Движение цилиндра со смещенным центром тяжести (2 видео)

Стержень устанавливают на горизонтальную поверхность так, чтобы он образовывал некоторый угол с вертикалью, и отпускают. Необходимо рассчитать координаты его концов при падении в последовательные моменты времени.

Рис. 1. Падение стержня на горизонтальную поверхность.

Рассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек m₁ и m₂, связанных между собой невесомым упругим стержнем (рис. 1). Длина стержня в недеформированном состоянии равна l₀, при его сжатии возникают силы упругости F₁ и F₂. Будем считать, что нижний конец стержня A скользит по горизонтальной поверхности, не отрываясь от нее (y₁=0). При этом на него действует сила вязкого трения F_ТР, пропорциональная скорости и направленная в сторону, противоположную движению. Проекции сил, действующих на материальные точки m₁ и m₂, вычисляются из формул:

В программе ПР-1 в последовательные моменты времени пересчитывают силы, действующие на материальные точки, их ускорения, скорости и координаты. Результаты моделирования падения стержня при различных значениях коэффициента сопротивления r представлены на рис. 2. При необходимости можно рассчитать траекторию движения центра масс стержня, зависимость его угла наклона от времени и т. д.

Рис. 2. Результаты моделирования падения стержня.

Лестницу прислоняют к стене и отпускают. Напишите программу, моделирующую падение лестницы, если известно, что ее концы с трением скользят по поверхностям стены и пола, не отрываясь от них.

Рис. 3. Падение стержня на горизонтальную поверхность.

Вместо лестницы рассмотрим систему двух материальных точек массами m₁ и m₂, соединенных невесомым упругим стержнем жесткостью k и длиной l₀. Эти точки как бы скользят по вертикальной и горизонтальной направляющим, при этом на них действует сила вязкого трения, прямо пропорциональная скорости и направленная в противоположную сторону (рис. 3). Найдем действующие на точки силы:

Программа ПР-2 содержит цикл по времени, в котором вычисляются силы, действующие на материальные точки, определяются их ускорения, скорости и координаты, а также координаты центра масс. На экране монитора изображается положение лестницы в последовательные моменты времени (рис. 4).

Рис. 4. Падение стержня на горизонтальную поверхность.

Промоделируйте плоское движение тела в поле тяжести, при котором его центр масс движется по кривой, а само тело вращается вокруг центра масс. Используйте модель, состоящую из двух материальных точек, связанных упругим стержнем.

Рис. 5. Движение двух материальных точек, соединенных стержнем.

Рассмотрите систему из двух материальных точек, соединенных упругим стержнем. Проекции сил, действующих на точки, могут быть вычислены по формулам (рис. 5):

Программа ПР-3 содержит цикл по времени, в котором вычисляются действующие силы, ускорения, скорости и координаты точек. На экране строятся положения стержня в последовательные моменты времени. Программа позволяет промоделировать: 1) движение в поле тяжести и отскок стержня от стены и пола (рис. 6); 2) движение системы в случае, когда массы точек сильно отличаются; 3) движение системы при не очень большой жесткости стержня.

Рис. 6. Движение палки в поле тяжести.

На тележке массой m₁ подвешен маятник, состоящий из тела массой m₂ и нити длиной l. Маятник выводят из положения равновесия и отпускают. В подшипниках тележки действует сила вязкого трения. Напишите программу, моделирующую затухающие колебания системы.

Рис. 7. Движение тележки с маятником.

Заменим систему «маятник-тележка» системой, состоящей из двух материальных точек m₁ и m₂, связанных упругим стержнем жесткостью k и длиной l₀ (рис. 7). Материальная точка m₁ способна скользить по горизонтальной линии так, что ее координата y₂ остается постоянной. При этом на нее действует сила вязкого трения, направленная противоположно скорости и пропорциональная ее величине. Проекции сил, действующих на точки системы, вычисляются по формулам:

Читайте также: Цилиндр сообщение 11 класс

В предлагаемой программе ПР-4 осуществляется расчет действующих на точки сил, а также проекций их ускорений, скоростей и координат в последовательные моменты времени. Результаты моделирования представлены на рис. 8.

Рис. 8. Колебания маятника на тележке.

На горизонтальной поверхности покоится кольцо (труба), к внутренней стороне которого прикреплен груз. Расстояние от оси кольца до его центра масс известно. Кольцо смещают из положения равновесия и отпускают. Изучите: 1) колебания кольца относительно положения равновесия; 2) движение кольца после того, как ему сообщили начальную скорость.

Рис. 9. Колебания кольца со смещенным центром тяжести.

Рассмотрим качение кольца по горизонтальной поверхности (рис. 9). Необходимо рассчитать расстояние от центра кольца O до центра масс C, момент M силы тяжести, момент инерции I относительно мгновенной оси вращения A. Для этого следует использовать формулы:

Зная момент силы и момент инерции, можно определить угловое ускорение тела в последовательные моменты времени, вычислить угловую скорость и угол поворота, а также горизонтальную координату центра кольца. При этом используется программа ПР-5, результаты представлены на рис. 10 и 11. Чтобы промоделировать качение кольца со смещенным центром масс, следует задать начальную скорость (рис. 12).

