y + 7z, |x| = 2, x · y = 1. Определить x · z.

14. При каких p и t векторы b(p, 14, 7), c(10, t, 2) коллинеарны?

15. Известно, что векторы 3a5b и 2a+ b перпендикулярны между собой, а векторы a+4b и a+ b также взаимно перпендикулярны. Найти угол между векторами a и b.

16. Зная, что |a| = 3, |b| = 1, |c| = 4 и a + b + c = 0, вычислить a · b + b · c + c · a.

17. Объем прямой треугольной призмы ABCA1 B1 C1 равен 3. Определить координаты вершины A1, если координаты одного из оснований призмы известны: A(1, 0, 1), B(2, 0, 0), C(0, 1, 0).

18. Доказать, что треугольник ABC с вершинами в точках A(1, 0, 1), B(1, 1, 0), C(1, 1, 1) прямоугольный. Найти расстояние от начала координат до центра окружности, описанного около этого треугольника.

19. Даны вершины треугольника A(1, 1, 3), B(2, 1, 2), C(5, 2, 6). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине A.

Читайте также: Ldv maxus задний тормозной цилиндр

16.5. Проверочный тест 1. В параллелепипеде ABCDA1 B1 C1 D1 все ребра равны 1. Тогда диагональ AC параллелепипеда при условии, что плоские углы при вершине A равны 60, имеет величину 2. Вектор c перпендикулярен векторам a(2, 2, 1) и b(3, 1, 1); образует с осью Oz тупой угол. Тогда значение выражения yz x2, где x, y, z координаты вектора c(x, y, z), и |c| = 30, равно 1) 11; 2) 13; 3) 11; 4) 13; 5) 15.

3. Векторы a(6, 0, 12) и b(8, 13, z) перпендикулярны при значении z равном 4. Длина вектора a( 3, m + 1, m + 2) не превосходит 8 при значениях m, удовлетворяющих условию 5. Точка, симметричная точке B(3, 2, 3) относительно начала координат, имеет координаты 1) (3, 2, 3); 2) (3, 2, 3); 3) (3, 2, 3); 4) (3, 2, 3); 5) (3, 2, 3).

6. Векторы a, b, c таковы, что b = 3ac. Если скалярное произведение a· b = 6 и |a| = 2, то скалярное произведение a · c равно 7. Площадь параллелогамма ABCD с вершинами A(1, 2), B(4, 6), D(5, 5) равна 8. Векторы a = (6, 4, p) и b = (t, 2, 1) коллинеарны. Найдите сумму p + t.

9. Найдите косинус угла между векторами a = (1, 2, 2) и b = (2, 1, 2).

10. Найдите длину медианы AM треугольника ABC с вершинами A(1, 1, 1), B(3, 4, 4), C(7, 6, 2).

16.6. Ответы Аудиторные задачи:

1. 6; 2. 6; 3. 0; 4. a), b) 180, c) 90, d), e) 0 ; 5. 13; 6. 36; 7. |a| = 11; 8. 13; 9.

83; 10. 90 ; 11. 135 ; 12. 2; 13. 90 ; 14. arccos ; 15. -5; 16. 1; 17. m [2, 1]; 18.

arccos 0; 28. 3; 29. 3 2; 30. arccos ; 31. |a| = |b|, либо |a| = 0, либо |b| = 0; 32. p(6, 8);

33. b(1, 1/2, 1/2); 34. 6; 35. 5/2; 36. x = 7, y = 0; x = 2, y = 9; 37. 295; 38. c(6, 4);

39. (21k, 77k) Указание: найти единичные векторы и взять их сумму; 40. (6, 2, 4) и (6, 2, 4); 41. ; 42. c(1, 0, 1) и c(1/3, 4/3, 1/3). Указание: составить систему уравнений и равенства скалярных произведений и длин векторов; 43. ±(1, 1, 1)/ 3;

44. 6; 45. arccos Домашнее задание:

1. = 4; 2. 10; 3. 13; 4. |a b| = 11; 5. 12; 6. 1; 7. 0,4; 8. 135c irc; 9. 13; 10.

7; 11. c(3, 3, 3); 12. ; 13. ; 14. p = 35, t = 4; 15. arccos ± ; 16. 13;

17. A1 (0, 2, 0) и A1 (2, 2, 2). Указание: зная объем, найти высоту и приравнять ее к длине вектора AA1, еще одно условие получить из перпендикулярности этого вектора 17. Стереометрия Прямые и плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух прямых, двух плоскостей, прямой и плоскости в пространстве. Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми. Признаки параллельности прямой и плоскости, двух плоскостей. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Многогранники. Призма, виды призм: прямая и правильная призмы, параллелепипед, прямоугольный параллелепипед. Пирамида. Площадь поверхности и объем призмы, параллелепипеда и пирамиды. Тела вращения (цилиндр, конус и шар). Площадь поверхности и объем цилиндра, конуса, усеченного конуса. Сфера, шаровой сектор, шаровой сегмент. Площадь поверхности сферы, объем шара.

17.1. Справочный материал Перечислим ряд теорем, часто используемых при решении задач.

1. Если плоскость содержит прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

2. Если через каждую из двух параллельных прямых проведена произвольная плоскость, и эти плоскости пересекаются, то линия их пересечения параллельна каждой из данных прямых.

3. Если две пересекающиеся плоскости параллельны данной прямой, то линия их пересечения также параллельна данной прямой.

4. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

5. Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

6. Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости.

7. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.

8. Если плоскость содержит перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.

9. Для того, чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость (теорема о трех перпендикулярах).

Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны.

