На этой странице приведен еще один пример решения задачи по Сопромату, в которой необходимо произвести расчет вала переменного сечения (ступенчатого), нагруженного крутящими моментами. По результатам расчетов необходимо подобрать размеры вала, а также определить максимальную деформацию вала на скручивание (угол закручивания).
Результаты расчетов оформлены эпюрами крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания бруса.
Студентам технических специальностей ВУЗов в качестве методической помощи предлагаются к скачиванию готовые варианты контрольных работ по сопромату (прикладной механике). Представленные задания и примеры их решения предназначены, в частности, для учащихся Алтайского Государственного технического университета.
Варианты контрольных работ можно скачать в формате Word для ознакомления с порядком решения заданий, или для распечатывания и защиты (при совпадении вариантов).
Видео:Кручение. Расчет составного вала кольцевого сечения.Скачать
Расчет вала
Условие задачи:
К стальному валу, состоящему из 4-х участков длиной l1…l4 приложено четыре сосредоточенных момента М1…М4 (см. рис. 1 ).
Требуется:
Построить эпюру крутящих моментов Мкр , подобрать диаметр вала из расчета на прочность, построить эпюру максимальных касательных напряжений τmax , построить эпюру углов закручивания φ вала и определить наибольший относительный угол закручивания вала.
Исходные данные:
Указания:
Вычертить схему вала в соответствии с исходными данными.
Знаки моментов в исходных данных означают: плюс – момент действует против часовой стрелки относительно оси Z , минус – по часовой стрелке (см. навстречу оси Z ). В дальнейшем значения моментов принимать по абсолютной величине.
Участки нумеровать от опоры.
Допускаемое касательное напряжение [ τ ] для стали принимать равным 100 МПа.
Решение:
1. Определим методом сечений значения крутящих моментов на каждом силовом участке от свободного конца вала.
Крутящий момент равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на вал по одну сторону сечения.
2. Подберем сечение вала из расчета на прочность при кручении по полярному моменту сопротивления для участка, где величина крутящего момента максимальная (без учета знака):
Так как для круглого сечения полярный момент равен: Wр = πD 3 /16 , то можно записать:
D ≥ 3 √ (16Мкр/π[τ]) ≥ 3√(16×12,2×10 3 /3,14×[100×10 6 ]) = 0,0855 м или D ≥ 85,5 мм.
( Здесь и далее знак «√» означает квадратный корень из выражения )
В соответствии со стандартным рядом, предусмотренным ГОСТ 12080-66, принимаем диаметр вала D = 90 мм.
3. Определим угол закручивания для каждого участка вала по формуле:
где
G – модуль упругости 2-го рода; для стали G = 8×10 10 Па;
Ip – полярный момент инерции (для круглого сечения Iр = πD 4 /32 ≈ 0,1D 4 , м 4 ).
Произведение G×Iр = 8×10 10 ×0,1×0,094 ≈ 524880 Н×м 2 – жесткость сечения данного вала при кручении.
Расчитываем углы закручивания на каждом участке:
4. Определяем углы закручивания сечений вала, начиная от жесткой заделки (опоры):
5. Определяем максимальное касательное напряжение на каждом силовом участке по формуле:
6. Наибольший относительный угол закручивания Θmax определим по формуле:
7. По результатам расчетов строим эпюры крутящих моментов Мкр , касательных напряжений τmax и углов закручивания φ (см. рис. 2).
Видео:Кручение валаСкачать
iSopromat.ru
Подборка формул для расчета валов и брусьев на кручение и решения задач сопротивления материалов по расчету внутренних моментов, касательных напряжений, деформаций и углов закручивания при кручении.
τ — касательные напряжения,
T – внутренний крутящий момент,
Ip – полярный момент инерции сечения вала,
Wp – полярный момент сопротивления сечения,
[ τ ] – допустимое напряжение,
G – модуль упругости II рода (модуль сдвига),
ρ — расстояние от центра сечения до рассматриваемой точки,
D – внешний диаметр вала,
d – внутренний диаметр вала кольцевого сечения.