Рис. 10. Зависимость угла поворота от времени.

Рис. 11. Колебания кольца на горизонтальной поверхности.

Рис. 12. Качение кольца со смещенным центром масс.

Брусок в форме прямоугольного параллелепипеда плавает на поверхности жидкости. Координаты центра масс, плотности жидкости и бруска известны. Определите расположение бруска относительно поверхности жидкости.

Рис. 13. К расчету положения тела.

Расположение бруска относительно поверхности воды однозначно определяется величинами d и φ (рис. 13). Пусть a = 3, b = 1. Задача решается так. Положим, что φ=0. Будем увеличивать d от -3 с некоторым шагом, каждый раз вычисляя объем погруженной части бруска и определяя силу Архимеда. Плотность бруска ρ меньше плотности жидкости ρ₀, поэтому сила Архимеда превысит силу тяжести, когда тело не полностью погрузится в жидкость. Нарисуем поверхность жидкости AB и определим положение центра плавучести P.

Брусок будет находиться в положении устойчивого равновесия тогда, когда центр масс C находится точно под центром плавучести P, то есть углы φ и φ₁ равны. Если это условие не выполняется, будем увеличивать угол φ с некоторым шагом, каждый раз определяя величину d, положение центра плавучести P и проверяя равенство углов φ и φ₁ (оно может выполняться с небольшой погрешностью). Когда углы φ и φ₁ окажутся равными, программы должна вывести результат вычислений.

Для нахождения объема погруженной части тела Vp необходимо найти площадь S фигуры, выделенной точками. Для этого используется метод прямоугольников:

Чтобы найти координаты xpl и ypl центра плавучести, внутрь прямоугольника случайным образом бросим 100000 точек и подсчитаем количество точек, попавших в заштрихованную область S, соответствующую погруженной части тела. Используется следующий фрагмент программы:

Результаты работы программы ПР-6 представлены на рис. 14 и 15. Программа рисует прямоугольное сечение бруска и определяет положение поверхности жидкости AB и центра плавучести. Сила Архимеда направлена вдоль вертикали MN. В состоянии устойчивого равновесия центр масс C и центр плавучести P лежат на одной вертикали MN. Изображение, получающееся на экране монитора, представлено в левой части рис. 14 и 15.

Рис. 14. Устойчивое состояние плавающего тела.

Рис. 15. Устойчивое состояние плавающего тела.

Вращающийся цилиндр (или колесо) двигаясь в однородном поле тяжести под некоторым углом падает на горизонтальную поверхность с уступом. Со стороны поверхности на него действуют сила упругости и сила вязкого трения. Необходимо промоделировать движение цилиндра с течением времени.

Читайте также: Замена главного тормозного цилиндра шевроле круз

Цилиндр мысленно заменим системой из девяти частиц, одна из которых расположена в центре окружности радиуса R, а остальные восемь лежат на этой окружности и делят ее на весемь равных дуг. Будем считать, что частицы соединены между собой шестнадцатью невесомыми упругими стержнями: из них восемь радиальных стержней и восемь стержней, соединяющих соседние частицы, лежащие на окружности. Расстояния между i-той и j-той частицами, когда цилиндр недеформирован, записаны в массив L[i,j] (программа ПР-7).

В процедуре Sila перебираются все 9 материальных точек и рассчитываются проекции сил, действующие на каждую точку. Для этого пересчитываются реальные расстояния между частицами и определяются действующие на них силы упругости (их проекции Fx[i] и Fy[i]). При соударении частицы с горизонтальной поверхностью рассчитываются силы F1 и F2, складывающиеся из силы вязкого трения и силы упругости. После этого пересчитываются скорости и координаты частиц в следующий дискретный момент времени t+1.

Результаты моделирования представлены на рис. 16. Начальные условия заданы так, чтобы подлетающий цилиндр до удара о поверхность вращался бы против часовой стрелки, а после нескольких ударов — по часовой стрелке.

Рис. 16. Вращающийся цилиндр соударяется с поверхностью.

Тексты программ находятся в zip-архиве, файл gl-4.pas.

Содержание

Савельев И.В. Курс общей физики, том I
Титульный лист
Предисловие к четвертому изданию
Из предисловия к четвертому изданию
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Центр — тяжесть — цилиндр
🎥 Видео

Видео:Скатывание цилиндров с наклонной плоскостиСкачать

Савельев И.В. Курс общей физики, том I

Загрузить всю книгу

Видео:Определение центра тяжести сложных сечений. Фигуры из ГОСТ.Скачать

Титульный лист

Главная редакция физико-математической литературы

Механика, колебания и волны,

Главная цель книги — познакомить студентов прежде всего с основными идеями и методами физики. Особое внимание обращено на разъяснение смысли физических законов и на сознательное применение их. Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга представляет собой серьезное руководство, обеспечивающее подготовку, достаточную для успешного усвоения в дальнейшем теоретической физики и других физических дисциплин.