Для того чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно одну из прямых переместить параллельно самой себе так, чтобы полученная прямая пересеклась со второй прямой. Тогда угол между ними есть угол между скрещивающимися прямыми.

Для того чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно эти прямые поместить в две параллельные плоскости. Тогда длина перпендикуляра между этими плоскостями будет равна расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Прямоугольный параллелепипед (рис. 28).

где P периметр прямоугольника, лежащего в основании.

где L – длина бокового ребра; Pсеч. – периметр сечения, перпендикулярного боковому ребру.

Усеченная пирамида V = h(S + s + S · s), где h высота усеченной пирамиды;

S и s площади большего и меньшего оснований усеченной пирамиды.

где L длина образующей конуса;

Сфера Шаровой сегмент где h высота сегмента;

17.2. Примеры Пример 1. В треугольнике ABC, являющемся основанием прямой призмы ABCA1 B1 C1, угол ACB = 90, отношение гипотенузы к катету равно 1,5, а второй катет равен 18. Найти расстояние между прямыми CC1 и B1 A.

Решение. Рассмотрим прямую призму ABCA1 B1 C1 на рис. 34. Проведем прямую AB1. Прямые CC1 и AB1 скрещивающиеся. Для того, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно найти плоскость, в которой лежит прямая AB1, параллельная прямой CC1. Очевидно, это плоскость ABB1 A1 (так как наша призма, то боковые ребра в ней параллельны, т. е. CC1 AA1 и, следовафигура тельно, CC1 ABB1 A1 ).

Затем нужно провести перпендикуляр между прямой CC1 и плоскостью ABB1 A1.

Проведем в треугольнике ABC высоту CD. Покажем, что это нужный нам перпендикуляр. Действительно, по построению CDAB. Далее, прямая AA1 перпендикулярна плоскости ABC, так как призма прямая. Поэтому AA1 перпендикулярна любой прямой на этой плоскости. В частности, AA1 CD. Следовательно, прямая CD перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB и AA1 на плоскости ABB1 A1, поэтому она перпендикулярна самой плоскости ABB1 A1. Так что CD требуемый перпендикуляр между прямой CC1 и плоскостью ABB1 A1. Тогда его длина и есть нужное нам расстояние.

Для его нахождения рассмотрим плоский рисунок (рис. 35). По условию задачи, BC = 18, а = 1, 5. Обозначив AC = x, получим AB = 1, 5x. По теореме Пифагора имеем Отсюда AC = x =, а AB =. По формулам площади треугольника Поэтому Ответ: 12.

Пример 2. Два противоположных ребра правильного тетраэдра служат диаметрами оснований цилиндра. Найти ребро тетраэдра, если известно, что объем цилиндра равен 256.

Решение. Поскольку рисунок достаточно сложен, мы не будем рисовать цилиндр, а нарисуем только правильный тетраэдр (рис. 36). И пусть AS и CB это диаметры нужного цилиндра. Для определения объема цилиндра нам нужно знать его высоту и радиус основания. Обозначим этот радиус через r, тогда по условию задачи AS = CB = 2r. Проведем через середину D отрезка AS и через середину E отрезка BC прямую DE. Покажем, что это и есть высота нужного нам цилиндра.

Плоскость ASE перпендикулярна прямой CB, так как CBSE (SE медиана, а значит и высота в правильном треугольнике CSB) и CBAE (AE медиана, а значит и высота в правильном треугольнике ABC). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости ASECB. Следовательно, прямая CB перпендикулярна любой прямой на плоскости ASE, в частности, CBAS и CBDE.

Так как прямые CB и AS перпендикулярны, то для того, чтобы найти расстояние между этими скрещивающимися прямыми, достаточно построить прямую, перпендикулярную прямым CB и AS. Но это и есть прямая DE, поскольку мы показали, что она перпендикулярна CB и DEAS как медиана в равнобедренном треугольнике AES (AE = ES как высоты в равных равносторонних треугольниках).

Итак, отрезок DE есть высота нужного нам цилиндра. Найдем его:

Поэтому объем V цилиндра равен V = r2 ·( 2r) = r3 2 = 256 по условию задачи.

Тогда r = 2 2 = 4 2, поэтому ребро тетраэдра равно 2r = 8 2.

Пример 3. Три ребра куба лежат на ребрах тетраэдра ABCD, а вершина P на грани ABC. Найти ребро куба, если DA = 2, DB = 4, DC = 6 (см. рис. 37).

Решение. Из условия задачи и рис. 37 мы видим, что ребра AD, BD, CD взаимно перпендикулярны. Введем прямоугольную систему координат, взяв за начало координат точку D, ось абсцисс направив по прямой DA, ось ординат по прямой DC и ось аппликат по прямой DB.

Тогда координаты точек A, C, B будут такие: A(2, 0, 0), B(0, 0, 4) и C(0, 6, 0). Если ребро куба обозначить через x, то точка P будет иметь координаты P (x, x, x) и лежать на плоскости, проходящей через точки A, B, C.

Соединим точку P с вершинами тетраэдра A, B, C, D, тогда наш тетраэдр разобьется на три пирамиды ADCP, ABDP, BCDP, а ребра куба будут их высотами (см. рис. 38). Эти высоты имеют длину, равную длине ребра куба x.

Найдем объем V первоначального тетраэдра ABCD. Он равен произведению длин ребер AD, DC, BD, деленному на 6 (ребра взаимно перпендикулярны!):

Представим тот же объем в виде суммы объемов треугольных пирамид ADCP, ABDP, BCDP. Эти объемы равны произведению высоты x на площади соответствующих оснований (площади граней ADC, ADB, DBC) (все эти грани являются прямоугольными треугольниками), деленному на 3.