Закон Гука при кручении (чистом сдвиге)
Расчет касательных напряжений в произвольной точке сечения вала
Формулы полярных моментов инерции и сопротивления
Читайте также: Замена вала привода рено логан
- для вала сплошного (круглого) сечения
- для вала кольцевого сечения
Формулы для подбора диаметра вала по условию прочности
- сплошное круглое сечение
- кольцевое сечение
Абсолютные деформации (угол закручивания участков вала)
Видео:КРУЧЕНИЕ. ЭПЮРЫ ЗАКРУЧИВАНИЯ. Углы поворота. СопроматСкачать
Тема 2.5. Кручение. Напряжения и деформации при кручении
Иметь представление о напряжении и деформациях при кручении, о моменте сопротивления при кручении.
Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения, закон Гука при кручении.
Напряжения при кручении
Проводим на поверхности бруса сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим рисунок, образовавшийся на поверхности после деформации (рис. 27.1а). Поперечные окружности, оставаясь плоскими, поворачиваются на угол (р, продольные линии искривляются, прямоугольники превращаются в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после деформации.
При выводе формул используем закон Гука при сдвиге и гипотезы плоских сечений и неискривления радиусов поперечных сечений.
При кручении возникает напряженное состояние, называемое «чистый сдвиг» (рис. 27.1б).
При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возникают касательные напряжения, равные по величине (рис. 27.1в), элемент деформируется (рис. 27.1 г).
Материал подчиняется закону Гука. Касательное напряжение пропорционально углу сдвига.
G — модуль упругости при сдвиге, Н/мм 2 ; γ — угол сдвига, рад.
Напряжение в любой точке поперечного сечения
Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости dQ (рис. 27.2).
где τ — касательное напряжение; dA — элементарная площадка.
В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары (см. лекцию 26).
Элементарный момент силы dQ относительно центра круга
где ρ— расстояние от точки до центра круга.
Суммарный момент сил упругости получаем сложением (интегрированием) элементарных моментов:
После преобразования получим формулу для определения напряжений в точке поперечного сечения:
При ρ = 0 τк = 0; касательное напряжение при кручении пропорционально расстоянию от точки до центра сечения.
Полученный интеграл Jv (лекция 25) называется полярным моментом инерции сечения. Jv является геометрической характеристикой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сечения скручиванию.
Анализ полученной формулы для Jv показывает, что слои, расположенные дальше от центра, испытывают большие напряжения.
Эпюра распределения касательных напряжений при кручении (рис. 27.3)
Мк — крутящий момент в сечении;
рв — расстояние от точки В до центра;
ттах — максимальное напряжение.
Максимальные напряжения при кручении
Из формулы для определения напряжений и эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что максимальные напряжения возникают на поверхности.
Определим максимальное напряжение, учитывая, что ρтах = d/2, где d — диаметр бруса круглого сечения.
Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывается по формуле (см. лекцию 25).
Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем
Обычно JP/pmax обозначают Wp и называют моментом сопротивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения
Таким образом, для расчета максимального напряжения на поверхности круглого бруса получаем формулу
Условие прочности при кручении
Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности
где [τк] — допускаемое напряжение кручения.
Виды расчетов на прочность
Существует два вида расчета на прочность.
1. Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:
2. Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности
3. Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)
Расчет на жесткость
При расчете на жесткость определяется деформация и сравнивается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).
При кручении деформация оценивается углом закручивания (см. лекцию 26):
Здесь φ — угол закручивания; γ — угол сдвига; l — длина бруса; R — радиус; R =d/2. Откуда
Закон Гука имеет вид τк = Gγ. Подставим выражение для γ, получим
Читайте также: Сколько валов в коробке автомат
Произведение GJP называют жесткостью сечения.
Модуль упругости можно определить как G = 0,4Е. Для стали G = 0,8 • 10 5 МПа.
Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на один метр длины бруса (вала) φo.
Условие жесткости при кручении можно записать в виде
где φo — относительный угол закручивания, φо = φ/l; [φо] ≈ 1град/м = 0,02рад/м — допускаемый относительный угол закручивания.
Примеры решения задач
Пример 1. Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала — сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивания [φо] = 0,02рад/м; модуль упругости при сдвиге G = 0,8 * 10 5 МПа.
1. Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность.
Условие прочности при кручении:
Определяем вращающий момент из формулы мощности при вращении:
Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении
Значения подставляем в ньютонах и мм.
2. Определение размеров поперечного сечения из расчета на жесткость.
Условие жесткости при кручении:
Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:
3. Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость.
Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.
Полученное значение следует округлить, используя ряд предпочтительных чисел. Практически округляем полученное значение так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение dвала = 75 мм.
Для определения диаметра вала желательно пользоваться стандартным рядом диаметров, приведенном в Приложении 2.
Пример 2. В поперечном сечении бруса d = 80 мм наибольшее касательное напряжение τтах = 40 Н/мм 2 . Определить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 20 мм.
Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, б. Очевидно,
 |
Пример 3. В точках внутреннего контура поперечного сечения трубы (d0 = 60 мм; d = 80 мм) возникают касательные напряжения, равные 40 Н/мм 2 . Определить максимальные касательные напряжения, возникающие в трубе.
Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, в. Очевидно,
Пример 4. В кольцевом поперечном сечении бруса (d0 = 30 мм; d = 70 мм) возникает крутящий момент Мz = 3 кН-м. Вычислить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 27 мм.
Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения вычисляется по формуле
В рассматриваемом примере Мz = 3 кН-м = 3-10 6 Н• мм,
Подставляя числовые значения, получаем
Пример 5. Стальная труба (d0 = l00 мм; d = 120 мм) длиной l = 1,8 м закручивается моментами т, приложенными в ее торцевых сечениях. Определить величину т, при которой угол закручивания φ = 0,25°. При найденном значении т вычислить максимальные касательные напряжения.
Угол закручивания (в град/м) для одного участка вычисляется по формуле
Подставляя числовые значения, получаем
Вычисляем максимальные касательные напряжения:
Пример 6. Для заданного бруса (рис. 2.38, а) построить эпюры крутящих моментов, максимальных касательных напряжений, углов поворота поперечных сечений.
Заданный брус имеет участки I, II, III, IV, V (рис. 2. 38, а). Напомним, что границами участков являются сечения, в которых приложены внешние (скручивающие) моменты и места изменения размеров поперечного сечения.
строим эпюру крутящих моментов.
Построение эпюры Мz начинаем со свободного конца бруса:
Эпюра крутящих моментов представлена на рис, 2.38, б. Строим эпюру максимальных касательных напряжений по длине бруса. Условно приписываем τшах те же знаки, что и соответствующим крутящим моментам. На участке I
Эпюра максимальных касательных напряжений показана на рис. 2.38, в.
Угол поворота поперечного сечения бруса при постоянных (в пределах каждого участка) диаметре сечения и крутящем моменте определяется по формуле
Строим эпюру углов поворота поперечных сечений. Угол поворота сечения А φл = 0, так как в этом сечении брус закреплен.
Читайте также: Замена крестовины рулевого вала в москве
Эпюра углов поворота поперечных сечений изображена на рис. 2.38, г.
Пример 7. На шкив В ступенчатого вала (рис. 2.39, а) передается от двигателя мощность NB = 36 кВт, шкивы А и С соответственно передают на станки мощности NA = 15 кВт и NC = 21 кВт. Частота вращения вала п = 300 об/мин. Проверить прочность и жесткость вала, если [τKJ = 30 Н/мм 2 , [Θ] = 0,3 град/м, G = 8,0-10 4 Н/мм 2 , d1 = 45 мм, d2 = 50 мм.
Решение
Вычислим внешние (скручивающие) моменты, приложенные к валу:
Строим эпюру крутящих моментов. При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем момент, соответствующий NА, положительным, Nc — отрицательным. Эпюра Mz показана на рис. 2.39, б. Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка АВ
Относительный угол закручивания участка АВ
что значительно больше [Θ] ==0,3 град/м.
Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка ВС
Относительный угол закручивания участка ВС
что значительно больше [Θ] = 0,3 град/м.
Следовательно, прочность вала обеспечена, а жесткость — нет.
