Емкость между 2 цилиндрами (8 видео)

Содержание

Поле и емкость параллельных цилиндров с несовпадающими осями
1.12. Электрическая емкость
Емкость между 2 цилиндрами
Расчет электрической емкости
📽️ Видео

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Поле и емкость параллельных цилиндров с несовпадающими осями

Случай 1. «Коаксиальный» кабель со смещенной жилой.

Дано: R₁ – радиус жилы; R₂ – радиус оболочки; d – смещение осей жилы и оболочки; – напряжение между жилой и оболочкой (рис.4). Определить: емкость кабеля на единицу длины и потенциалы проводников относительно средней плоскости между электрическими осями .

из пояснений к уравнению (1) следует, что

s₂, s₁, a вычисляются из решения системы уравнений

Алгоритм вычислений: сначала рассчитываются s₂, s₁, a, затем C₀, потом .

Если нужно определить параметры эквипотенциали , то вычисляются величины k_i, s_i, R_i, по формулам, дополняющим уравнение (1).

Пример расчёта электростатического поля и ёмкости «коаксиального» кабеля со смещённой жилой в ядре MATLAB и в PDE Toolbox дан на сайте по адресу http://www.matlab.ru/pde/book5/index.asp.

Здесь приведём тексты вычислительных сценариев расчёта электростатического поля коаксиального кабеля без и со смещением жилы.

% vannak — Расчёт электростатического полq в коаксиальном кабеле

% Входные данные: epsilon — проницаемость;

% rob — радиус оболочки; rz — радиус жилы;

% U — напрqжение; nf — число шагов по потенциалу.

% Выходные данные: c0 — ёмкость на единицу длины;

% rk — радиусы эквипотенциалей.

% В обычной фигуре строитсq картина эквипотенциалей

eps0=8.85419e-3; % Абсолютнаq диэлектрическаq проницаемость вакуума, пФ/мм

if exist(‘epsilon’,’var’), sepsilon=num2str(epsilon); else sepsilon=’1′; end

if exist(‘rob’,’var’), srob=num2str(rob); else srob=’250′; end

if exist(‘rz’,’var’), srz=num2str(rz); else srz=’20’; end

if exist(‘U’,’var’), sU=num2str(U); else sU=’10’; end

if exist(‘nf’,’var’), snf=num2str(nf); else snf=’10’; end

epsilon=eval(SS ); rob=eval(SS ); rz=eval(SS ); U=eval(SS ); nf=eval(SS );

disp([‘epsilon=’,num2str(epsilon),’; rob=’,num2str(rob),’; rz=’,num2str(rz),’; U=’,num2str(U),’; nf=’,num2str(nf)])

% vannaks — Расчёт электростатического полq в «коаксиальном» кабеле со смещённой жилой

% Входные данные: epsilon — проницаемость;

% rob — радиус оболочки; rz — радиус жилы;

% d — смещение оси жилы относительно оси оболочки;

% nf — число шагов по потенциалу.

% Выходные данные: c0 — ёмкость на единицу длины;

% rk — радиусы эквипотенциалей.

% В обычной фигуре строитсq картина эквипотенциалей

eps0=8.85419e-3; % Абсолютнаq диэлектрическаq проницаемость вакуума, пФ/мм

if exist(‘epsilon’,’var’), sepsilon=num2str(epsilon); else sepsilon=’1′; end

if exist(‘rob’,’var’), srob=num2str(rob); else srob=’250′; end

if exist(‘rz’,’var’), srz=num2str(rz); else srz=’20’; end

if exist(‘d’,’var’), sd=num2str(d); else sd=’40’; end

if exist(‘U’,’var’), sU=num2str(U); else sU=’10’; end

if exist(‘nf’,’var’), snf=num2str(nf); else snf=’10’; end

epsilon=eval(SS ); rob=eval(SS ); rz=eval(SS ); d=eval(SS ); U=eval(SS ); nf=eval(SS );

disp([‘epsilon=’,num2str(epsilon),’; rob=’,num2str(rob),’; rz=’,num2str(rz),’; d=’,num2str(d),’; U=’,num2str(U),’; nf=’,num2str(nf)])

Случай 2. Двухпроводная линия с проводами разного радиуса.

