Где находится ось цилиндра (7 видео)

Цилиндром ( прямым круговым цилиндром ) называется тело, состоящее из двух кругов ( оснований цилиндра ), совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие при параллельном переносе точки этих кругов. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований, называются образующими цилиндра.

Цилиндр — тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, пересекающими образующие данной поверхности.

Цилиндрическая поверхность — поверхность, которая образуется движением прямой линии вдоль некоторой кривой. Прямую называют образующей цилиндрической поверхности, а кривую линию — направляющей цилиндрической поверхности.

Боковая поверхность цилиндра — часть цилиндрической поверхности, которая ограничена параллельными плоскостями.

Основания цилиндра — части параллельных плоскостей, отсекаемые боковой поверхностью цилиндра.

Цилиндр называется прямым (См.Рис.1), если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае цилиндр называется наклонным.

Круговой цилиндр — цилиндр, основания которого являются кругами.

Прямой круговой цилиндр ( просто цилиндр ) – это тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. См.Рис.1.

Радиус цилиндра – радиус его основания.

Образующая цилиндра — образующая цилиндрической поверхности.

Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.

Ось цилиндра параллельна его образующей и является осью симметрии цилиндра.

Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра. См.Рис.2.

Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и длине окружности основания.

Площадь боковой поверхности цилиндра — площадь развёртки боковой поверхности. $$S_ =2\pi\cdot rh$$ , где h – высота цилиндра, а r – радиус основания.

Площадь полной поверхности цилиндра — площадь, которая равна сумме площадей двух оснований цилиндра и его боковой поверхности, т.е. выражается формулой: $$S_ =2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , где h – высота цилиндра, а r – радиус основания.

Объем всякого цилиндра равен произведению площади основания на высоту: $$V = S\cdot h$$ Объем круглого цилиндра: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , где (r — радиус основания).

Призма есть частный вид цилиндра (образующие параллельны боковым ребрам; направляющая — многоугольник, лежащий в основании). С другой стороны, произвольный цилиндр можно рассматривать как выродившуюся («сглаженную») призму с очень большим числом очень узких граней. Практически цилиндр неотличим от такой призмы. Все свойства призмы сохраняются и в цилиндре.

Содержание

Цилиндр
Цилиндр в геометрии — формулы, определение с примерами
Поверхность цилиндра
Объём цилиндра
💥 Видео

Видео:Подбор цилиндра. Почему цилиндр подбирается ТОЛЬКО в минусе.Скачать

Цилиндр

Цилиндр (от лат. пер. «цилиндрус«) — каток, валик.

Прямым круговым цилиндром называют часть пространства, заключенной внутри цилиндрической поверхности, лежащей между двумя плоскостями, перпендикулярными образующей.

Равносторонний цилиндр — это цилиндр, у которого диаметр основания равен образующей (то есть осевое сечение — квадрат).

Наклонный цилиндр — это цилиндр, образующие которого не перпендикулярны плоскостям его оснований.

Цилиндр можно получить путём вращения прямоугольника вокруг прямой, содержащей любую его сторону.

Высотой цилиндра называется расстояние AC между плоскостями его оснований.

Радиус цилиндра — это радиус основания цилиндра CD и AB.

Образующая цилиндра называется отрезок DB, соединяющий соответственные точки двух окружностей.

Сверху и снизу цилиндр ограничен кругами и называются они основаниями цилиндра.

Осью цилиндра – это прямая, проходящая через центры оснований.

Высота цилиндра и его образующая равны между собой.

1) Основания равны и параллельны.

2) Все образующие цилиндра взаимно параллельны и равны.

3) Все высоты цилиндра взаимно параллельны и равны.

Видео:Как войти в ось цилиндра без центроискателяСкачать

Цилиндр в геометрии — формулы, определение с примерами

Цилиндром называется тело, полученное вращением прямоугольника вокруг оси, проходящей через его сторону (рис. 26). На рисунке 27 показано образование цилиндра при вращении прямоугольника

Читайте также: Снять тормозной цилиндр ваз 2101

Образующая цилиндра является его высотой.