Пример 8. От электродвигателя с помощью ремня на вал 1 передается мощность N = 20 кВт, С вала 1 поступает на вал 2 мощность N1 = 15 кВт и к рабочим машинам — мощности N2 = 2 кВт и N3 = 3 кВт. С вала 2 к рабочим машинам поступают мощности N4 = 7 кВт, N5 = 4 кВт, N6 = 4 кВт (рис. 2.40, а). Определить диаметры валов d1 и d2 из условия прочности и жесткости, если [τKJ = 25 Н/мм 2 , [Θ] = 0,25 град/м, G = 8,0-10 4 Н/мм 2 . Сечения валов 1 и 2 считать по всей длине постоянными. Частота вращения вала электродвигателя п = 970 об/мин, диаметры шкивов D1 = 200 мм, D2 = 400 мм, D3 = 200 мм, D4 = 600 мм. Скольжением в ременной передаче пренебречь.
Нарис. 2.40, б изображен вал I. На него поступает мощность N и с него снимаются мощности Nl, N2, N3.
Определим угловую скорость вращения вала 1 и внешние скручивающие моменты m, m1, т2, т3:
 |
Строим эпюру крутящих моментов для вала 1 (рис. 2.40, в). При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем моменты, соответствующие N3 и N1, положительными, а N — отрицательным. Расчетный (максимальный) крутящий момент Nx 1 max = 354,5 H*м.
Диаметр вала 1 из условия прочности
Диаметр вала 1 из условия жесткости ([Θ], рад/мм)
Окончательно принимаем с округлением до стандартного значения d1 = 58 мм.
На рис. 2.40, г изображен вал 2; на вал поступает мощность N1, а снимаются с него мощности N4, N5, N6.
Вычислим внешние скручивающие моменты:
Эпюра крутящих моментов для вала 2 показана на рис. 2.40, д. Расчетный (максимальный) крутящий момент Мя max» = 470 H-м.
Диаметр вала 2 из условия прочности
Диаметр вала 2 из условия жесткости
Окончательно принимаем d2=62 мм.
Пример 9. Определить из условий прочности и жесткости мощность N (рис. 2.41, а), которую может передать стальной вал диаметром d = 50 мм, если [тк] = 35 Н/мм 2 , [ΘJ = 0,9 град/м; G = 8,0* I0 4 Н/мм 2 , n = 600 об/мин.
Решение
Вычислим внешние моменты, приложенные к валу:
Расчетная схема вала показана на рис. 2.41, б.
На рис. 2.41, в представлена эпюра крутящих моментов. Расчетный (максимальный) крутящий момент Mz = 9,54N. Условие прочности
Лимитирующим является условие жесткости. Следовательно, допускаемое значение передаваемой мощности [N] = 82,3 кВт.
Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор.
Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все.
ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между.
Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
- Свежие записи
- Чем отличается двухтактный мотор от четырехтактного
- Сколько масла заливать в редуктор мотоблока
- Какие моторы бывают у стиральных машин
- Какие валы отсутствуют в двухвальной кпп
- Как снять стопорную шайбу с вала
🎬 Видео
Расчет вала на прочность и жесткость. Эпюра крутящих моментовСкачать
Кручение. Часть 6 Жесткость валаСкачать
КРУЧЕНИЕ ВАЛА. Касательные напряжения. Сопромат.Скачать
11. Кручение ( практический курс по сопромату )Скачать
Сопромат. Построение эпюр вала при кручении. Я в вк https://vk.com/id4682924Скачать
Изгиб с кручениемСкачать
Кручение зажатого валаСкачать
Расчёт статически определимого валаСкачать
Правило знаков при крученииСкачать
12. Подбор сечения при кручении ( практический курс по сопромату )Скачать
Расчет вала на изгиб с кручениемСкачать
Сопротивление материалов. Лекция: кручение круглого стержняСкачать
Свободное кручение тонкостенного стержняСкачать
Сопромат. Практическое занятие №1.4Скачать
Сопротивление материалов. Лекция: расчёт на прочность при крученииСкачать
Статически неопределимый вал. Расчет на прочность при крученииСкачать
Основы работы в среде Solidworks Simulation. Кручение цилиндрического валаСкачать