Видео:Работа с грузом со смещённым центром тяжестиСкачать

Предисловие к четвертому изданию

При подготовке к настоящему изданию книга была значительно переработана. Написаны заново (полностью или частично) параграфы 7, 17, 18, 22, 27, 33, 36, 37, 40, 43, 68, 88. Существенные добавления или изменения сделаны в параграфах 2, 11, 81, 89, 104, 113.

Ранее, при подготовке ко второму и третьему изданиям были написаны заново параграфы 14, 73, 75. Существенные изменения или добавления были внесены в параграфы 109, 114, 133, 143.

Таким образом, по сравнению с первым изданием облик первого тома заметно изменился. Эти изменения отражают методический опыт, накопленный автором последние десять лет преподавания обшей физики в Московском инженерно-физическом институте.

Видео:Момент инерцииСкачать

Из предисловия к четвертому изданию

Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой первый том учебного пособия по курсу общей физики для втузов. Автор в течение ряда лет преподавал общую физику в Московском инженерно-физическом институте. Естественно поэтому, что пособие он писал имея в виду прежде всего студентов инженерно-физических специальностей втузов.

При написании книги автор стремился познакомить учащихся с основными идеями и методами физической науки, научить их физически мыслить. Поэтому книга не является по своему характеру энциклопедичной, содержание в основном посвящено тому, чтобы разъяснить смысл физических законов и научить сознательно применять их. Не осведомленности читателя по максимально широкому кругу вопросов, а глубоких знаний фундаментальным основам физической пауки — вот что стремился добиться автор.

Видео:Мгновенный центр вращенияСкачать

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Видео:Вращающиеся цилиндрыСкачать

Центр — тяжесть — цилиндр

На цилиндр действуют следующие силы: вес Р, нормальная реакция N плоскости, линия действия которой проходит через центр тяжести цилиндра С, и сила трения F, направленная вверх но наклонной плоскости. [16]

Читайте также: Как собрать рабочий цилиндр сцепления газ 3307

Исследовать движение ротора Фуко, представляющего собой твердый цилиндр, вращающийся вокруг своей оси и подвешенный за ось в точке, проходящей через центр тяжести цилиндра . Ось ориентирована в направлении с востока на запад. [18]

О совпадает с центром тяжести отсеченной площади А ВВГ При равновесии линия, соединяющая центры тяжести тела и площади А ВВ будучи перпендикулярна к плоскости плавания, будет нормальна и к прямой А В представляющей след плоскости плавания на плоскости АА ВВ Таким образом задача определения плоскости плавания сводится к следующей: провести на площади AAiBBi прямую так, чтобы она отсекала от АА1ВВ1 данную площадь и чтобы прямая, соединяющая центр тяжести цилиндра с центром тяжести отсеченной площади, была нормальна к секущей прямой. [20]

Остается определить ординату ус центра тяжести С. Обозначим центр тяжести цилиндра через С и через Сз — центр тяжести конуса. [21]

Задача 9.12. Написать уравнение эллипсоида инерции, построенного в центре тяжести однородного круглого цилиндра массы т, высоты 2 / г с радиусом основания, равным г. Координатные оси изображены на рисунке. Начало координат О совпадает с положением центра тяжести цилиндра . [22]

Координатные оси изображены на рисунке. Начало координат О совпадает с положением центра тяжести цилиндра . [23]

Задача 1.1. Однородный цилиндр М, вес которого Р 20Н, лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Сверху на цилиндр давит вертикальная сила F 50 Н, линия действия которой проходит через центр тяжести цилиндра . [24]

Задача 1.1. Однородный цилиндр М, вес которого Р 20 кГ, лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Сверху на цилиндр давит вертикальная сила р 50 кГ, линия действия которой проходит через центр тяжести цилиндра . [25]

Внешними силами, действующими на цилиндр, являются сила тяжести G, касательная ( трение при качении) Ft и нормальная N составляющие реакции. Можно сразу исключить неизвестные силы FI и N, составив уравнение вращения в форме ( 15), что возможно, так как нормаль в точке Р к центроидам проходит через центр тяжести цилиндра . [26]

При качении тел играет роль специальный тип сил трения. О существовании этого типа сил трения говорит следующий факт. Если цилиндр катится по горизонтальной плоскости без скольжения ( рис. 213), то скорость движения цилиндра убывает, причем это не связано с возникновением скольжения. Поскольку скорость центра тяжести цилиндра уменьшается, то, значит, на него действует внешняя сила, направленная против движения, — сила трения F. Но момент этой силы мог бы только увеличивать угловую скорость вращения цилиндра, так как он направлен в ту же сторону, что и вращение. [27]

Центр тяжести параллелепипеда, в частности куба, расположен на пересечении его диагоналей. Это доказывается разбиением параллелепипеда на тонкие пластинки, параллельные разным граням. Центр тяжести шара находится в его геометрическом центре — доказывается разбиением шара на тонкие диски. Центр тяжести цилиндра лежит на середине его геометрической оси — доказывается разбиением цилиндра на тонкие диски и нахождением центров тяжести попарно дисков, равноудаленных от оснований цилиндра. [28]