Имеем Делитель 6 появился в знаменателе из-за того, что в формуле для площади грани есть делитель 2.

Сравнивая эти объемы, получаем уравнение Пример 4. В треугольной пирамиде боковые ребра попарно перпендикулярны. Их длины составляют соответственно 2 см, 3 см и 4 см. Найти объем пирамиды.

Решение. Объем пирамиды вычисляется по формуле V = HSосн. При нахождении объема пирамиды DABC (рис. 39) наибольшие трудности возникают при вычислении высоты DE. При решении задач про треугольную пирамиду со взаимно перпендикулярными боковыми ребрами используется специфический прием. Положим пирамиду на боковую грань ABD (рис. 40). Так как CD AD и CD BD, то CD перпендикулярен плоскости основания ABD. Таким образом, CD является высотой пирамиды CABD. Площадь прямоугольного треугольника ADB (AD DB) вычисляют по формуле SADB = AD · DB. Отсюда объем пирамиды Ответ: 4 см3.

Пример 5. Площадь осевого сечения цилиндра равна м2. Найти площадь его боковой поверхности.

Решение. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, у которого одна из сторон диаметр основания цилиндра, а еще одна сторона образующая цилиндра (рис. 41). Отсюда площадь осевого сечения S = 2RH.

Площадь боковой поверхности цилиндра Sбок.пов. = 2RH = S. Окончательно Sбок.пов. = · = 6 м2.

Пример 6. Высота конуса составляет от диаметра его основания. Найти отношение площади основания конуса к площади его боковой поверхности.

Решение. Площадь основания конуса Sосн. = R2. Площадь боковой поверхности конуса Sбок.пов. = RL, где L длина образующей (рис. 42). По теореме Пифагора L2 = H 2 + R2 ; H = · 2R = R. Отсюда L = R + R2 = R. Следовательно, конус имеет Sбок.пов. = R · R = R. Искомое отношение Ответ: 0,6.

Пример 7. Объем шара равен 12. Найти объем другого шара, у которого площадь поверхности в 9 раз больше, чем у данного шара.

Решение. Все шары подобны друг другу. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, а объемов кубу коэффициента подобия:

= k 2 = 9. Отсюда k = 3. Следовательно, = k 3 = 27. Получаем V = 27·v = 27·12 = 324.

Пример 8. В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найти объем конуса, если объем шара равен.

Решение. Изобразим осевое сечение конуса (рис. 43). Сечение шара на этом рисунке является вписанным кругом, r =, где a сторона треугольника. Радиус основания конуса R =. Высота конуса H =.

Объем шара Vш = r3. Так как a = 2 3r, то Отсюда Ответ: 24.

17.3. Аудиторные задачи 1. В треугольнике ABC катет AB = 3, B = 90. Из вершины A к плоскости этого треугольника проведен перпендикуляр AM. Найти расстояние от точки M до стороны BC, если AM = 4.

2. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O. Из точки O проведен к плоскости квадрата перпендикуляр OM. Найти расстояние от точки M до стороны BC, если AD = 6, OM = 4.

3. На расстоянии 1, 5 0,5 от центра шара проведена плоскость. Площадь полученного сечения равна 2,75. Найти площадь поверхности шара.

4. Расстояния между тремя точками сферы равны 12, 16 и 20, а расстояние от проходящей через них плоскости до центра сферы равно 24. Найти площадь сферы.

5. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания в 3,5 раза меньше бокового ребра. Найти двугранный угол при ребре основания пирамиды.

6. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120, а боковые стороны по 10. Вне треугольника дана точка, удаленная от всех его вершин на 26. Найти расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

Читайте также: Как расклинить тормозные цилиндры

7. Трапеция вписана в круг, причем меньшее ее основание, равное 16, стягивает дугу в 60. На расстоянии 12 от плоскости трапеции находится точка, равноудаленная от всех вершин трапеции. Найти расстояние от этой точки до вершин трапеции.

8. Через центр O квадрата ABCD проведен перпендикуляр OF к плоскости квадрата. Вычислить косинус угла между плоскостями BCF и ABCD, если F B = 5, BC = 6.

9. Сфера радиуса 2 касается всех граней правильной шестиугольной призмы. Найти длину ребра основания призмы.

10. Сфера проходит через все вершины прямоугольного параллелепипеда с ребрами 4, 6, 7. Найти площадь сферы.

11. Через одну из сторон ромба, диагонали которого равны 6 и 8, проведена плоскость под углом 60 к плоскости ромба. Найти площадь проекции ромба на плоскость.

12. В правильной треугольной пирамиде сторона основания в 2,5 раза меньше бокового ребра. Найти двугранный угол при ребре основания пирамиды.

13. Найти расстояние между противолежащими ребрами правильного тетраэдра, если его ребро равно 8.

14. Дан куб ABCBA1 B1 C1 D1 с ребром 1. Найти расстояние между диагоналями AB1 и A1 D.

15. Если ребро куба ABCDA1 B1 C1 D1 равно 1, то чему равно расстояние от точки A до плоскости сечения, проходящего через точки A1 BC.

16. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен. Найти плоский угол при вершине пирамиды.

17. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с боковыми ребрами AA1, BB1, CC1, DD1. Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через центр куба и середины ребер AB и BC, если ребро куба равно 1.

18. В треугольной пирамиде боковые ребра попарно перпендикулярны. Их длины соответственно равны 2, 4, 6. Найти объем пирамиды.

19. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 8 и 15, а угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен 45. Найти высоту параллелепипеда.

20. Ребро куба ABCDA1 B1 C1 D1 равно 2. Найти расстояние между AD1 и B1 C.

