Видео:Стереометрия, номер 9.1Скачать
Призмы, вписанные в цилиндр. Свойства призмы, вписанной в цилиндр
Определение 1. Призмой, вписанной в цилиндр, называют такую призму, основания которой вписаны в окружности оснований цилиндра, а боковые ребра призмы являются образующими цилиндра (рис. 1).
Определение 2. Если призма вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около призмы.
Прежде, чем перейти к вопросу о том, какую призму можно вписать в цилиндр, докажем следующее свойство призм.
Утверждение 1. Если около оснований призмы можно описать окружности, то отрезок, соединяющий центры описанных окружностей, будет параллелелен и равен боковому ребру призмы.
Докажем, что точка O’ является центром окружности радиуса r, описанной около верхнего основания призмы. С этой целью рассмотрим, например, четырехугольник A1A’1O’O (рис. 2).
Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что
то есть точка O’ – центр окружности радиуса r , описанной около верхнего основания призмы.
В силу того, что четырехугольник OO’A1A’1 является параллелограммом, получаем равенство
Теорема. Около призмы можно описать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
- Призма является прямой призмой;
- Около оснований призмы можно описать окружности.
Доказательство. Докажем сначала, что если около n – угольной призмы описан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.
Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, описанного около призмы. Из этого определения также следует, что вписанная в цилиндр призма является прямой призмой, поскольку образующие цилиндра перпендикулярны к плоскостям его оснований,
Таким образом, мы доказали, что, если призма вписана в цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.
Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму высоты h, около оснований которой можно описать окружности, и докажем, что около такой призмы можно описать цилиндр.
Обозначим буквой O центр окружности радиуса r, описанной около нижнего основания призмы, а символом O’ обозначим центр окружности, описанной около верхнего основания призмы.
Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы описанных около них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок OO’ параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы h. Значит, и отрезок OO’ перпендикулярен плоскости основания призмы и равен h.
Читайте также: Нагретый латунный цилиндр массой 900 г опустили в воду массой
Цилиндр с осью OO’ , радиусом r и высотой h и будет описан около исходной призмы.
Доказательство теоремы завершено.
Следствие 1. Высота призмы, вписанной в цилиндр, равна высоте цилиндра.
Следствие 2. Около любой прямой треугольной призмы можно описать цилиндр (рис. 4).
Следствие 3. Около любого прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба ) можно описать цилиндр (рис. 5).
Замечание 1. Если у прямоугольного параллелепипеда прямоугольного параллелепипеда три ребра, выходящие из одной вершины, равны a, b, c и различны, то существует три возможности описать около этого параллелепипеда цилиндр в зависимости от того, какое из ребер параллелепипеда выбрано в качестве образующей описанного цилиндра (рис. 6, 7, 8).
Видео:Цилиндр вписан в четырехугольную призму. Найдите площадь боковой поверхности призмы.Скачать
Цилиндры, вписанные в призмы
Видео:Цилиндр вписан в правильную четырехугольную призмуСкачать
Цилиндры, вписанные в призмы. Свойства призмы, описанной около цилиндра
Определение 2. Если цилиндр вписан в призму, то призму называют описанной около цилиндра.
Прежде, чем перейти к вопросу о том, в какую же призму можно вписать цилиндр, докажем следующее свойство призм.
Утверждение 1. Если в основания призмы можно вписать окружности, то отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей, будет параллелелен и равен боковому ребру призмы.
Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что точка O’ равноудалена от всех прямых, на которых лежат ребра верхнего основания A’1A’2, A’2A’3, . , An – 1An , а поскольку O’ лежит в плоскости верхнего основания, то точка O’ является центром вписанной в многоугольник A’1A’2 . A’n окружности.
В силу того, что прямые OO’ и A1A’1 параллельны по построению, а прямые OA1 и O’A’ параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, замечаем, что четырехугольник OO’A1A’1 является параллелограммом, откуда вытекает равенство: OO’ = A1A’1 .