Поверхность цилиндра можно развернуть на плоскость, в результате получится прямоугольник, представляющий боковую поверхность цилиндра, и два круга, представляющих его основания. На рисунке 30 показан цилиндр и его развертка.

Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины окружности основания и образующей:

На плоскости важной конфигурацией, которая часто встречается в задачах, является сочетание окружности с прямой. Подобной пространственной конфигурацией является сочетание цилиндра с плоскостью.

Если цилиндр пересечь плоскостью, параллельной основанию, то получится круг, равный основанию (рис. 31), а если плоскостью, перпендикулярной основанию, то — прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра (рис. 32). Осевое сечение цилиндра, т. е. сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра, является прямоугольником, стороны которого равны высоте цилиндра и диаметру его основания (рис. 33).

Будем двигать плоскость, проходящую через ось цилиндра, параллельно самой себе (рис. 34). При этом две противолежащие стороны прямоугольника-сечения цилиндра, являющиеся хордами оснований, будут уменьшаться, а две другие стороны, которые являются образующими цилиндра, — сближаться до того момента, пока не совпадут. Получим плоскость, содержащую образующую цилиндра и не имеющую с ним других общих точек. Такая плоскость называется касательной плоскостью цилиндра. Любая прямая, проведенная в касательной плоскости цилиндра и отличная от образующей, имеет с цилиндром единственную общую точку. Такая прямая называется касательной прямой цилиндра.

Если плоскость касается цилиндра по некоторой образующей, то ей перпендикулярна плоскость, проходящая через эту образующую и ось цилиндра.

Доказательство:

Пусть плоскость касается цилиндра с осью по образующей (рис. 35). Докажем, что плоскость, содержащая образующую и ось , перпендикулярна плоскости .

Проведем прямую , которая пересекает прямую в точке , прямую в точке и перпендикулярна оси . Через точку проведем плоскость , перпендикулярную образующей . Эта плоскость пересекает цилиндр по кругу, центр которого находится в точке , а плоскость — по прямой , касающейся окружности с центром . Учитывая свойство касательной к окружности, можем утверждать, что прямая перпендикулярна радиусу окружности с центром в точке . Кроме того, поскольку прямая параллельна прямой , то прямая перпендикулярна прямой . Получили, что прямая перпендикулярна как прямой , так и прямой , которые пересекаются и лежат в плоскости . Поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая перпендикулярна плоскости . Но плоскость, содержащая образующую и ось , проходит и через прямую . Поэтому она, по признаку перпендикулярности плоскостей, перпендикулярна плоскости .

Теорема 5 выражает свойство касательной плоскости цилиндра.

Плоскость касается цилиндра, если она проходит через его образующую и перпендикулярна плоскости, содержащей эту образующую и ось цилиндра.

Доказательство:

Пусть плоскость содержит образующую цилиндра и перпендикулярна плоскости, проходящей через эту образующую и ось (рис. 36). Докажем, что плоскость не имеет с цилиндром других общих точек, кроме точек образующей .

Пусть — точка плоскости , не принадлежащая образующей . Через эту точку проведем плоскость , перпендикулярную оси . Она пересечет цилиндр по кругу с центром , образующую в некоторой точке и плоскость по прямой . Поскольку плоскости и обе перпендикулярны плоскости , то их линия пересечения также перпендикулярна плоскости , а потому . Учитывая, что и — соответственно гипотенуза и катет прямоугольного треугольника , получим, что . Значит, точка не принадлежит цилиндру с осью .

Теорема 6 выражает признак касательной плоскости цилиндра.

Пусть имеется цилиндр (рис. 37). Впишем в одно из оснований цилиндра многоугольник , через его вершины проведем образующие , , . , и соединим их другие концы , , . , . В результате получим призму . Ее называют призмой, вписанной в цилиндр, а сам цилиндр называют цилиндром, описанным около призмы.

Если цилиндр описан около призмы, то основания цилиндра описаны около оснований призмы, а боковая поверхность цилиндра содержит боковые ребра призмы.