21. В прямом параллелепипеде стороны основания 10 и 17. Одна из диагоналей основания равна 21. Большая диагональ параллелепипеда равна 29. Найти объем параллелепипеда.

22. Основанием прямой призмы служит ромб. Площади диагональных сечений равны 6 и 8. Найти площадь боковой поверхности призмы. 23. Сторона основания правильной четырехугольной призмы 2, а ее диагональ составляет с плоскостью боковой грани угол 30. Найти объем призмы.

24. В правильной треугольной пирамиде угол между боковым ребром и плоскостью основания 60, а радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен 4. Найти объем пирамиды.

25. В правильной четырехугольной пирамиде проведено сечение, проходящее через середины двух смежных боковых ребер параллельно высоте пирамиды. Найти площадь этого сечения, если боковое ребро равно 18, а диагональ основания 16 2.

26. В треугольной пирамиде SABC с высотой SH = 6 все боковые ребра наклонены под углом 30 к плоскости основания ABC, а угол ABC равен 30. Найти длину ребра AC.

27. Пусть V, R, G соответственно число вершин, ребер и граней пирамиды. Найти значение 4R G, если V = 9.

28. Найти объем усеченной пирамиды, если площади ее оснований 96 и 24, а высота соответствующей полной пирамиды равна 16.

29. Ребро правильного октаэдра равно 2 6. Найти его объем.

30. Ребро куба ABCDA1 B1 C1 D1 равно 3. Найти площадь сечения, проходящего через вершину A и середины ребер BB1 и DD1.

31. Дан тетраэдр ABCD, у которого ребра DA, DC, DB взаимно перпендикулярны. Три ребра куба лежат на ребрах тетраэдра DC, DA и DB, а вершина P на грани ABC. Найти ребро куба, если DA = 1, DB = 2, DC = 4.

32. Центры граней куба служат вершинами правильного октаэдра. Найти площадь поверхности октаэдра, если ребро куба равно 2.

33. Площадь поверхности шара равна 5. Шар рассечен плоскостью. Длина окружности сечения шара равна. Найти расстояние от центра шара до секущей плоскости.

34. Найти высоту цилиндра, если площадь его основания равна 1, а площадь боковой поверхности равна.

35. Осевым сечением цилиндра является квадрат с диагональю 3 6 2. Найти объем цилиндра.

36. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник. Площадь полной поверхности конуса равна 18. Найти площадь основания конуса.

37. Радиус основания конуса равен 6 2, а угол при вершине в развертке его боковой поверхности равен 90. Найти объем конуса.

38. Найти объем конуса, если его высота равна, а расстояние от центра основания до образующей равно.

39. В цилиндр вписан конус так, что основания и высоты этих фигур совпадают.

Во сколько раз объем цилиндра больше объема конуса?

40. Радиус шара, описанного около куба, равен 3. Найти площадь поверхности куба.

41. В куб вписан шар. Найти площадь поверхности шара, если площадь полной поверхности куба равна.

42. В шар, площадь поверхности которого равна 100, вписан цилиндр. Найти высоту цилиндра, если радиус его основания равен 4.

43. Объем цилиндра равен 7,5. Найти объем вписанного в этот цилиндр шара.

44. Высота конуса 8, образующая 10. Найти радиус вписанного шара.

45. Высота конуса равна 3, образующая равна 6. Найти радиус описанного шара.

17.4. Домашнее задание 1. Найти расстояние от точки M до плоскости равнобедренного треугольника ABC, зная, что AB = BC = 13, AC = 10, а точка M удалена от каждой стороны треугольника на 8.

2. Равнобедренная трапеция, периметр которой равен 48, а острый угол расположена в плоскости. Точка, одинаково удаленная от всех сторон трапеции, находится на расстоянии 3 от плоскости. Найти расстояние от этой точки до сторон трапеции.

3. Из вершины A правильного треугольника ABC проведен к плоскости перпендикуляр AM. Точка M соединена с точками B и C. Двугранный угол, образованный плоскостями ABC и M BC, равен 60. Найти тангенс угла, образованного стороной M B с плоскостью треугольника ABC.

4. Сфера радиуса 4 проходит через все вершины куба. Найти длину ребра куба.

5. Диагональ куба равна 9. Найти площадь сферы, касающейся всех граней этого куба.

6. Найти ребро правильного тетраэдра, если расстояние между его противолежащими ребрами равно 1.

7. Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1, в котором расстояние между диагоналями AB1 и A1 D равно 3. Найти ребро куба.

8. Ребро куба равно. Найти расстояние от плоскости диагонального сечения куба до непересекающего его ребра.

9. Через середину диагонали куба перпендикулярно ей проведена плоскость. Определить площадь фигуры, получившейся в сечении куба этой плоскостью, если ребро куба равно a.

10. Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через концы трех его ребер, выходящих из одной вершины, равна 18 3. Найти длину ребра куба.

11. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 2 2 и 2 + 2, а диагональ наклонена к плоскости основания под углом 60. Найти боковую поверхность.

12. прямом параллелепипеде основанием служит параллелограмм со сторонами a = 3 2 и b = 2 и острым углом 45. Площадь боковой поверхности параллелепипеда в 4 раза больше площади его основания. Найти объем параллелепипеда.

13. Все ребра прямой треугольной призмы имеют одинаковую длину. Площадь полной поверхности призмы равна 4 + 8 3. Найти площадь ее основания.

14. В правильной треугольной призме через сторону основания проведено сечение под углом 30 к плоскости основания. Получился треугольник, площадь которого равна 8. Найти сторону основания призмы.

15. В правильной треугольной пирамиде SABC объемом 42 точка O центр вписанной в треугольник SAB окружности, а боковое ребро в 7 раз больше ребра основания ABC. Найти объем пирамиды OABC.

16. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 9 и наклонена к плоскости основания под углом 60. Найти объем шара, вписанного в пирамиду.

17. Найти площадь поверхности шара, описанного около конуса, у которого радиус основания, а высота.

18. Шар вписан в конус, радиус основания которого равен 4, а периметр осевого сечения 40. Найти длину линии касания шара и боковой поверхности конуса.

19. В шар вписан конус. Площадь осевого сечения конуса равна 3 2, а угол между высотой и образующей равен 45. Найти объем шара.

20. В шар вписан конус, образующая которого равна диаметру основания. Найти отношение полной поверхности этого конуса к поверхности шара.

21. Образующая l конуса, равная 6, наклонена к плоскости основания под углом 60. Найти объем шара, вписанного в конус.

22. Пусть V, R, G соответственно число вершин, ребер и граней усеченной пирамиды. Найти значение 2V R, если G = 11.

17.5. Проверочный тест 1. Расстояния между тремя точками сферы равны 3, 4, 5, а расстояние от проходящей через них плоскости до центра сферы равно 6. Тогда площадь сферы равна 2. В правильной четырехугольной пирамиде основание в 2,5 раза меньше бокового ребра. Двугранный угол при ребре основания равен 1) arccos ; 2) arcsin ; 3) arccos ; 4) arcsin ; 5) arctg.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Вне плоскости треугольника дана точка, удаленная от каждой из вершин треугольника на расстояние 10. Тогда расстояние от этой точки до плоскости треугольника равно 4. Два противоположных ребра правильного тетраэдра служат диаметрами оснований цилиндра. Если ребро тетраэдра равно 2 2, то объем цилиндра равен 5. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при ребре основания равен 45. Тогда косинус угла между боковым ребром и плоскостью основания равен 6. В правильной треугольной призме ABCA1 B1 C1 проведено сечение через вершину A и ребро BC. Если сторона основания призмы равна 21, а боковое ребро 20, то периметр сечения равен 1) 61; 2) 122; 3) 71; 4) 62; 5) 79.

7. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 6, а апофема 12, следовательно, высота пирамиды равна 8. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 9 и 40, а угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен 45. Найдите высоту параллелепипеда.

9. Диаметр основания конуса равен 18, а радиус вписанного шара равен 7,2. Найти высоту конуса.

10. Основание пирамиды SABC треугольник ABC, в котором C = 90, а катеты 15 и 20. Ребро SC перпендикулярно плоскости основания, а двугранный угол при ребре AB равен 45. Найдите объем пирамиды.

17.6. Ответы Аудиторные задачи:

1. 5; 2. 5; 3. 20; 4. 2704; 5. arccos 1/4 3; 6. arccos ; 7. 24; 8. 20; 9.

19. 8; 20. 17; 21. 2; 22. 3360; 23. 20; 24. 4; 25. 3; 26. 6 3; 27. 84; 28. 55; 29. 448; 30.

32 3; 31. ; 32. 2 3; 33. 1; 34. 0,5; 35. 3,375; 36. 6; 37. 5; 38. 7,2; 39. 3; 40. 72; 41.

1,5; 13. 2; 14. 4; 15. ; 16. 40,5; 17. 25; 18. 6; 19. 4; 20. 9/16; 21. 12; 22. 9.

18. Итоговый проверочный тест 1. Произведение всех корней уравнения равно 2. Пусть log2 3 = a, log3 5 = b. Найти log 3. Найти последнюю цифру числа 4. Область определения функции первые шесть натуральных чисел. Найти сумму значений функции 1) 566; 2) 516; 3) 546; 4) 506; 5) 536.

5. Если сумма двух чисел равна 47, то максимальное значение их произведения равно 1) 553, 5; 2) 552, 25; 3) 552; 4) 525; 5) 559.

6. Произведение корней уравнения равно 7. Система уравнений имеет бесконечно много решений при значениях k, равных 8. Сумма коэффициентов и свободного члена приведенного квадратного уравнения, корнями которого являются sin и cos, удовлетворяющие соотношению равна 9. Все решения неравенства на промежутке [0, ] составляют множество 1) [/6; /2)(5/6; ]; 2) [0; /6); 3) (/6; /2)(5/6; ]; 4) [0; /6]; 5) (/2; ].

10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1 B1 C1 D1 ребра AB, AD и AA равны соответственно 3,4 и 2. Тогда косинус угла между диагоналями AD1 и A1 C 11. Значение выражения равно 1) 4; 2) 3; 3) 9; 4) 1/9; 5) 16.

12. Если x0 корень уравнения то значение выражения равно 1) 63; 2) 26; 3) 1/5; 4) 5; 5) 2/5.

13. Область значений функции есть множество 1) (0; 1000); 2) [1000; +); 3) [0; 1000]; 4) [0, 1; 1000]; 5) [0, 1; +).

функции равно 15. Сумма всех корней уравнения равна 16. Прямой параллелепипед, в основании которого лежит ромб с площадью 10, имеет диагональные сечения 8 и 10. Тогда объем параллелепипеда равен 1) 60; 2) 50; 3) 20; 4) 30; 5) 40.

17. Высота усеченной пирамиды равна 7, площадь большего основания 36, а высота соответствующей полной пирамиды 14. Тогда объем усеченной пирамиды равен 1) 147; 2) 144; 3) 150; 4) 153; 5) 141.

18. В шар радиуса 10 вписан конус, высота которого больше радиуса шара. Если радиус основания конуса равен 6, то объем конуса равен 1) 216; 2) 241 ; 3) 209; 4) 202 ; 5) 225.

