Формула для закручивания при кручении вала

На этой странице приведен еще один пример решения задачи по Сопромату, в которой необходимо произвести расчет вала переменного сечения (ступенчатого), нагруженного крутящими моментами. По результатам расчетов необходимо подобрать размеры вала, а также определить максимальную деформацию вала на скручивание (угол закручивания).

Результаты расчетов оформлены эпюрами крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания бруса.

Студентам технических специальностей ВУЗов в качестве методической помощи предлагаются к скачиванию готовые варианты контрольных работ по сопромату (прикладной механике). Представленные задания и примеры их решения предназначены, в частности, для учащихся Алтайского Государственного технического университета.
Варианты контрольных работ можно скачать в формате Word для ознакомления с порядком решения заданий, или для распечатывания и защиты (при совпадении вариантов).

Видео:КРУЧЕНИЕ. ЭПЮРЫ ЗАКРУЧИВАНИЯ. Углы поворота. СопроматСкачать

Расчет вала

Условие задачи:

К стальному валу, состоящему из 4-х участков длиной l₁…l₄ приложено четыре сосредоточенных момента М₁…М₄ (см. рис. 1 ).

Требуется:

Построить эпюру крутящих моментов М_кр , подобрать диаметр вала из расчета на прочность, построить эпюру максимальных касательных напряжений τ_max , построить эпюру углов закручивания φ вала и определить наибольший относительный угол закручивания вала.

Исходные данные:

Указания:

Вычертить схему вала в соответствии с исходными данными.
Знаки моментов в исходных данных означают: плюс – момент действует против часовой стрелки относительно оси Z , минус – по часовой стрелке (см. навстречу оси Z ). В дальнейшем значения моментов принимать по абсолютной величине.
Участки нумеровать от опоры.
Допускаемое касательное напряжение [ τ ] для стали принимать равным 100 МПа.

Решение:

1. Определим методом сечений значения крутящих моментов на каждом силовом участке от свободного конца вала.
Крутящий момент равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на вал по одну сторону сечения.

2. Подберем сечение вала из расчета на прочность при кручении по полярному моменту сопротивления для участка, где величина крутящего момента максимальная (без учета знака):

Так как для круглого сечения полярный момент равен: W_р = πD 3 /16 , то можно записать:

D ≥ 3 √ (16М_кр/π[τ]) ≥ 3√(16×12,2×10 3 /3,14×[100×10 6 ]) = 0,0855 м или D ≥ 85,5 мм.

( Здесь и далее знак «√» означает квадратный корень из выражения )

В соответствии со стандартным рядом, предусмотренным ГОСТ 12080-66, принимаем диаметр вала D = 90 мм.

3. Определим угол закручивания для каждого участка вала по формуле:

где
G – модуль упругости 2-го рода; для стали G = 8×10 10 Па;
I_p – полярный момент инерции (для круглого сечения I_р = πD 4 /32 ≈ 0,1D 4 , м 4 ).
Произведение G×I_р = 8×10 10 ×0,1×0,094 ≈ 524880 Н×м 2 – жесткость сечения данного вала при кручении.

Расчитываем углы закручивания на каждом участке:

4. Определяем углы закручивания сечений вала, начиная от жесткой заделки (опоры):

5. Определяем максимальное касательное напряжение на каждом силовом участке по формуле:

6. Наибольший относительный угол закручивания Θ_max определим по формуле:

7. По результатам расчетов строим эпюры крутящих моментов М_кр , касательных напряжений τ_max и углов закручивания φ (см. рис. 2).

Видео:Кручение. Расчет составного вала кольцевого сечения.Скачать

iSopromat.ru

Подборка формул для расчета валов и брусьев на кручение и решения задач сопротивления материалов по расчету внутренних моментов, касательных напряжений, деформаций и углов закручивания при кручении.

τ — касательные напряжения,
T – внутренний крутящий момент,
I_p – полярный момент инерции сечения вала,
W_p – полярный момент сопротивления сечения,
[ τ ] – допустимое напряжение,
G – модуль упругости II рода (модуль сдвига),
ρ — расстояние от центра сечения до рассматриваемой точки,
D – внешний диаметр вала,
d – внутренний диаметр вала кольцевого сечения.