Дано: R₁ – радиус положительно заряженного провода; R₂ – радиус отрицательно заряженного провода; – напряжение между проводами; d – смещение осей цилиндрических проводов (рис. 5).

Определить: емкость линии на единицу длины и потенциалы проводников относительно средней плоскости между электрическими осями . Так же как и в предыдущем случае

Для s₁, а, R₁, k₁ справедливо соотношение (2), поскольку k> 1. Если k

Поле и емкость системы цилиндр – плоскость

Пусть заданы радиус R цилиндра, высота h над плоскостью (например, над поверхностью земли) и приложенное напряжение U (рис. 6). Положение электрических осей можно определить из уравнений

Потенциал плоскости , поэтому .

Линейная плотность заряда

Если h>>R, т.е. тонкий провод подвешен высоко над поверхностью земли, то (s+ a) 2h;

Поле и ёмкость двухпроводной линии

Дано: R – радиус цилиндров (провод); d – расстояние между геометрическими осями цилиндров; – напряжение между проводами (рис. 7). Определить: потенциалы проводов, линейную плотность заряда, емкость на единицу длины.

Если d>>R, то (смещением электрических осей относительно геометрических можно пренебречь) и емкость линии на единицу длины можно определить по формуле

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Видео:Расчет ёмкости 3D в ELCUT: Ёмкость между двумя сферамиСкачать

1.12. Электрическая емкость

Электрическая емкость характеризует способность тела или системы тел накапливать электрические заряды, запасая таким образом энергию электрического поля.

Емкость определяют как отношение заряда уединенного проводящего тела к его потенциалу(при условии, что точка, в которой потенциал принимается равным нулю, лежит в бесконечности):

а емкость двух проводящих тел, разделенных диэлектриком и заряженных равными по значению и противоположными по знаку зарядами – как отношение абсолютного значения заряда к разности потенциалов этих тел:

Емкость зависит от геометрических размеров, конфигурации, диэлектрической проницаемости диэлектрика и взаимного расположения тел.

Емкость измеряется в Фарадах (Ф).

Ниже приведены выражения для емкостей простейших систем.

Емкость плоского конденсатора с однослойным диэлектриком равна:

где S – площадь каждой пластины; d – расстояние между пластинами.

Емкость плоского конденсатора с двухслойным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью e₁ и e₂ каждого слоя и их толщиной, равной d₁ и d₂ определяется выражением

Емкость на единицу длины цилиндрического конденсатора (коаксиального кабеля) с однослойным диэлектриком и радиусами обкладок R₁ и R₂ (R₁ >R), то емкость можно определять по приближенной формуле

При наличии нескольких заряженных проводников вводят понятие частичных емкостей и эквивалентной емкости системы.

Частичной емкостью называется емкость между двумя проводниками, входящими в систему проводников. Частичную емкость между двумя проводниками определяют как абсолютное отношение заряда одного проводника к разности потенциалов между этими проводниками, когда остальные проводники системы имеют один и тот же потенциал.

Эквивалентная емкость (рабочая) – емкость между двумя проводниками, входящими в систему проводников, учитывающая частичные емкости между парой проводов системы.

Видео:Объём цилиндраСкачать

Емкость между 2 цилиндрами

Издание: Теоретические основы электротехники. Том 3: Учебник для вузов. 4-е изд.

Видео:Урок 4 - объем, мощность, крутящий момент, расход топлива двигателя, малолитражки, крупнолитражки.Скачать

Расчет электрической емкости

25.1. Емкость между круглыми цилиндрами. Емкость двухпроводной линии передачи

Емкость между двумя уединенными проводящими телами равна отношению заряда q 1 = q одного из тел к разности их потенциалов U 1 – U 2 , причем предполагается, что заряды тел равны по абсолютному значению и противоположны по знаку, т. е. q 2 = – q 1 = – q . Вычисление емкости между двумя телами сводится к вычислению разности их потенциалов в этих условиях. В качестве важного примера найдем выражение для емкости между двумя параллельными круглыми проводящими цилиндрами. Цилиндры будем предполагать бесконечно длинными, емкость будем определять между их отрезками длиной l . В §§ 24.12 и 24.13 было исследовано поле таких цилиндров.