19. Значения параметра a, для которых уравнение не имеет решений, составляют множество 4) [ 2; 2]; 5) (; 2) ( 2; +).

20. Найти частное от деления наименьшего общего кратного на наибольший общий делитель чисел 495 и 1) 165; 2) 231; 3) 385; 4) 235; 5) 221.

Читайте также: Как разобрать цилиндры от фронтального

21. Разность второго и первого членов геометрической прогрессии с положительными членами равна 18, а разность четвертого и третьего ее членов равна 162. Найти сумму первых трех членов этой прогрессии.

22. Найти производную функции в точке x0 =.

23. Касательная к графику функции в точке x0 = 1 проходит через точку (2; 37). Найти a.

24. Упростить выражение 25. Пусть вектор a(3, m, 1) перпендикулярен вектору b(2, 1, n) и |a| = |b|. Найти значение выражения m + n.

26. Один из корней квадратного уравнения является средним арифметическим, а другой средним геометрическим корней уравнения Найти это уравнение.

27. Найти сумму модулей корней уравнения 28. Найти решение неравенства 29. Найти корни уравнения 30. Найти все решения неравенства Список литературы [1] Амелькин, В. В. Задачи с параметрами: справочное пособие по математике/ В.В.Амелькин, В.Л.Рабцевич. М.: УНЦ ДО МГУ, 1996.

[2] Башмаков, М. И. Задачи по математике. Алгебра и анализ/ М.И.БашМ.: Наука, 1982.

маков, Б.М.Беккер, В.М.Гольховой.

[3] Болгарский, Б. В. Очерки по истории математики/ Б.В.Болгарский.

Минск: Вышейшая школа, 1974.

[4] Вавилов, В. В. Задачи по математике. Уравнения и неравенства: справочное пособие/ В.В.Вавилов и др. М.: Наука, 1987.

[5] Вавилов, В. В. Задачи по математике. Алгебра: справочное пособие/ В.В.Вавилов и др. М.: Наука, 1988.

[6] Горштейн, П. И. Задачи с параметрами/ П.И.Горштейн и др. Киев: РИА Тест, 1992.

[7] Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу/ Б.П.Демидович. М.: Наука, 1972.

[8] Звавич, Л. И. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения/ Л.И.Звавич, Л.Я.Шляпочник. М.: Школа– Пресс, 1994.

[9] Крамор, В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа/ В.С.Крамор. М.: Просвещение, 1990.

[10] Крысицкий, В. Шеренга великих математиков/ В.Крысицкий (ред.) Варшава: Наша ксенгария, 1970.

[11] Мельников, И. И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах/ И.И.Мельников, И.Н.Сергеев. М.: Изд-во МГУ, 1994.

[12] Олехник, С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств/ С.Н.Олехник, М.К.Потапов, П.И.Пасиченко. М.: Изд-во МГУ, 1991.

[13] Пойа, Д. Математическое открытие/ Д.Пойа. М.: Наука, 1976.

[14] Потапов, М. К. Конкурсные задачи по математике/ М.К.Потапов и др.

[15] Сканави, М. И. Сборник конкурсных задач для поступающих во втузы/ М.И.Сканави (ред.) М.: Высшая школа, 1994.

[16] Симонов, А. Я. Система тренировочных задач и упражнений по математике/ А.Я.Симонов и др. М.: Просвещение, 1991.

[17] Соминский, И. С. Элементарная алгебра. Дополнительный курс/ И.С.СоМ.: Наука, 1967.

[18] Тихомиров, В.М. Рассказы о максимумах и минимумах/ В.М.Тихомиров.

[19] Фридман, Л. М. Как научиться решать задачи/ Л.М.Фридман, Е.Н.Турецкий. М.: Просвещение, 1989.

[20] Хинчин, А. Я. Восемь лекций по математическому анализу/ А.Я.Хинчин.

[21] Цыпкин, А. Г. Справочник по методам решения задач по математике/ А.Г.Цыпкин, А.И.Пинский. М.: Наука, 1989.

[22] Черкасов, О. Ю. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену/ О.Ю.Черкасов, А.Г.Якушев. М.: Айрис Рольф, 1997.

[23] Чистяков, В. Д. Старинные задачи по элементарной математике/ В.Д.Чистяков. Минск: Вышейшая школа, 1978.

[24] Шабунин, М. И. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений/ М.И.Шабунин. М.: Аквариум, [25] Шабунин, М. И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системы неравенств/ М.И.Шабунин. М.: Аквариум, [26] Шарыгин, И. Ф. Факультативный курс по математике/ И.Ф.Шарыгин.

[27] Шарыгин, И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: учеб.

пособие для 11 кл. сред. шк./ И.Ф.Шарыгин, В.И.Голубев. М.: Просвещение, 1991.

[28] Пособие по математике для поступающих в вузы/ под ред. Г.Н.Яковлева М.: Наука, 1982.

