Грани двугранного угла пересекают боковую поверхность цилиндра (3 видео)

Грани двугранного угла пересекают боковую поверхность цилиндра

В основании четырехугольной пирамиды SАВСD лежит параллелограмм АВСD c центром О. Точка N — середина ребра SC, точка L — середина ребра SA.

а) Докажите, что плоскость BNL делит ребро SD в отношении 1 : 2, считая от вершины S.

б) Найдите угол между плоскостями BNL и АВС, если пирамида правильная, SA = 8, а тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен

а) Проведем LN — среднюю линию треугольника SAC. Она является линией пересечения плоскости SAC и сечения BLN. Пусть O — точка пересечения диагоналей основания, пусть LN пересекает SO в точке M (оба отрезка лежат в плоскости SAC), и пусть BM пересекает SD в точке K (оба отрезка лежат в плоскости SBD). Тогда отрезок BM лежит в плоскости BLN и, следовательно, K — точка пересечения плоскости BLN с ребром SD. Заметим, что O — середина диагонали BD, а M — середина отрезка SO. Запишем теорему Менелая для треугольника SOD и прямой BK:

б) Так как пирамида правильная, SO — ее высота. Угол между боковым ребром и основанием равен углу SBO, Пусть OB = 5x, тогда Запишем теорему Пифагора для треугольника SBO:

Прямая OB — проекция прямой MB на плоскость ABCD. Прямые OB и AC перпендикулярны, прямые LN и AC параллельны, поэтому прямые MB и LN перпендикулярны. Обе прямые OB и MB перпендикулярны линии пересечения плоскостей BLN и ABC. Следовательно, угол MBO — линейный угол двугранного угла между плоскостями BLN и ABC и равен искомому. Найдем

откуда искомый угол равен

Видео:Определение истинной величины двугранного угла АВСD при ребре АВ методом замены плоскостей проекцииСкачать

Приведем решение пункта б) Татьяны Шевелевой.

По доказанному в пункте а) следовательно,

откуда искомый угол равен

Две боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, перпендикулярны к плоскости основания.

а) Докажите, что две другие боковые грани образуют равные двугранные углы с плоскостью основания.

Читайте также: Цилиндр из картона схема с размерами

б) Найдите объем пирамиды, если боковые грани, перпендикулярные к плоскости основания, образуют двугранный угол 120°, а боковая грань, составляющая с плоскостью основания угол в 30°, имеет площадь 36 см 2 .

а) Пусть основание пирамиды ромб ABCD, вершина — S, основанию перпендикулярны грани SAB и SBC. Указанные грани пересекаются по ребру SB, перпендикулярному плоскости основания (так как плоскость, перпендикулярная другой плоскости, содержит прямую, перпендикулярную этой плоскости). Из точки B на рёбра AD и CD опустим высоты ромба BK и BL соответственно. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах SK перпендикулярна AD, а SL перпендикулярна CD. Таким образом, углы SKB и SLB — линейные углы двугранных углов при рёбрах AD и CD соответственно. Заметим теперь, что (как высоты ромба) и, следовательно, прямоугольные треугольники SBK и SBL равны, а, значит, углы SKB и SLB равны.

б) Заметим, что прямая SB перпендикулярна плоскости ABCD, поэтому перпендикулярны прямые SB и AB, а также прямые SB и BC. Следовательно, угол ABC равен 120°. Таким образом, проекцией боковой грани SAD на плоскость основания является равносторонний треугольник ABD, а равной ей грани SCD — равносторонний треугольник BCD. Заметим теперь, что из условия и п. а) Следовательно,

Видео:10 класс, 22 урок, Двугранный уголСкачать

Зная площадь равностороннего треугольника ABD, найдём сторону и высоту основания:

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, в котором ВС = 2АВ. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Отрезок SO является высотой пирамиды SABCD. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB.

б) Найдите двугранный угол пирамиды при ребре SB, если SB = BC.

а) Вычислим следовательно, Теперь вычислим

откуда следовательно, QB = 4PB и

б) Проведем из точки P отрезок PT параллельно CQ, T лежит на ребре BC. Тогда APT — линейный угол двугранного угла при ребре SP, то есть искомый. Пусть AB = a, BC = SB = 2a. Тогда

Найдем угол APT из теоремы косинусов для треугольника APT:

откуда Таким образом,

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через диагональ BD₁ проведена плоскость α, параллельная прямой AC.