Потенциал в некоторой точке, удаленной на расстояния r 1 и r 2 от электрических осей цилиндров (см. рис. 24.12 и 24.15), определяется формулой

Нас интересует разность потенциалов самих цилиндров. Для определения потенциалов цилиндров выберем на их поверхностях точки, например наиболее близкие друг к другу точки A 1 и A 2 (см. рис. 24.14 и 24.15). Пусть k 1 — значение отношения r 2 / r 1 для точки A 1 и соответственно k 2 — значение этого отношения для точки A 2 . Имеем

Отношение r 2 / r 1 для любой точки поля может быть выражено через радиус R окружности равного потенциала, проходящей через эту точку (см. рис. 24.12), и через расстояние h | x 0 | от центра этой окружности до плоскости постоянного потенциала (на рис. 24.12 — до плоскости нулевого потенциала). Воспользовавшись формулами и , приведенными в § 24.12, получаем, откуда k 2 – 2 k + 1 0 и

Читайте также: Ось цилиндра зрения норма

Знак плюс следует брать при k > 1, что соответствует случаю r 2 > r 1 , т. е. расположению окружности равного потенциала слева от плоскости U = const (см. рис. 24.15). Знак минус следует брать при k U = const.

Рассмотрим частные случаи.

1. Емкость круглого цилиндра относительно плоскости (рис. 25.1).

Для плоскости постоянного потенциала k 2 = r 2 / r 1 = 1, так как эта плоскость расположена посередине между электрическими осями (см. рис. 24.12). Следовательно,

Здесь h — расстояние от оси цилиндра до плоскости и R — радиус цилиндра. Полученной формулой можно пользоваться для вычисления емкости относительно земли провода, подвешенного на высоте h параллельно поверхности земли.

Так как обычно h R , то приближенно

2. Емкость между несоосными, не охватывающими друг друга круглыми цилиндрами (рис. 25.2).

Имеем k 1 > 1 и k 2 k 1 надо взять знак плюс, а для k 2 — знак минус. Таким образом,

Учитывая, что для любого числа x существует тождество

можем переписать формулу для емкости между цилиндрами в виде

Величины h 1 и h 2 определяются через расстояние между геометрическими осями цилиндров и через их радиусы R 1 и R 2 по формулам:

Для двух цилиндров одинаковых радиусов имеем R 1 = R 2 = R и h 1 = h 2 = D /2. Формула для емкости при этом принимает вид

3. Емкость между тонкими проводами. Емкость двухпроводной линии передачи.

Если R 1 D и R 2 D , то, согласно формулам для h 1 и h 2 , имеем

Поэтому формула для емкости может быть представлена в приближенной форме:

Если радиусы проводов одинаковы: R 1 = R 2 = R , как это обычно имеет место для двухпроводной линии передачи, то получаем

4. Емкость между несоосными, охватывающими друг друга круглыми цилиндрами (рис. 25.3).

В этом случае имеем k 1 > l и k 2 > l и, следовательно,

При этом h 1 и h 2 определяются теми же формулами, что и в п. 2.

5. Емкость между соосными круглыми цилиндрами. Последняя формула переходит в формулу для емкости между соосными цилиндрами в пределе при h 1 / R 1 ® Ґ и h 2 / R 2 ® Ґ .

Действительно, для соосных цилиндров D = 0 и, согласно выражениям для h 1 и h 2 , имеем h 1 = Ґ и h 2 = Ґ ; причем h 1 / h 2 = 1. Учитывая это, из последней формулы получаем

25.2. Потенциальные коэффициенты, коэффициенты электростатической индукции и частичные емкости в системе тел

В системе нескольких заряженных тел потенциал каждого тела определяется не только зарядом данного тела, но также и зарядами всех остальных тел. При этом, если e не зависит от напряженности поля, то потенциал является линейной функцией зарядов. Это положение было использовано (см. ч. I) при выводе выражения для энергии заряженных тел. Рассмотрим это положение и вытекающие из него соотношения более подробно.