Содержание 1. Преобразование арифметических 4. Алгебраические уравнения и системы уравнений 7. Преобразование тригонометрических выражений 8. Тригонометрические уравнения и неравенства 9. Преобразование логарифмических и 10.Логарифмические и показательные уравнения 11.Логарифмические и показательные неравенства 15.Планиметрия. Различные геометрические 16.Векторы на плоскости и в пространстве

Видео:Как считать ребра на рентгенограмме? | РентгенологияСкачать

МАТЕМАТИКА

Видео:Математика 2 класс (Урок№43 - Свойство противоположных сторон прямоугольника.)Скачать

АДАПТАЦИОННЫЙ КУРС

Кытманов Александр Мечиславович Лейнартас Евгений Константинович Мысливец Симона Глебовна Подписано в печать 25.06.2009. Печать плоская Формат 6084/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 11, Издательско-полиграфический комплекс Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, Отпечатано в типографии ИПК СФУ 660041, г. Красноярск, пр. Свободный,

«ГРАФИК учебного процесса студентов 4 у курса 210404 (МТС) по состоянию на 02.04. 2009 г. N Наименование учебников, Число Выставлено учебных пособий экземпляров в на сайте вуза, пп и УМР по дисциплине, НТБ и кафедры (да/нет) год издания на кафедре Автоматические междугородные телефонные станции 1 195 Автоматическая коммутация: Учебник./ О.Н. Иванова, М.Ф. Копп, З.С. Коханова и др. Под ред. О.Н. Ивановой.-М.: Радио и связь,1988.-624 с. 2 Бавина Н.М. Автоматическая коммутация: Учебное пособие.-М. »

«Л.А.Татарникова Flash: графика, анимация и элементы программирования Учебное пособие Томск2010 УДК ББК Л. А. Татарникова Flash: графика, анимация и элементы программирования: Учеб. пособие. — Томск, 2010. — 148 с. Курс Flash: графика, анимация и элементы программирования предназначен для обучения учащихся 8—9 классов рисованию, анимации и знакомства с основами программирования в программе Flash. Учебно-методический комплект Flash: графика, анимация и элементы программирования состоит из. »

«Общественный мониторинг соблюдения Стандарта раскрытия информации управляющими компаниями Пермь 2012 1 Общественный мониторинг соблюдения Стандарта раскрытия информации управляющими компаниями. – Пермь, 2012. – 84 с. Редактор М.Г. Клейн Авторский коллектив: А.А. Жуков, Е.Г. Рожкова, С.Л. Шестаков Издание подготовлено специалистами некоммерческой организации Пермский Фонд содействия товариществам собственников жилья. В течение целого года команда исполнителей проекта вплотную работала над. »

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Казанский государственный технологический университет Институт технологии легкой промышленности, моды и дизайна Кафедра Дизайн ПРОГРАММА ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРАКТИКИ Методические указания для студентов IV курса Казань КГТУ 2007 УДК 665.6:033.28 Составители: проф. В.В. Хамматова доцент Е.В. Кумпан зав. худ. маст. А.И. Вильданова Программа производственной практики: метод. указания. »

«Закрытое акционерное общество Вектор-Бест И. М. Скударнова, Н. В. Соболева, Н. В. Мычка ГОРМОНЫ ЩИТОВИДНОЙ ЖЕЛЕЗЫ Информационно-методическое пособие Кольцово 2006 Гормоны щитовидной железы: пособие для врачей / И. М. Скударнова, Н. В. Соболева, Н. В. Мычка; ЗАО Вектор-Бест. – Кольцово : ЗАО Вектор-Бест, 2006. – 32 с. В настоящем пособии представлена краткая информация о функционировании щитовидной железы в норме и патологии. Рассмотрены основные тиреоидные гормоны, анализ содержания которых в. »

«УДК 378 ББК 74.202 В.И. БАЙДЕНКО ВЫЯВЛЕНИЕ СОСТАВА КОМПЕТЕНЦИЙ ВЫПУСКНИКОВ ВУЗОВ КАК НЕОБХОДИМЫЙ ЭТАП ПРОЕКТИРОВАНИЯ ГОС ВПО НОВОГО ПОКОЛЕНИЯ: Методическое пособие. – М.: Исследовательский центр проблем качества подготовки специалистов, 2006. – 72 с. ISBN 5-7563-0324-3 Предлагаемое методическое пособие содержит некоторые рекомендации в части выявления общих (универсальных) и профессиональных компетенций и результатов образования для разработки государственных образовательных стандартов высшего. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ВИТЕБСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РЕКОМЕНДОВАНО УТВЕРЖДАЮ редакционно-издательским Первый проректор УО ВГТУ Советом УО ВГТУ _ В.В.ПЯТОВ _И.А.МОСКАЛЕВ _2003 г. _2003 г. ПРОГРАММА ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРАКТИК для студентов специальности Т 17.02.00 Технология тканей, трикотажа и нетканых материалов, специализации Т 17.02.03 Художественное проектирование текстильных полотен Витебск, УДК 677. »

«Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики С. А. Ложкин Лекции по основам кибернетики Учебное пособие по курсам Основы кибернетики и Структурная реализация дискретных функций Москва 2004 УДК 519.17, 519.71 ББК 22.18 Л 30 Ложкин С.А. Лекции по основам кибернетики (учебное пособие для студентов) М.: Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ (лицензия ИД N 05899 от 24.09.2001), 2004 г. 253 с. Пособие включает в себя основную часть. »

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Казанский государственный технологический университет Ибраев А.М, Фирсова Ю.А., Хамидуллин М.С., Хисамеев И.Г. ХОЛОДИЛЬНАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ Учебное пособие Казань КГТУ 2010 УДК 664.8 ББК 36.97я73 Х Холодильная технология пищевой промышленности: учебное пособие/ Ибраев А.М. [и др.]. – Казань: Изд-во Казан. гос. технол. унта, 2010. – 124 с. ISBN Даны теоретические. »

«О. А. МОКРУШИНА СБОРНИК ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ 2 — е и з д а н и е, п е р е р а б ота н н о е 1 класс МОСКВА • ВАКО • 2011 УДК 372.851 ББК 74.262.21 М74 Р е ц е н з е н т – заместитель директора ОМЦ Центрального окружного управления образования г. Москвы С.И. Сабельникова. Мокрушина О.А. М74 Сборник текстовых задач по математике: 1 класс. – 2-е изд., перераб. – М.: ВАКО, 2011. – 112 с. ISBN 978-5-408-00381-5 В сборник вошли задачи познавательного и занимательного характера, которые. »