Подобным образом вводится понятие призмы, описанной около цилиндра, и цилиндра, вписанного в призму (рис. 38). Если призма описана около цилиндра, то ее основания описаны около оснований цилиндра, а боковые грани касаются боковой поверхности цилиндра.

Читайте также: Пробит блок цилиндров или нет

Объем цилиндра равен произведению площади его основания и образующей:

Доказательство:

Пусть имеется цилиндр с осью (рис. 39). В него впишем правильную призму и, кроме того, около него опишем правильную призму . В соответствии с теоремой 3 объем первой призмы равен произведению площади многоугольника и высоты призмы, которая равна боковому ребру , а объем второй — произведению площади многоугольника и той же высоты. Объем самого цилиндра заключен между этими объемами.

Будем количество сторон оснований призмы делать все большим и большим. Тогда объем первой призмы увеличивается, объем второй — уменьшается, а разность между ними стремится к нулю, если количество сторон становится неограниченно большим. То число, к которому приближаются объемы обеих призм, принимается за объем цилиндра.

В описанном процессе высота призмы остается равной боковому ребру, которое равно образующей цилиндра, а площади многоугольников и стремятся к площади круга, лежащего в основании цилиндра. Значит, объем цилиндра равен произведению площади основания и образующей цилиндра:

Видео:Перекос оси цилиндра! как его точить??Скачать

Поверхность цилиндра

Ещё один важный класс пространственных фигур — тела вращения. Цилиндр является одним из них, мы познакомимся с ним глубже. Свойства цилиндра похожи на свойства призм, мы последовательно изучим их.

Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон называют цилиндром (точнее, прямой круговой цилиндр) (рис. 75). При вращении прямоугольника одна его сторона остаётся неподвижной. Её называют осью цилиндра. Поверхность, образованную при вращении противоположной стороны прямоугольника называют цилиндрической поверхностью, а саму сторону образующей цилиндра. Две другие стороны прямоугольника при этом вращении образуют два равных круга, которые называют основаниями цилиндра (рис. 76).

Замечание. Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон называют прямым круговым цилиндром. Более широкое понятие цилиндра вводят следующим образом.

Пусть в пространстве параллельный перенос переводит плоскую фигуру F₁, в фигуру F2. Тело, состоящее из этих фигур и отрезков, соединяющих их соответствующие точки, называют цилиндром (рис. 77).

Если при параллельном переносе образующая перпендикулярна плоскости фигуры F_{1 ,} цилиндр называют прямым (рис. 78.а), в противном случае наклонным цилиндром (рис. 78.b). На рисунке 78.с изображена Пизанская башня, имеющая вид наклонного цилиндра.

Если фигура F₁ является кругом, то цилиндр называют круговым цилиндром.

Только прямой круговой цилиндр является телом вращения. В дальнейшем мы будем рассматривать прямые круговые цилиндры, которые для краткости будем называть цилиндрами.

Основания цилиндра являясь равными кругами, лежат на параллельных плоскостях. Перпендикуляр, опущенный из некоторой точки одного основания на другое, называют его высотой.

Расстояние между параллельными плоскостями равно высоте цилиндра. Ось цилиндра также является его высотой.

Образующие цилиндра параллельны и равны. Точно также, длины высоты, оси и образующих цилиндра будут равны между собой.

Сечением цилиндра плоскостью параллельной его оси является прямоугольник (рис.79.а). Две противоположные его стороны — это образующие цилиндра, а две другие стороны — соответствующие параллельные хорды оснований цилиндра.

В частности, осевое сечение также прямоугольник, образованный сечением цилиндра плоскостью, проходящей через его ось (рис. 79.b).

Диагонали осевого сечения цилиндра проходят через точку являющуюся серединой отрезка, соединяющего центры оснований цилиндра. Следовательно, эта точка Q есть центр симметрии цилиндра (рис. 79.с).

Плоскость, проходящая через точку Q перпендикулярно оси цилиндра является его плоскостью симметрии (рис. 80). Любая плоскость, проходящая через ось цилиндра также будет ось симметрии цилиндра (рис. 81).

Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра.