Если внести незаряженное проводящее тело A 2 в поле другого тела A 1 , имеющего заряд q 1 , то тело A 2 приобретает некоторый потенциал , отличный от нуля. Если вносимое тело A 2 имеет ничтожно малые размеры (рис. 25.4), то можно пренебречь искажением поля, возникающим от появления на вносимом теле индуцированных зарядов. При этом тело A 2 приобретает потенциал, который был в точке его расположения до его внесения. При значительных размерах вносимого тела (рис. 25.5) поле искажается, и потенциал будет определяться как зарядом q 1 тела A 1 , так и зарядами, индуцированными на теле A 2 . Следовательно,

зависит от формы поверхностей обоих тел и от взаимного их расположения.

Если диэлектрическая проницаемость среды не зависит от напряженности поля, то потенциал изменяется пропорционально заряду q 1 , так как в этом случае при изменении заряда q 1 распределение зарядов на поверхности тел и соответственно картина поля не изменяются. Итак, можно написать:

Связь между потенциалом тела A 1 и его зарядом можно выразить в аналогичной форме:

Следует подчеркнуть, что коэффициент a 11 не равен величине 1/ C 1 , где C 1 — емкость тела A 1 , определяемая в предположении, что все другие тела от него бесконечно удалены. Такое равенство приближенно имеет место только в том случае, когда вносимое тело A 2 весьма мало (см. рис. 25.4). В общем случае (см. рис. 25.5) потенциал U 1 определяется как зарядом q 1 , распределенным на поверхности тела A 1 , так и зарядами, индуцированными на теле A 2 . Таким образом, коэффициент a 11 , так же как и коэффициент a 21 , зависит от формы обоих тел и от их взаимного расположения.

Предположим теперь, что тело A 1 имеет суммарный заряд, равный нулю, в то время как заряд q 2 тела A 2 отличен от нуля (рис. 25.6). При этом тела приобретают потенциалы, значения которых пропорциональны заряду q 2 :

Если заряды обоих тел отличны от нуля, то потенциалы тел могут быть найдены на основе принципа наложения. Имеем

В общем случае, когда имеется n заряженных тел: A 1 , A 2 , . A n , получаем систему уравнений:

Коэффициенты a носят название потенциальных коэффициентов . Они зависят от формы и размеров поверхностей тел, от взаимного расположения тел и от диэлектрической проницаемости среды. Коэффициенты a kk с одинаковыми индексами называются собственными потенциальными коэффициентами, а коэффициенты a nk с различными индексами — взаимными потенциальными коэффициентами. Эти уравнения служат для вычисления потенциалов тел по заданным их зарядам.

Нередко возникает обратная задача: известны потенциалы тел, требуется найти их заряды. Решая приведенные выше уравнения относительно зарядов, получим

Коэффициенты b называются коэффициентами электростатической индукции — собственными при одинаковых индексах и взаимными при разных индексах. Они имеют размерность емкости.

Собственный коэффициент электростатической индукции b kk может быть найден, если принять, что потенциалы всех тел, кроме тела A k , равны нулю. При этом получим q k = b kk U k .

На практике равным нулю принимают потенциал поверхности земли. Следовательно, для того чтобы тело приняло потенциал, равный нулю, его, как принято выражаться, необходимо «заземлить», т. е. соединить проводником с землей. Для определения опытным путем коэффициента b kk следует, заземлив все тела, кроме тела A k (рис. 25.7), сообщить последнему потенциал U k , хотя бы присоединив это тело к полюсу электрической батареи, другой полюс которой заземлен. Измерив вольтметром напряжение U k между телом и землей, отключим вольтметр и батарею и разрядим тело A k на землю через баллистический гальванометр G k . По отбросу гальванометра определим заряд q k тела, а следовательно, сможем вычислить и искомый коэффициент b kk . Все соединительные и заземляющие проводники в этом опыте должны быть весьма тонкими, чтобы присутствие их по возможности мало искажало поле. Коэффициенты с одинаковыми индексами все положительны: b kk > 0, так как в описанном опыте потенциал и заряд тела A k имеют одинаковые знаки.

