Эпюра изгибающих момента для вала

После составления расчетной схемы вала строят эпюры изгибающих моментов в различных плоскостях, суммарных изгибающих моментов, крутящих моментов, эпюры приведенных моментов.

Если передача нереверсивная и направление вращения задано, расчет ведут только для заданного направления вращения. Если передача реверсивная или направление вращения не задано, расчет ведут по более тяжелому для работы валов и подшипников случаю нагружения.
После построения эпюр изгибающих моментов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях X,Y строят эпюру суммарных изгибающих моментов:

При построении эпюры приведенных моментов обычно используют 3-ю и 4-ю гипотезы прочности. На основе третьей гипотезы прочности приведенный момент определяют по зависимости:

Коэффициент α учитывает различие в характеристиках циклов напряжений изгиба и кручения. Напряжение изгиба в вале знакопеременное, симметричное, характеристика цикла которого:

В реверсивной передаче напряжение кручения условно считается также знакопеременным, хотя изменение его знака происходит не за каждую половину оборота, как у напряжения изгиба, а при реверсировании передачи. При сделанном допущении оба напряжения имеют одинаковую характеристику цикла r_σ = r_τ. Здесь α = 1.
В нереверсивной передаче напряжение кручения носит пульсирующий от нуля характер (r_τ = 0). В этом случае:

где [σ_-1]— допускаемое знакопеременное напряжение для вала; [σ₀] — допускаемое пульсирующее от нуля напряжение для вала.
Напряжения сжатия или растяжения от осевых сил обычно незначительные, при расчете валов их не учитывают.

Усреднённые значения допускаемых напряжений для валов, МПа

Эпюры изгибающих и приведенных моментов должны иметься в расчетно-пояснительной записке. При построении эпюр следует помнить, что эпюра приведенных моментов имеет нелинейный характер. Нелинейна и эпюра суммарных изгибающих моментов на участках, где М_x, М_y изменяются по различным законам. Для упрощения построения эпюр моменты вычисляются в отдельных характерных точках (на опорах, в точках приложения сил и моментов). Участки эпюр между этими точками аппроксимируются прямолинейными отрезками.
Необходимо также помнить, что в общем случае вследствие того, что изгибающие моменты в вертикальной и горизонтальной плоскостях изменяются по различным законам, эпюра суммарных изгибающих моментов имеет пространственный характер. Для вала с круглым сечением это обстоятельство несущественно и эпюра изображается плоской.

Расчетные диаметры вала (мм) в характерных точках

где M_pr — H x mm; [σ_-1] — МПа

Основной расчёт валов с построением эпюр изгибающих и крутящих моментов

1. Составляется расчетная схема, где вал рассматривается как балка, лежащая на шарнирных опорах, расстояния между опорами и силами берутся из компоновки редуктора.

2. Определяется величина и направление сил и моментов, действующих на вал (из соответствующих расчетов зубчатых, червячных, ременных или цепных передач).

3. Усилия, изгибающие вал, раскладываются на горизонтальные и вертикальные составляющие, с вычерчиванием расчетных схем для каждой плоскости (рис. 2).

4. Определяются реакции в опорах методами сопротивления материалов и строятся эпюры изгибающих моментов в каждой из двух взаимно перпендикулярных плоскостей.

5. Изгибающие моменты, полученные для каждой из этих плоскостей, складываются геометрически по формуле:

где М_u – результирующий изгибающий момент, Н×м;

М_u в , М_u г – изгибающие моменты в горизонтальной и вертикальной плоскостях, Н×м.

6. Строится эпюра результирующих моментов М_u.

Рис. 4. Схема нагрузок ведущего вала косозубого цилиндрического редуктора

7. Строится эпюра крутящих моментов Т.

8. По характеру эпюр определяются места опасных сечений (наибольшие значения моментов). Для этих мест вычисляют приведенные (эквивалентные) моменты (по теории наибольших касательных напряжений):

Для опасного сечения вала определяется диаметр

где [s] – допускаемое напряжение при основном расчете валов для сталей 35, 40, 45 равно 50…60 Н/мм 2 .

Полученное значение диаметра вала округляется по ГОСТу 6636-69 в меньшую сторону (смотрим предварительный расчёт валов).

Проверочный расчёт валов

Проверочный (уточненный) расчет вала производят в опасных сечениях, где действует максимальный изгибающий момент или имеются концентраторы напряжений (шпоночные канавки, галтели отверстия и т.д.). Расчет обычно производят в форме проверки коэффициента запаса прочности. С точки зрения обеспечения прочности вала, достаточно иметь коэффициент запаса прочности S порядка 1,7. Общий коэффициент запаса прочности определяют из выражения:

где S_s – коэффициент запаса прочности по нормальным напряжениям;

S_τ – коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям (определяется по формуле).

где s_-1 – предел выносливости материала вала при симметричном цикле изгиба (определяется по формуле для углеродистой стали, МПа);

– предел прочности s_b (определяется по таблице 34).

К_s – эффективный коэффициент концентрации нормальных напряжений для шпоночной канавки, – для галтелей и вытачек;

– масштабный фактор (принимается из таблицы 35);

b – коэффициент упрочнения, вводный для валов с поверхностным упрочнением: полированная поверхность b=1, шлифованная поверхность b=0,95…0,97, поверхность чисто обработанная резцом b=0,88…0,92;

– амплитуда цикла нормальных напряжений.

s_m – среднее значение цикла нормальных напряжений;

Если вал не испытывает осевой нагрузки (если ее действием пренебрегают), можно считать, что цикл изменения нормальных напряжений симметричный и s_m=0.

y_s – коэффициент, характеризующий чувствительность материала к асимметрии напряжений для среднеуглеродистых сталей, y_s=0,05.