б) Найдите угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания параллелепипеда, если AB = 6, BC = 8, CC₁ = 10.

Видео:Двугранный угол. Признак перпендикулярности плоскостей. Видеоурок 10. Геометрия 10 классСкачать

Читайте также: Прокладка рабочего цилиндра сцепления isuzu bighorn

б) Пусть B₁M — перпендикуляр, опущенный из вершины B₁ на прямую l. Тогда B₁M — ортогональная проекция наклонной BM на плоскость A₁B₁C₁D₁. По теореме о трёх перпендикулярах прямые BM и l перпендикулярны, поэтому угол BMB₁ — линейный угол двугранного угла, образованного секущей плоскостью α и плоскостью A₁B₁C₁D₁.

Отрезок B₁M вдвое больше высоты B₁H прямоугольного треугольника A₁B₁C₁, проведённой из вершины прямого угла, поэтому

Из прямоугольного треугольника BMB₁ находим, что

б) Найдите угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания параллелепипеда, если AB = 5, BC = 12, CC₁ = 10.

Из прямоугольного треугольника BMB₁ находим, что

Аналоги к заданию № 530825: 530900 Все

Видео:Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)Скачать

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8. Точки К и М — середины ребер CD и ВС соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания AВС.

Пусть Поскольку и по теореме о трех перпендикулярах Поскольку угол является линейным углом двугранного угла между плоскостями и Тогда

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁С₁ стороны основания равны 5, боковые ребра равны 15, точка D — середина ребра CC₁.

Следовательно, искомый угол равен

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причем BC = 6. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB.

а) Докажите, что P — середина BQ.

б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если SD = 9.

а) Пусть боковое ребро пирамиды равно x. Тогда

Следовательно, BQ = 2BP и P — середина BQ.

б) В грани SBC проведём отрезок PR параллельно QC. Так как P — середина BQ, то R — середина BC. Кроме этого, угол APR является линейным углом угла между гранями SBA и SBC. Найдём площади граней SAB и SBC. Пусть и их высоты соответственно. Тогда

Видео:№247. Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а) высота пирамидыСкачать

Читайте также: Как снять задний цилиндр подвески ситроен ксантия

Напишем теорему косинусов для треугольника APR:

Таким образом, искомый угол равен

Основание прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ — треугольник ABC, в котором AB = AC = 8, а один из углов равен 60°. На ребре AA₁ отмечена точка P так, что AP : PA₁ = 1 : 2. Расстояние между прямыми AB и B₁C₁ равно

а) Докажите, что основания высот треугольников ABC и PBC, проведенных к стороне BC, совпадают.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и CBP.

а) Заметим, что так как треугольник ABC равнобедренный, а один из его углов равен 60°, треугольник ABC — равносторонний и, значит, призма — правильная. В треугольнике PBC проведём высоту PH, по теореме о трёх перпендикулярах её проекция AH будет являться высотой треугольника ABC. Тем самым, основания высот треугольников ABC и PBC, проведенных к стороне BC, совпадают.

б) Прямые AB и B₁C₁ скрещивающиеся и лежат в параллельных плоскостях ABC и A₁B₁C₁. Следовательно, расстояние между ними равно расстоянию между этими плоскостями, то есть боковому ребру призмы. Тогда: По доказанному в п. а) угол PHA является линейным углом угла между плоскостями ABC и CBP. Следовательно,

Дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁, все рёбра которой равны 6. Через точки A, С₁ и середину T ребра А₁В₁ проведена плоскость.

а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

Видео:Трехгранный угол в пирамидеСкачать

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ACC₁.

а) Прямая перпендикулярна прямой поскольку — медиана равностороннего треугольника Прямые и перпендикулярны, так как прямая перпендикулярна плоскости Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости Значит, прямая перпендикулярна прямой AT. Следовательно, треугольник прямоугольный.

б) В плоскости проведём прямую через середину O отрезка перпендикулярно этому отрезку. Эта прямая пересекает AT в некоторой точке H. Угол — линейный угол искомого угла. Треугольники AOH и подобны. Следовательно,

Прямые и OH перпендикулярны прямой значит, плоскость перпендикулярна прямой и прямая тоже перпендикулярна прямой Прямая перпендикулярна плоскости следовательно, прямая перпендикулярна прямой Из этого следует, что прямая перпендикулярна плоскости а значит, и прямой OH. Тогда