Если в том же опыте измерить при помощи другого гальванометра G n заряд q n , который был связан на поверхности тела A n и освободился при разряде тела A k , то получим возможность определить и взаимный коэффициент электростатической индукции b nk из соотношения q n = b nk U k .

Очевидно, коэффициент b nk , так же как и все взаимные коэффициенты электростатической индукции, отрицателен. Это непосредственно явствует из рис. 25.7: при U k > 0 линии поля начинаются на теле A k и заканчиваются на теле A n и, следовательно, q n b kp k № p .

Нередко пользуются уравнениями в несколько иной форме, а именно: выражают заряд каждого тела не через потенциалы тел, а через разности потенциалов данного тела и других тел, в том числе и земли. Имеем

Коэффициенты C в этих уравнениях называются частичными емкостями — собственными при одинаковых индексах и взаимными при различных индексах. Для определения собственной частичной емкости C kk следует принять потенциалы всех тел равными U k . Тогда q k = C kk U k .

Читайте также: Цилиндр торм 2522 3503500

Для измерения емкости C kk необходимо соединить между собой все тела, зарядить всю эту систему до потенциала U k относительно земли и затем, отключив источник ЭДС, разрядить систему на землю (рис. 25.8). При этом гальванометр должен быть включен так, чтобы был измерен только заряд q k тела A k .

Ясно, что C kk > 0, так как при положительном потенциале системы и заряд на ней будет положителен. При этом же условии U 1 = U 2 = . = U k = . = U n из уравнений, содержащих коэффициенты электростатической индукции, имеем

Взаимная частичная емкость C nk определяется из того же опыта, что и коэффициент b nk . Действительно, при U 1 = U 2 = . = U k –1 = U k +1 = . = U n = 0 и U k № 0 из уравнений, содержащих частичные емкости, имеем q n = – C nk U k . Следовательно, C nk = – b nk.

Таким образом, вообще при k № p C kp = – b kp и C kp > 0.

Преимущество уравнений, содержащих частичные емкости, по сравнению с уравнениями, содержащими коэффициенты электростатической индукции, состоит в том, что в них все коэффициенты положительны.

Отметим, что имеет место равенство a kp = a pk , справедливость которого легко доказать из условия независимости энергии системы заряженных тел от последовательности, в которой устанавливаются заряды системы, аналогично тому, как было доказано равенство M kp = M pk (см. ч. I). Пользуясь определителями, легко показать также, что b kp = b pk . И из условия C kp = – b kp следует, что C kp = C pk . Это соотношение выражает принцип взаимности для системы заряженных тел.

25.3. Потенциальные коэффициенты в системе параллельных весьма длинных проводов

В виде примера, весьма важного для практики, рассмотрим систему проводов, протянутых параллельно друг другу над поверхностью земли (рис. 25.9). Длину проводов будем предполагать столь большой, что поле можно считать плоскопараллельным. Обычно диаметры проводов весьма малы по сравнению с расстоянием между их осями и с высотой их подвеса. В таком случае проще всего определяются потенциальные коэффициенты a . Для определения коэффициентов a 11 , a 21 , a 31 , . a n 1 достаточно принять q 1 № 0 и q 2 = q 3 = . = q n = 0. При этом ни один провод не должен быть заземлен. Уравнения приобретают вид

Поле заряженного первого провода будет таким же, как и при одном проводе, протянутом над поверхностью земли (см. рис. 24.27), так как искажением поля вследствие существования других проводов можно пренебречь ввиду малости их сечений. При таком условии коэффициент a 11 является величиной, обратной емкости провода по отношению к земле, выражение для которой получено в § 25.1 в предположении отсутствия остальных проводов. Следовательно,

