Геометрические фигуры цилиндр усеченный конус (4 видео)

Содержание

Виды тел вращения. Цилиндр, конус, усеченный конус.
Конспект урока на тему: «Цилиндр и конус. Усеченный конус»
Цилиндр, конус, шар
Цилиндр, конус, шар
Теорема Пифагора
📽️ Видео

Видео:Усеченный конус. 11 класс.Скачать

Виды тел вращения. Цилиндр, конус, усеченный конус.

Цилиндр — фигура, которая получается путем врашения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

1. Круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, — образующими цилиндра.

2. Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях. У цилиндра образующие параллельны и равны.

3. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

4. Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

5. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований.

6. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.

7. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.

8. Равностороний цилиндр – цилиндр у которого образующая равна диаметру основания.

Конус – фигура, которая получается путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

КатетаSO, называемого осью конуса, S называется вершиной конуса. Круг с центром O и радиусом OA называется основанием конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с какой-нибудь точкой окружности основания, называется образующей конуса. На чертеже SA – образующая конуса. Радиус основания конуса называется радиусом конуса.Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на его основание. Осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его высоту.

Равностороний конус – это конус осевое сечение которого есть равностороний треугольник.

S_бок.=πRl, где R-радиус основания, l-длина образующей.

Усеченный конус — называется часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, плоскость которого параллельна плоскости основания.Образующая и высота усеченного конуса являются частями образующей и высоты полного конуса.

Боковая поверхность усеченного конуса S_б = π(R + r)l, где R и r – радиусы оснований, l – образующая конуса.

Полная поверхность находится по формуле

Площади поверхностей тел вращения

Теорема.Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту (S_бок.=2πRh )

Пусть Р_nи Hсоответственно периметр основания и высота вписаной в цилиндр правильной n-угольной призмы. Тогда площадь боковой поверхности этой призмы равна S_бок=P_nH. Предположим, что nнеограниченно растет, тогда периметр P_nстремится к длине окружности C=2πR, а H- неизменяется. Таким образом площадь боковой поверхности призмы стремится кчислу 2πRH, т.е. к площади боковой поверхности цилиндра.

Теорема.Площадь боковой поверхности конуса равно произведению половины длины окружности основания на длину образующей (S_бок.=πRl, где R-радиус основания, l-длина образующей).

Пусть P_n и l- соответственно периметр основания и длина апофемы правильной n-угольной пирамиды вписанной в конус. Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна S_{бок.пов.}= P_nl, предположим что n увеличивается неограниченно сверху. Тогда периметр P_n стремится к длине окружности 2πR, а длина апофемы к длине образующей конуса. Значит площадь боковой поверхности вписанной пирамиды стремится к πRl, т.е. к площади боковой поверхности конуса.

Усеченный конус

Боковая поверхность усеченного конуса S_б = π(R + r)l, где R и r – радиусы оснований, l – образующая конуса.

Полная поверхность находится по формуле

Объемы тел вращения.

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. V=πR 2 H

Читайте также: Что называется камерой сгорания цилиндра двигателя

Пусть S_nи Hсоответственно площадь основания и высота вписаной в цилиндр правильной n-угольной призмы. Тогда объем этой призмы равен V_n=S_nH. Предположим, что nнеограниченно растет, тогда S_nстремится к площади окружности S=πR 2 , а H- неизменяется. Таким объем призмы стремится кчислу πR 2 H, т.е. к объему цилиндра.

Объем конуса

Объем конуса равен одной третьи произведения площади основания конуса на его высоту.V=1/3 S_осн.h=1/3 πR 2 h

Пусть S_n и h- соответственно площадь основания и высота правильной n-угольной пирамиды вписанной в конус. Объем этой пирамиды равна V= _nh, предположим что n увеличивается неограниченно сверху. Тогда площадьS_n стремится к площади окружности πR 2 , а h-высота остается неизменной. Значит объем вписанной пирамиды стремится к 1/3 πR 2 h, т.е. к объему конуса.

Объем усеченного конуса

V= πh(R 2 +Rr+r 2 )

V= R 3

Дата добавления: 2018-05-13 ; просмотров: 3012 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Видео:усеченный цилиндр-ортогональные проекции-изометрия-разверткаСкачать

Конспект урока на тему: «Цилиндр и конус. Усеченный конус»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

«Цилиндр и конус. Усеченный конус»

Цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами.