Сторона квадрата равна . Она равна диаметру

основания. Поэтому его площадь равна

Докажите самостоятельно эту теорему пользуясь рисунком 82.

Следствие. Полная поверхность цилиндра равна сумме его боковой поверхности и площадей двух его оснований:

или

Пусть дан произвольный цилиндр. Впишем в одно из его оснований многоугольник (рис. 83). Через вершины многогранника проведём образующие цилиндра , другие концы которых и последовательно соединим отрезками. В результате получим призму . Эту призму называют призмой, вписанной в цилиндр. А цилиндр называют цилиндром, вписанным в призму. Если призма вписана в цилиндр, то основание призмы будет вписано в основание цилиндра и боковые рёбра призмы будут лежать на боковой поверхности цилиндра.

Читайте также: Цилиндры задних тормозов ваз 2106

Ясно, что если вокруг основания призмы можно описать окружность, то вокруг призмы можно описать цилиндр.

Аналогично вводятся понятия призмы, описанной вокруг цилиндра и цилиндра, вписанного в призму (рис. 84). Если призма описана вокруг цилиндра, то основание призмы будет описано вокруг основания цилиндра и боковые грани призмы будут касаться боковой поверхности цилиндра.

Ясно, что если в основание призмы можно вписать окружность, то вокруг цилиндра можно описать призму.

Видео:Цилиндр, вытянутый вдоль оси X. Урок 35.(Часть2.ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)Скачать

Объём цилиндра

Теорема. Объём цилиндра равен произведению площади его основания и образующей цилиндра:

Доказательство. Пусть дан цилиндр с осью ОО₁ (рис. 85). Впишем в него призму и опишем вокруг него призму . Обозначим объём цилиндра V, а объёмы вписанной и описанной призм V₁ и V₂ , тогда имеет место двойное неравенство . Объёмы призм находят по следующим формулам: и

Будем всё больше и больше увеличивать число n сторон оснований призм. Тогда объём вписанной призмы будет увеличиваться, а объём описанной призмы уменьшаться. Если число n сторон увеличивать неограниченно, то разность между объёмами будет стремится к нулю. Число, к которому приближаются объёмы вписанной и описанной призм, принимают за объём данной призмы. При этом площади многогранников и будут стремиться к площади S круга, лежащего в основании цилиндра. Следовательно,

Исторические сведения:

В произведении Абу Райхна Беруни «Книга о началах искусства астрономии» («Астрономия») как введение в стереометрию в разделе о геометрии приводятся следующие определения фигур:

Куб — физическая фигура, похожая на кубик для игры в нарды, ограниченная с шести сторон квадратами.

Призма — представляет собой фигуру, ограниченную по бокам плоскостями в форме квадрата или прямоугольника, а сверху и снизу -двумя треугольниками. В этом определении Беруни приведено описание частного вида призмы, а именно треугольной призмы.

Книга Беруни «Канон Масьуда» написана в 1037 году. В ней приведены правила нахождения объёмов параллелепипеда и призмы: «Если тело не четырёхугольное или другого вида, то его расчёт таков: найди площадь, умножь его на глубину, в итоге получишь объём». В произведении Абу Али ибн Сино «Книга знания» в разделе «Основы изучения геометрических тел» дано описание тела и треугольной призмы. А также описаны условия взаимного равенства двух призм. Ибн Сино даёт следующее определение призмы: «Призма — тело, ограниченное двумя плоскими треугольными сторонами.»

В произведении Аль Каши «Книга счёта» приведёт много примеров расчета площадей поверхностей и объёмов тел. Благодаря своим глубоким знаниям в математике, геометрии, тригонометрии, механике и астрономии он пользовался вниманием и уважением Улугбека. Аль Каши наряду с многоугольниками изучачл призмы, пирамиды, цилиндры, конусы, усечённые конусы.

Таблица приближенных значений тригонометрических функций:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Пирамида в геометрии
Конус в геометрии
Сфера в геометрии
Шар в геометрии
Возникновение геометрии
Призма в геометрии
Планиметрия — формулы, определение и вычисление
Стереометрия — формулы, определение и вычисление

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.