«МАТЕРИАЛЫ КОНФЕРЕНЦИИ 73 УПРАВЛЕНИЕ ПЕРСОНАЛОМ Приложение Интернет-ресурсы содержит ссылки на ведущие электронные ресурсы Панов Б.В., Шабалов В.А., Юрлов Ю.Н. наук и управления персоналом. Филиал СПбГИЭУ, Череповец, Дистрибутивы электронного учебника и деe-mail: chereng@rambler.ru мо-версия доступны на официальном сайте: www.chereng.ru. Особенности: Весь материал разбит на отдельные блоки – разделы, которые охватывают целостный круг во- БИЗНЕС-ПЛАН просов, объединенных по критерию направление. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПЕЧАТИ Е. В. Никульчев ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ СИММЕТРИЙ РЕКОНСТРУИРОВАННЫХ АТТРАКТОРОВ Учебное пособие Москва 2010 1 УДК 519.711.3 ББК 22.18 Н 65 Рецензенты: А. И. Дивеев, д. т. н., профессор (Вычислительный центр РАН); Е. Е. Ковшов, д. т. н., профессор (МГТУ СТАНКИН). Н 65 Никульчев Е. В. Идентификация динамических систем на основе симметрий реконструированных аттракторов : учеб. »

«УДК 004:001.8(075) ББК 32.973+20я73 И74 Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине Информационнокоммуникационные технологии в естественнонаучных исследованиях подготовлен в рамках реализации Программы развития федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Сибирский федеральный университет (СФУ) на 2007–2010 гг. Рецензенты: Красноярский краевой фонд науки; Экспертная комиссия СФУ по подготовке учебно-методических комплексов дисциплин. »

«При цитировании и использовании материалов, ссылка на источник – www.esoteric4u.com — обязательна! Пособие для Групп Развития Методическое Пособие по работе с Планетарными Каналами Мира Асия (Мира Действия) Дополнительно: Пособие Эзотерическая модель Мира Действия 1 Содержание: Предупреждение Введение Явное, Скрытое и Эзотерическое Значение Дерева Сфирот Наследие Сфиротической Магии Дерево Сфирот – как Спираль Качеств Описание Каналов Мира Асия в их воздействии на Подсознание Скрытое Значение. »

«The customer is our coach Training Учебное пособие Легковые автомобили Новый S-класс. Тип 220. Электрооборудование Выпуск: апрель 2003 г. ЗАО ДаймлерКрайслер Автомобили РУС Учебный центр Учебное пособие подготовлено в Учебном Центре ЗАО ДаймлерКрайслер Автомобили РУС в 2000 году по материалам фирмы DaimlerChrysler AG. Информация, находящаяся в учебных материалах, соответствует состоянию техники на момент издания брошюры и с течением времени может устаревать. Таким образом, данная брошюра не. »

«М.А. Жукова МЕНЕДЖМЕНТ В ТУРИСТСКОМ БИЗНЕСЕ Допущено Советом Учебно методического объединения вузов России по образованию в области менеджмента в качестве учебного пособия по дисциплине Менеджмент туризма специализации Гостиничный и туристический бизнес специальности Менеджмент организации Третье издание, переработанное и дополненное МОСКВА 2010 УДК 379.85(075.8) ББК 65.433я73 Ж86 Рецензенты: Р.М. Качалов, заведующий лабораторией ЦЭМИ РАН, д р экон. наук, проф., И.А. Рябова, ректор Московской. »

«Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Сыктывкарский государственный университет Е.А. Бадокина Финансовый менеджмент Учебное пособие Сыктывкар 2009 УДК 336.005(075) ББК 65.261 Б 15 Печатается по постановлению редакционно-издательского совета Сыктывкарского университета Рецензенты: кафедра бухгалтерского учета и аудита Сыктывкарского филиала Российского университета потребительской кооперации; М.В. Романовский, д-р экон. наук, проф., заведующий кафедрой финансов СПбУЭиФ Бадокина Е.А. »

«Шатилова пл 9, тир 300 4 курса факультета Медико-профилактическое дело. Н.А. Бурова, Ю.А. Шатилова пл 5, тир 300 Методические рекомендации для преподавателей по акушерству и 2016 гинекологии для студентов 4 курса педиатрического факультета. А.Е. Мирошников, М.С. Селихова пл 1,2, тир 300 Курс лекций по акушерству и гинекологии для студентов 3 курса стоматологического факультета О.А.Ярыгин, М.В. Андреева пл 9, тир Осложненная перименопауза в вопросах Учебно-методическое пособие для. »

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Казанский государственный технологический университет ХОЛОДИЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИЯ Методические указания к выполнению раздела Холодоснабжение выпускной квалификационной работы по специальности 271200 Технология продуктов общественного питания 2008 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Казанский. »

«2 3 4 Оглавление АННОТАЦИЯ 1. ТРЕБОВАНИЯ К ДИСЦИПЛИНЕ 2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ. 3. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ 4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 4.1. СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ 4.2. ТРУДОЁМКОСТЬ МОДУЛЕЙ И МОДУЛЬНЫХ ЕДИНИЦ ДИСЦИПЛИНЫ СОДЕРЖАНИЕ МОДУЛЕЙ ДИСЦИПЛИНЫ 4.3. 4.4. ЛАБОРАТОРНЫЕ/ПРАКТИЧЕСКИЕ/СЕМИНАРСКИЕ ЗАНЯТИЯ 4.5. САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ Перечень вопросов для самостоятельного изучения 4.5.1. 6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ. »

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.