Закон Гука при кручении (чистом сдвиге)

Расчет касательных напряжений в произвольной точке сечения вала

Формулы полярных моментов инерции и сопротивления

Читайте также: Замена вала привода рено логан

• для вала сплошного (круглого) сечения
  
• для вала кольцевого сечения
  

Формулы для подбора диаметра вала по условию прочности

• сплошное круглое сечение
  
• кольцевое сечение
  

Абсолютные деформации (угол закручивания участков вала)

Видео:Кручение валаСкачать

Тема 2.5. Кручение. Напряжения и деформации при кручении

Иметь представление о напряжении и деформациях при кру­чении, о моменте сопротивления при кручении.

Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения, закон Гука при кручении.

Напряжения при кручении

Проводим на поверхности бруса сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим рисунок, об­разовавшийся на поверхности после деформации (рис. 27.1а). Поперечные окружности, оставаясь плоскими, по­ворачиваются на угол (р, продольные линии искривляются, прямоугольники превращаются в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после деформации.

При выводе формул используем закон Гука при сдвиге и гипоте­зы плоских сечений и неискривления радиусов поперечных сечений.

При кручении возникает напряженное состояние, называемое «чистый сдвиг» (рис. 27.1б).

При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возникают касательные напряжения, равные по величине (рис. 27.1в), элемент деформируется (рис. 27.1 г).

Материал подчиняется закону Гука. Касательное напряжение пропорционально углу сдвига.

G — модуль упругости при сдвиге, Н/мм 2 ; γ — угол сдвига, рад.

Напряжение в любой точке поперечного сечения

Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости dQ (рис. 27.2).

где τ — касательное напряжение; dA — элементарная площадка.

В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары (см. лек­цию 26).

Элементарный момент силы dQ относительно центра круга

где ρ— расстояние от точки до центра круга.

Суммарный момент сил упругости получаем сложением (инте­грированием) элементарных моментов:

После преобразования получим формулу для определения на­пряжений в точке поперечного сечения:

При ρ = 0 τ_к = 0; касательное напряжение при кручении пропорционально расстоянию от точки до центра сечения.

Полученный интеграл J_v (лекция 25) называется полярным мо­ментом инерции сечения. J_v является геометрической характеристи­кой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сече­ния скручиванию.

Анализ полученной формулы для J_v показывает, что слои, рас­положенные дальше от центра, испытывают большие напряжения.

Эпюра распределения касательных напряжений при кручении (рис. 27.3)

М_к — крутящий момент в сече­нии;

рв — расстояние от точки В до центра;

_ттах — максимальное напряже­ние.

Максимальные напряжения при кручении

Из формулы для определения напряжений и эпюры распределе­ния касательных напряжений при кручении видно, что максималь­ные напряжения возникают на поверхности.

Определим максимальное напряжение, учитывая, что ρ_тах = d/2, где d — диаметр бруса круглого сечения.

Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывает­ся по формуле (см. лекцию 25).

Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем

Обычно J_P/p_max обозначают W_p и называют моментом сопро­тивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения

Таким образом, для расчета максимального напряжения на поверхности круглого бруса получаем формулу

Условие прочности при кручении

Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности

где [τ_к] — допускаемое напряжение кручения.

Виды расчетов на прочность

Существует два вида расчета на прочность.

1. Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:

2. Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности

3. Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)

Расчет на жесткость

При расчете на жесткость определяется деформация и сравни­вается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).

При кручении деформация оцени­вается углом закручивания (см. лекцию 26):

Здесь φ — угол закручивания; γ — угол сдвига; l — длина бруса; R — радиус; R =d/2. Откуда

Закон Гука имеет вид τ_к = G_γ. Подставим выражение для γ, получим

Читайте также: Сколько валов в коробке автомат

Произведение GJ_P называют жесткостью сечения.

Модуль упругости можно определить как G = 0,4Е. Для стали G = 0,8 • 10 5 МПа.

Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на один метр длины бруса (вала) φ_o.

Условие жесткости при кручении можно записать в виде

где φ_o — относительный угол закручивания, φ_о = φ/l; [φ_о] ≈ 1град/м = 0,02рад/м — допускаемый относительный угол закручивания.

Примеры решения задач

Пример 1. Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала — сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивания [φ_о] = 0,02рад/м; модуль упругости при сдвиге G = 0,8 * 10 5 МПа.

1. Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность.