Круги называются основаниями цилиндра, отрезки образующих, заключенные между основаниями, — образующими цилиндра, а образованная ими часть цилиндрической поверхности – боковой поверхностью цилиндра. Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра.

Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу. Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.

Так как площадь каждого основания равна , то для вычисления площади S _цил полной поверхности цилиндра получаем формулу

Конус – тело, ограниченное конической поверхностью и кругом.

Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности – вершиной конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием, — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности – боковой поверхностью конуса. Ось конической поверхности называется осью конуса, а ее отрезок, заключенный между вершиной и основанием, — высотой конуса.

Все образующие конуса равны друг другу.

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки.

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания.

Усеченный конус – тело, полученное сечением конуса плоскостью, перпендикулярной его оси.

Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называется основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, — высотой усеченного конуса.

Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу.

Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую, т.е.

Читайте также: Ремонт тормозного цилиндра киа сид

где r и r ₁ – радиусы оснований, l – образующая усеченного конуса.

Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

, где r – радиус основания конуса, l – образующая конуса.

1) Так как длина окружности основания конуса равна и равна по условию 5, то составим уравнение:

Радиус основания цилиндра равен 7, высота равна 10. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π.

где r – радиус цилиндра, h – высота цилиндра.

Тогда

Следовательно,

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 9 раз?

Радиус основания цилиндра равен 5,5, высота равна 20. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π.

Видео:Задание 42. УСЕЧЕННЫЙ КОНУС. Часть 1Скачать

Цилиндр, конус, шар

Цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами $М$ и $М_1$. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра.

Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, на рисунке образующая $L$.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны основаниям. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру основания, а вторая – высоте цилиндра.

Основные понятия и свойства цилиндра:

Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.
Все образующие цилиндра параллельны и равны.
Радиусом цилиндра называется радиус его основания ($R$).
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (в прямом цилиндре высота равна образующей).
Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры оснований ($ОО_1$).
Если радиус или диаметр цилиндра увеличить в n раз, то объем цилиндра увеличится в $n^2$ раз.
Если высоту цилиндра увеличить в m раз, то объем цилиндра увеличится в то же количество раз.
Если призму вписать в цилиндр, то ее основаниями будут являться равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра — образующими цилиндра.
Если цилиндр вписан в призму, то ее основания — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра.
Если в цилиндр вписана сфера, то радиус сферы равен радиусу цилиндра и равен половине высоты цилиндра.

Площадь поверхности и объем цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

Площадь поверхности цилиндра равна сумме двух площадей оснований и площади боковой поверхности.

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объем части цилиндра, в основании которого лежит сектор: $V= / $, где $n°$ — это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Цилиндр описан около шара. Объём цилиндра равен $30$. Найдите объём шара.

Если в цилиндр вписан шар, то радиус цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра в два раза больше радиуса шара.

Распишем формулы объема цилиндра и шара.

Далее надо сравнить во сколько раз объем цилиндра больше объема шара, для этого разделим объемы друг на друга.

Объем цилиндра больше объема шара в $1.5$ раза, следовательно, чтобы найти объем шара, надо объем цилиндра разделить на $1.5$.

Конусом (круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга, точки, не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков, соединяющих заданную точку с точками круга.

Читайте также: Сколько в уазике цилиндров

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими и обозначаются (l).

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Ось прямого конуса и его высота равны.

Все образующие конуса равны.
Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого равно двум радиусам, а боковые стороны равны образующим конуса.
Если боковая поверхность конуса – полукруг, то осевым сечением является равносторонний треугольник, угол при вершине равен $60°$.
Если радиус или диаметр конуса увеличить в n раз, то его объем увеличится в $n^2$ раз.
Если высоту конуса увеличить в m раз, то объем конуса увеличится в то же количество раз.

Площадь поверхности и объем конуса.

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадь поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту.

Объем части конуса, в основании которого лежит сектор: $V= / $, где $n°$ — это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии ($R$) от данной точки (центра сферы $О$).

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара.

Площадь поверхности сферы: $S_ =4π·R^2=π·d^2$, где $R$ — радиус сферы, $d$ — диаметр сферы

Объем шара: $V= / = / $, где $R$ — радиус шара, $d$ — диаметр шара.

Если радиус или диаметр шара увеличить в n раз, то площадь поверхности увеличится в $n^2$ раз, а объем в $n^3$ раз.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	$ / $	$ / $	$ / $
$cosα$	$ / $	$ / $	$ / $
$tgα$	$ / $	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	$ / $

Признаки подобия треугольников:

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.