Коэффициент a 21 нетрудно определить, если заметить, что незаряженные провода ввиду малости их сечений принимают в поле заряженного провода те потенциалы, которые получаются в местах их расположения и при отсутствии их. Найдем, пользуясь уравнением U = ln + C 2 , приведенным в § 24.12, потенциал на оси второго провода, определяемый зарядами первого провода и его зеркального изображения в поверхности земли. Постоянная C 2 в данном случае равна нулю, так как для точек на поверхности земли расстояния r 1 и r 2 до провода и его зеркального изображения равны между собой и, кроме того, для этих точек U = 0.

Замечая, что для точки, лежащей на оси второго провода, необходимо принять r 1 = r 12 и r 2 = r 1 ў 2 (см. рис. 25.9), получаем

Так как r p ў k = r pk ў (см. рис. 25.9), то a kp = a pk , что было отмечено в предыдущем параграфе для общего случая.

Умение рассчитывать потенциальные коэффициенты, коэффициенты электростатической индукции и частичные емкости весьма важно во многих практических задачах, например при расчете параметров линии передачи со сложным расположением проводов, при выяснении вопроса о влиянии линии передачи высокого напряжения на расположенные рядом с ней линии связи и т. д.

25.4. Емкость двухпроводной линии с учетом влияния земли

Полученные в предыдущем параграфе выражения для потенциальных коэффициентов в системе параллельных проводов, протянутых над поверхностью земли, дают возможность найти выражение для емкости двухпроводной линии передачи с учетом влияния земли.

Пусть заряды проводов равны по абсолютному значению и противоположны по знаку: q 2 = – q 1 . Заменяя q 2 на – q 1 , получаем

Следовательно, искомая емкость имеет выражение

Определим, пользуясь этой формулой, емкость двухпроводной линии, провода которой подвешены на одинаковой высоте h от земли и на расстоянии D друг от друга (рис. 25.10). Радиусы проводов одинаковы и равны R . Согласно формулам, полученным в предыдущем параграфе, имеем

Если высота подвеса h много больше расстояния между проводами D , то 2 h и

т. е. получаем формулу, выведенную ранее (см. § 25.1) без учета влияния земли.

25.5. Емкость трехфазной линии передачи

Все полученные выше соотношения, строго говоря, справедливы только для электростатического поля. Однако с большой степенью точности они могут быть использованы и при вычислении параметров линий передачи при промышленной частоте. Критерием допустимости приближенного рассмотрения переменного электрического поля около проводов линии в отдельные моменты времени как электростатического поля может служить соотношение между линейными размерами области, в которой рассматривается поле, и длиной электромагнитной волны. Вопрос о длине l электромагнитной волны и о скорости v ее распространения будет рассмотрен в §§ 29.1 и 29.2. Имеет место соотношение l = v / f , где f — частота колебаний. В воздухе v = 3 Ч 10 5 км/с, и при частоте 50 Гц имеем l = 6000 км. На длине волны фаза колебаний напряженности поля меняется на 2 p . В пределах области, линейные размеры которой значительно меньше l , можно считать фазу колебаний напряженности поля одинаковой во всех точках области и с большой степенью точности рассматривать поле в каждый момент времени как электростатическое.

В уравнениях, связывающих заряды и потенциалы, необходимо под q и U понимать в этом случае мгновенные заряды проводов и мгновенные напряжения между проводами и землей. При синусоидальном режиме эти уравнения могут быть написаны в символической форме для комплексных действующих зарядов и напряжений

. Для трехпроводной линии уравнения приобретают вид

Предположим, что напряжения , и образуют симметричную систему, т. е. и , где a — комплексный множитель (см. т. I). Имеем

В этом случае уравнения могут быть записаны в форме

Величины, стоящие в скобках, вещественны при условии, что провода линии расположены симметрично относительно друг друга, т. е. если b 12 = b 23 = b 31 , так как ( a + a 2 ) = – 1 есть вещественное число. При этом стоящие в скобках величины представляют собой емкости проводов относительно земли или, что то же, емкость линии на одну фазу при соединении звездой.