Условие прочности при кручении:

Определяем вращающий момент из формулы мощности при вращении:

Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении

Значения подставляем в ньютонах и мм.

2. Определение размеров поперечного сечения из расчета на жесткость.

Условие жесткости при кручении:

Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:

3. Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость.

Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.

Полученное значение следует округлить, используя ряд пред­почтительных чисел. Практически округляем полученное значение так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение d_вала = 75 мм.

Для определения диаметра вала желательно пользоваться стан­дартным рядом диаметров, приведенном в Приложении 2.

Пример 2. В поперечном сечении бруса d = 80 мм наибольшее касательное напряжение τ_тах = 40 Н/мм 2 . Определить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 20 мм.

Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, б. Очевидно,

Пример 3. В точках внутреннего контура поперечного сечения трубы (d₀ = 60 мм; d = 80 мм) возникают касательные напряжения, равные 40 Н/мм 2 . Определить максимальные касательные напряжения, возникающие в трубе.

Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, в. Очевидно,

Пример 4. В кольцевом поперечном сечении бруса (d₀ = 30 мм; d = 70 мм) возникает крутящий момент М_z = 3 кН-м. Вычислить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 27 мм.

Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения вычисляется по формуле

В рассматриваемом примере М_z = 3 кН-м = 3-10 6 Н• мм,

Подставляя числовые значения, получаем

Пример 5. Стальная труба (d₀ = l00 мм; d = 120 мм) длиной l = 1,8 м закручивается моментами т, приложенными в ее торцевых сечениях. Определить ве­личину т, при которой угол закручивания φ = 0,25°. При найденном значении т вычислить максимальные касательные напряжения.

Угол закручивания (в град/м) для одного участка вычисляется по формуле

Подставляя числовые значения, получаем

Вычисляем максимальные касательные напряжения:

Пример 6. Для заданного бруса (рис. 2.38, а) построить эпюры крутящих моментов, максимальных каса­тельных напряжений, углов поворота поперечных сечений.

Заданный брус имеет участки I, II, III, IV, V (рис. 2. 38, а). Напомним, что границами участков являются сечения, в которых приложены внешние (скру­чивающие) моменты и места изменения размеров попереч­ного сечения.

строим эпюру крутящих моментов.

Построение эпюры М_z начинаем со свободного конца бруса:

Эпюра крутящих моментов представлена на рис, 2.38, б. Строим эпюру максимальных касательных напряжений по длине бруса. Условно приписываем τ_шах те же знаки, что и соответствующим крутящим моментам. На участке I

Эпюра максимальных касательных напряжений пока­зана на рис. 2.38, в.

Угол поворота поперечного сечения бруса при посто­янных (в пределах каждого участка) диаметре сечения и крутящем моменте определяется по формуле

Строим эпюру углов поворота поперечных сечений. Угол поворота сечения А φ_л = 0, так как в этом сечении брус закреплен.

Читайте также: Замена крестовины рулевого вала в москве

Эпюра углов поворота поперечных сечений изображе­на на рис. 2.38, г.

Пример 7. На шкив В ступенчатого вала (рис. 2.39, а) передается от двигателя мощность N_B = 36 кВт, шкивы А и С соответственно передают на станки мощности N_A = 15 кВт и N_C = 21 кВт. Час­тота вращения вала п = 300 об/мин. Про­верить прочность и жесткость вала, если [τ_KJ = 30 Н/мм 2 , [Θ] = 0,3 град/м, G = 8,0-10 4 Н/мм 2 , d₁ = 45 мм, d₂ = 50 мм.

Решение

Вычислим внешние (скручивающие) моменты, приложенные к валу:

Строим эпюру крутящих моментов. При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем момент, соответ­ствующий N_А, положительным, N_c — отрицательным. Эпюра M_z показана на рис. 2.39, б. Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка АВ

Относительный угол закручивания участка АВ

что значительно больше [Θ] ==0,3 град/м.

Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка ВС

Относительный угол закручивания участка ВС

что значительно больше [Θ] = 0,3 град/м.

Следовательно, прочность вала обеспечена, а жест­кость — нет.