Можно считать, что нормальное напряжение изгиба в рассчитываемом сечении.

Таблица 34 — Механические свойства стали, применяемой для

Изготовления валов

Марка стали	Диаметр заготовки, мм	Термообработка
до 100	Нормализация
100-300
300-500
до 100	Нормализация
100-300
300-500
до 100	Нормализация
100-300
300-500
до 90	Улучшение
90-120
130-150

Таблица 35 – Значения коэффициента ξ

Вид деформации и материала	Диаметр вала
При изгибе для углеродистой стали	0,95	0,92	0,88	0,85	0,81	0,76	0,70	0,61
При изгибе для высокопрочной легированной стали и при кручении для всех сталей	0,87	0,83	0,77	0,73	0,70	0,65	0,59	0,52

где t_-1 – предел выносливости материала вала при симметричном цикле кручения t_-1=0,58×s_-1, МПа;

К_t – эффективный коэффициент концентрации напряжений при кручении для шпоночной канавки К_t=1,4…2,1 при s_b=500…1000 Н/мм 2 .

Поскольку крутящий момент, передаваемый валом, в большинстве случаев колеблется по величине, исходя из наиболее благоприятного случая знакопостоянного цикла, принимаем, что напряжение кручения изменяется по пульсирующему циклу, тогда

где W_R – момент сопротивления при кручении нетто, мм 3 .

Для вала со шпоночным пазом , мм 3 (168)

y_t=0 – для среднеуглеродистых сталей.

Для вала-червяка , мм 3 (169)

где d_f1 – диаметр впадин червяка, мм.

После определения общего коэффициента запаса прочности его сравнивают с допускаемым значением, [S]=1,7…2,5.

Расчет вала на жёсткость

Производится методами курса сопротивления материалов, если это требуется. Определяются прогиб вала, угол закручивания и сравниваются с допускаемыми значениями. Допустимые значения прогибов: максимальный [f]≤10 -4 ·l, под шестернёй и колесом цилиндрической передачи [f]≤0,03m, под шестернёй и колесом конической передачи [f]≤0,05m,

где l – расстояние между опорами;

Допустимые значения углов поворота: под шестернёй или колесом [Ө]≤0,057 0 , в радиальном шарикоподшипнике [Ө]≤0,57 0 , в радиально-упорном [Ө]≤0,1 0 .

11. Основной расчёт валов с построением эпюр изгибающих и крутящих моментов

1. Составляется расчетная схема, где вал рассматривается как балка, лежащая на шарнирных опорах, расстояния между опорами и силами берутся из компоновки редуктора.

2. Определяется величина и направление сил и моментов, действующих на вал (из соответствующих расчетов зубчатых, червячных, ременных или цепных передач).

3. Усилия, изгибающие вал, раскладываются на горизонтальные и вертикальные составляющие, с вычерчиванием расчетных схем для каждой плоскости (рис. 2).

4. Определяются реакции в опорах методами сопротивления материалов и строятся эпюры изгибающих моментов в каждой из двух взаимно перпендикулярных плоскостей.

5. Изгибающие моменты, полученные для каждой из этих плоскостей, складываются геометрически по формуле:

где М_u – результирующий изгибающий момент, Нм;

М_u в , М_u г – изгибающие моменты в горизонтальной и вертикальной плоскостях, Нм.

6. Строится эпюра результирующих моментов М_u.

Рис. 4. Схема нагрузок ведущего вала косозубого цилиндрического редуктора

7. Строится эпюра крутящих моментов Т.

8. По характеру эпюр определяются места опасных сечений (наибольшие значения моментов). Для этих мест вычисляют приведенные (эквивалентные) моменты (по теории наибольших касательных напряжений):

Для опасного сечения вала определяется диаметр

где  – допускаемое напряжение при основном расчете валов для сталей 35, 40, 45 равно 50…60 Н/мм 2 .

Полученное значение диаметра вала округляется по ГОСТу 6636-69 в меньшую сторону (смотрим предварительный расчёт валов).

12. Проверочный расчёт валов

Проверочный (уточненный) расчет вала производят в опасных сечениях, где действует максимальный изгибающий момент или имеются концентраторы напряжений (шпоночные канавки, галтели отверстия и т.д.). Расчет обычно производят в форме проверки коэффициента запаса прочности. С точки зрения обеспечения прочности вала, достаточно иметь коэффициент запаса прочности S порядка 1,7. Общий коэффициент запаса прочности определяют из выражения:

где S_ – коэффициент запаса прочности по нормальным напряжениям;

S_τ – коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям (определяется по формуле).

где _-1 – предел выносливости материала вала при симметричном цикле изгиба (определяется по формуле для углеродистой стали, МПа);

– предел прочности _b (определяется по таблице 34).

К_ – эффективный коэффициент концентрации нормальных напряжений для шпоночной канавки, – для галтелей и вытачек;

– масштабный фактор (принимается из таблицы 35);

 – коэффициент упрочнения, вводный для валов с поверхностным упрочнением: полированная поверхность =1, шлифованная поверхность =0,95…0,97, поверхность чисто обработанная резцом =0,88…0,92;

– амплитуда цикла нормальных напряжений.

_m – среднее значение цикла нормальных напряжений;

Если вал не испытывает осевой нагрузки (если ее действием пренебрегают), можно считать, что цикл изменения нормальных напряжений симметричный и _m=0.

_ – коэффициент, характеризующий чувствительность материала к асимметрии напряжений для среднеуглеродистых сталей, _=0,05.

Можно считать, что нормальное напряжение изгиба в рассчитываемом сечении.

Таблица 34 — Механические свойства стали, применяемой для

📺 Видео