При отсутствии симметрии в расположении проводов, т. е. если b 12 № b 23 № b 31 , стоящие в скобках величины оказываются комплексными. Их вещественные части являются емкостями проводов относительно земли, так как они определяют часть заряда, изменяющуюся в фазе с напряжением, и, следовательно, определяют реактивную составляющую тока, сдвинутую по фазе на угол p /2 относительно напряжения. Мнимые части величин, стоящих в скобках, определяют активные составляющие токов в проводах, находящиеся в фазе или в противофазе с напряжениями. Заметим, что сумма мнимых частей для всех трех фаз равна нулю, так как при суммировании получаем перед всеми коэффициентами b 12 , b 23 и b 31 вещественные множители ( a + a 2 ) = – 1. Это значит, что если в одних фазах мнимые части определяют положительную активную мощность, то в других они определяют такую же по абсолютному значению, но отрицательную активную мощность. Физически это означает, что при несимметричном расположении проводов некоторое количество энергии передается за период путем электростатической индукции из одной фазы в другую. Это своеобразное явление обусловливает несимметрию токов при симметричных напряжениях. Естественно, что несимметрия токов определяется не только появлением разных по значению и по знаку активных составляющих, но также и различием реактивных составляющих вследствие того, что емкости проводов различны.

Читайте также: Цилиндр сцепления главный для ford focus i

Полная симметрия в расположении проводов может быть достигнута только в кабеле, в котором заземленная оболочка охватывает симметрично все три провода (см. рис. 24.29, б ). В воздушной линии даже при расположении проводов по вершинам равностороннего треугольника (рис. 25.11) наличие земли вносит несимметрию. Подавно несимметричной оказывается линия с расположением проводов согласно рис. 25.12.

Обычно через равные расстояния изменяют расположение проводов на опорах так, что постепенно осуществляется круговая перестановка (транспозиция) проводов (рис. 25.13). Основная цель круговой перестановки — уменьшить электростатическое и электромагнитное влияние проводов линии высокого напряжения и сильного тока на соседние линии связи. При наличии круговой перестановки средние значения параметров всей линии получаются одинаковыми для всех фаз, и всю линию можно рассматривать как симметричную. В среднем для всей линии не будет иметь места передача энергии за целый период из одной фазы в другую путем электростатической индукции.

С достаточной для практики точностью решение можно получить, вводя в систему уравнений

средние для всей линии значения потенциальных коэффициентов a .

где a 12 , a 23 , a 31 , a 11 , a 22 , a 33 — истинные значения коэффициентов для одного из участков, и будем считать в дальнейшем, что для всей линии все коэффициенты a с разными индексами равны a m и все коэффициенты a с одинаковыми индексами равны a 0 .

Естественно, что в симметричной линии при симметричной системе напряжений и заряды , , образуют также симметричную систему, т. е. , .

Уравнения в этом случае приобретают вид

Следовательно, искомая емкость провода относительно земли равна

Согласно формулам, приведенным в § 25.3, имеем

При расположении проводов согласно схеме рис. 25.12 имеем

Пренебрегая влиянием земли, т. е. принимая D h , получим

25.6. Метод средних потенциалов для расчета потенциальных коэффициентов и емкостей в системе проводов

Для расчета емкости сложных систем, состоящих из нескольких проводов конечной длины, например емкости радиоантенн, широко используется приближенный метод, предложенный Хоу.