Пример 8. От электродвигателя с помощью ремня на вал 1 передается мощность N = 20 кВт, С вала 1 по­ступает на вал 2 мощность N₁ = 15 кВт и к рабочим ма­шинам — мощности N₂ = 2 кВт и N₃ = 3 кВт. С вала 2 к рабочим машинам поступают мощности N₄ = 7 кВт, N₅ = 4 кВт, N₆ = 4 кВт (рис. 2.40, а). Определить диаметры валов d₁ и d₂ из условия прочности и жесткости, если [τ_KJ = 25 Н/мм 2 , [Θ] = 0,25 град/м, G = 8,0-10 4 Н/мм 2 . Се­чения валов 1 и 2 считать по всей длине постоянными. Частота вращения вала электродвигателя п = 970 об/мин, диаметры шкивов D₁ = 200 мм, D₂ = 400 мм, D₃ = 200 мм, D₄ = 600 мм. Сколь­жением в ременной передаче пренебречь.

Нарис. 2.40, б изобра­жен вал I. На него поступает мощность N и с него снимаются мощности N_l, N₂, N₃.

Определим угло­вую скорость враще­ния вала 1 и внешние скручивающие момен­ты m, m₁, т₂, т₃:

Строим эпюру крутящих моментов для вала 1 (рис. 2.40, в). При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем моменты, соответствующие N₃ и N₁, по­ложительными, а N — отрицательным. Расчетный (макси­мальный) крутящий момент N_x 1 _max = 354,5 H_*м.

Диаметр вала 1 из условия прочности

Диаметр вала 1 из условия жесткости ([Θ], рад/мм)

Окончательно принимаем с округлением до стандарт­ного значения d₁ = 58 мм.

На рис. 2.40, г изображен вал 2; на вал поступает мощность N₁, а снимаются с него мощности N₄, N₅, N₆.

Вычислим внешние скручивающие моменты:

Эпюра крутящих моментов для вала 2 показана на рис. 2.40, д. Расчетный (максимальный) крутящий момент М_{я max}» = 470 H-м.

Диаметр вала 2 из условия прочности

Диаметр вала 2 из условия жесткости

Окончательно принимаем d₂=62 мм.

Пример 9. Определить из условий прочности и жесткости мощность N (рис. 2.41, а), которую может передать стальной вал диаметром d = 50 мм, если [т_к] = 35 Н/мм 2 , [ΘJ = 0,9 град/м; G = 8,0* I0 4 Н/мм 2 , n = 600 об/мин.

Решение

Вычислим внешние моменты, приложенные к валу:

Расчетная схема вала показана на рис. 2.41, б.

На рис. 2.41, в пред­ставлена эпюра крутящих моментов. Расчетный (мак­симальный) крутящий мо­мент M_z = 9,54N. Условие прочности

Лимитирующим является условие жесткости. Следо­вательно, допускаемое значение передаваемой мощности [N] = 82,3 кВт.

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор.

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все.

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

• Свежие записи
  • Чем отличается двухтактный мотор от четырехтактного
  • Сколько масла заливать в редуктор мотоблока
  • Какие моторы бывают у стиральных машин
  • Какие валы отсутствуют в двухвальной кпп
  • Как снять стопорную шайбу с вала

  
  

  источники:

  https://evakuatorinfo.ru/formula-dlya-zakruchivaniya-pri-kruchenii-vala

  🎥 Видео

  Расчет вала на прочность и жесткость. Эпюра крутящих моментовСкачать

  

  Сопромат. Построение эпюр вала при кручении. Я в вк https://vk.com/id4682924Скачать

  

  11. Кручение ( практический курс по сопромату )Скачать

  

  Кручение. Часть 6 Жесткость валаСкачать

  

  КРУЧЕНИЕ ВАЛА. Касательные напряжения. Сопромат.Скачать

  

  12. Подбор сечения при кручении ( практический курс по сопромату )Скачать

  

  Расчёт статически определимого валаСкачать

  

  Кручение зажатого валаСкачать

  

  Правило знаков при крученииСкачать

  

  Изгиб с кручениемСкачать

  

  Сопротивление материалов. Лекция: кручение круглого стержняСкачать

  

  Сопромат. Практическое занятие №1.4Скачать

  

  Сопротивление материалов. Лекция: расчёт на прочность при крученииСкачать

  

  Свободное кручение тонкостенного стержняСкачать

  

  Расчет вала на изгиб с кручениемСкачать

  

  Статически неопределимый вал. Расчет на прочность при крученииСкачать

  

  Основы работы в среде Solidworks Simulation. Кручение цилиндрического валаСкачать