Теорема. В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
- Призма является прямой призмой;
- В основания призмы можно вписать окружности.
Доказательство. Докажем сначала, что если в n – угольную призму вписан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.
Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, вписанного в призму. Докажем, что выполняется и условие 1, т.е. докажем, что описанная около цилиндра призма является прямой призмой.
С этой целью рассмотрим ось цилиндра OO’ , соединяющую центры окружностей, вписанных в нижнее и верхнее основания призмы (рис. 3).
Читайте также: Колесные тормозные цилиндры это
Согласно утверждению 1 отрезок OO’ параллелен боковым ребрам призмы. Поскольку ось цилиндра OO’ перпендикулярна к плоскостям его оснований, то и боковые ребра призмы также перпендикулярны к плоскостям оснований, то есть призма является прямой призмой.
Таким образом, мы доказали, что, если призма описана около цилиндра, то оба условия теоремы выполнены.
Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму высоты h, в основания которой можно вписать окружности, и докажем, что в такую призму можно вписать цилиндр.
Обозначим буквой O центр окружности радиуса r, вписанной в нижнее основание призмы, а символом O’ обозначим центр окружности, вписанной в верхнее основание призмы (рис. 4).
Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы вписанных в них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок OO’ параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы h. Значит, и отрезок OO’ перпендикулярен плоскости основания призмы и равен h.
Цилиндр с осью OO’ , радиусом r и высотой h и будет вписан в исходную призму.
Доказательство теоремы завершено.
Следствие 1 . Высота призмы, описанной около цилиндра, равна высоте цилиндра.
Следствие 2. В любую прямую треугольную призму можно вписать цилиндр.
Справедливость этого утверждения вытекает из того факта, что в любой треугольник можно вписать окружность.
Следствие 3. В любую правильную n – угольную призму можно вписать цилиндр.
Для доказательства этого следствия достаточно заметить, правильная призма является прямой призмой. Основаниями правильной призмы являются правильные многоугольники, а в любой правильный n – угольник можно вписать окружность.
Видео:ЕГЭ. Задача 8. Призма и цилиндрСкачать
Отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n — угольной призмы
Задача. Найти отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n — угольной призмы.
Решение. Поскольку и объем цилиндра, и объем призмы объем призмы вычисляются по формуле
а высота цилиндра равна высоте описанной около него призмы, то для объемов цилиндра и описанной около него правильной n — угольной призмы справедливо равенство
Следствие 4. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной треугольной призмы правильной треугольной призмы равно
Следствие 5. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы равно
Следствие 6. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной шестиугольной призмы равно
🔥 Видео
ЗАДАНИЕ 2| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилСкачать
Задание 2 ЕГЭ профиль (Стереометрия) по сборнику Ященко 2023Скачать
11 класс. Контрольная №4 (из 6). Тема: Объем призмы, цилиндра и конуса. Решение с советами! :)Скачать
ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2Скачать
Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать
06 Стереометрия на ЕГЭ по математике. Цилиндр вписан в параллелепипед.Скачать
Цилиндр вписан в шар, шар вписан в призму. Задание 14Скачать
Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 78. Найдите площадь полной поверхности цилиндраСкачать
Задание 2|ЕГЭ ПРОФИЛЬ| СТЕРЕОМЕТРИЯ| Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед.Радиус основанияСкачать
Стереометрия. ЕГЭ. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндраСкачать
#130. Задание 8: комбинация телСкачать
11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать
Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шараСкачать
ЕГЭ СТЕРЕОМЕТРИЯ ЦИЛИНДР ВПИСАН В ПРИЗМУ| НЕОБЫЧНОЕ ЯВЛЕНИЕ ДЛЯ СЕГОДНЯШНЕГО ВРЕМЕНИ| ГЛОБАЛКА ЕГЭСкачать
Призма и цилиндр. Практическая часть. 11 класс.Скачать
Стереометрия. В правильную четырехугольную призму вписан круглый цилиндра. Найдите высоту цилиндраСкачать