В электростатическом поле потенциал проводника одинаков во всех его точках, заряд же распределяется по поверхности проводника неравномерно. Хоу предложил для вычисления емкости исходить из обратного, по существу, не отвечающего действительности предположения. Именно: предполагается, что заряд распределяется равномерно по поверхности проводников и для линейных проводников — равномерно по их длине. Вычисляется распределение потенциала по поверхности или по длине проводников, и в формулу для емкости вводится среднее значение вычисленных таким образом потенциалов проводников. В соответствии с этим будем называть такой метод методом средних потенциалов. Этот метод, хотя и основан на предположении, не соответствующем реальным условиям, в ряде случаев, например при вычислении емкости системы, образованной параллельными проводами, дает достаточно точные результаты. Объясняется это тем, что неравномерность распределения заряда заметно сказывается лишь на концах таких проводов. Упрощение же расчета достигается весьма большое, так как при заданном распределении заряда потенциал вычисляется по формулам:

Предположим, что имеются два отрезка проводов, длины которых l 1 и l 2 (рис. 25.14). Требуется вычислить потенциальный коэффициент a 12 . Предположим, что q 1 = 0 и q 2 № 0. При этом имеем

Пользуясь приближенным методом, предполагаем, что заряд q 2 распределен равномерно вдоль второго провода с линейной плотностью t 2 = q 2 / l 2 . Потенциал в некоторой точке первого провода, определяемый зарядом q 2 , будет равен

причем интегрирование производится вдоль всего второго провода. Среднее значение потенциала первого провода получается в результате интегрирования вдоль первого провода:

Таким образом, искомый потенциальный коэффициент определяется формулой

Выражение для потенциального коэффициента с одинаковыми индексами, например a 11 для прямолинейного отрезка провода круглого сечения, может быть найдено путем следующих рассуждений. Предполагаем соответственно принятому допущению, что заряд, находящийся на поверхности провода, равномерно распределен по длине провода. Находим потенциал U ў , создаваемый этим зарядом в разных точках оси провода, и вычисляем среднее значение U потенциала вдоль оси. Пусть r — расстояние от кольцевого элемента поверхности проводника, имеющего длину dl ў в направлении оси проводника (рис. 25.15), до элемента dl оси проводника, l — длина проводника и r 0 — радиус его сечения. Потенциал U ў в некоторой точке оси, определяемый всем зарядом q проводника, равен

Среднее значение потенциала вдоль всей оси будет

причем наименьшее значение r есть r 0 .

В качестве примера определим, пользуясь методом средних потенциалов, потенциальный коэффициент a 12 для параллельных отрезков проводов, расположенных на расстоянии D друг от друга и имеющих одинаковые длины l 1 = l 2 = l , причем начала отрезков лежат на одном перпендикуляре к ним. Оси координат расположим так, как показано на рис. 25.16. Имеем

При вычислении коэффициентов a 11 и a 22 с одинаковыми индексами для прямолинейного проводника, имеющего круглое сечение радиуса r 0 , результат интегрирования приведет к формуле, которая получается из только что полученной формулы путем замены D на r 0 . Следовательно,

Так как при выводе этой формулы наличие другого провода не учитывалось, то емкость уединенного цилиндра конечной длины получается из выражения

Заметим, что имеет место соотношение

При l r 0 будет

Емкость между цилиндрами найдется из системы уравнений:

Принимая q 2 = – q 1 и учитывая, что a 21 = a 12 и a 22 = a 11 , получаем

где a 12 и a 11 находятся по только что полученным формулам.

При l r 0 и l D имеем

что совпадает с выведенной ранее формулой для емкости двухпроводной линии передачи (см. § 25.1).

25.7. Вычисление емкости по картине поля

Емкость между двумя цилиндрическими телами большой длины или между двумя телами вращения с общей осью можно вычислить, пользуясь картиной поля, построенной хотя бы приближенным графическим методом, изложенным в §§ 24.15–24.17.

Отношение потока вектора смещения DY D сквозь сечение одной трубки к приращению потенциала D U между соседними линиями равного потенциала, согласно уравнениям, приведенным в § 24.17, равно:

для плоскопараллельного поля

для поля тел вращения

Заряд тела равен, согласно постулату Максвелла, полному потоку смещения сквозь сечения всех трубок, начинающихся на теле. Если число этих трубок равно m 1 , то q = m 1 DY D . Разность потенциалов между двумя телами равна U 1 – U 2 = = m 2 D U , где m 2 — число интервалов между соседними линиями равного потенциала. Таким образом,