Измерить зависимость потенциала от расстояния до оси цилиндров (2 видео)

Содержание

Измерить зависимость потенциала от расстояния до оси цилиндров
Измерить зависимость потенциала от расстояния до оси цилиндров
График зависимости потенциала от расстояния в цилиндре. Электростатическая теория гаусса
🎦 Видео

Видео:Задача №2. Потенциал проводящей сферы.Скачать

Измерить зависимость потенциала от расстояния до оси цилиндров

Рассмотрим несколько примеров вычисления разности потенциалов между точками поля, созданного некоторыми заряженными телами.

Разность потенциалов между точками поля, образованного двумя бесконечными заряженными плоскостями

Мы показали, что напряженность связана с потенциалом

где – напряженность электростатического поля между заряженными плоскостями, найденная в п. 2.5.2 с помощью теоремы Остроградского–Гаусса; σ = q/S– поверхностная плотность заряда.

Теперь, чтобы получить выражение для потенциала между плоскостями, проинтегрируем выражение (3.7.1):

На рисунке 3.5 изображена графическая зависимость напряженности E и потенциала φ от расстояния между плоскостями.

Разность потенциалов между точками поля,образованного бесконечно длинной цилиндрической поверхностью

В п. 2.5 с помощью теоремы Остроградского-Гаусса мы показали, что, т.к. , то (см. рис. 3.6)

Т.к. то , отсюда найдем разность потенциалов в произвольных точках 1 и 2:

На рисунке 3.6 изображена зависимость напряженности E и потенциала от r. (Здесь и далее E – изображена сплошной линией, а – пунктирной).

Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора

В п. 2.5. мы нашли, что (рис. 3.7)

Отсюда так же, как и в предыдущем случае, разность потенциалов будет равна:

Таким образом, внутри меньшего цилиндра имеем , Е = 0, между обкладками потенциал уменьшается по логарифмическому закону, а вторая обкладка (вне цилиндров) экранирует электрическое поле и φ и Е равны нулю.

На рисунке 3.7 изображена зависимость напряженности E и потенциала от r.

Разность потенциалов между точками поля, образованного заряженной сферой (пустотелой)

Напряженность поля сферы (рис. 3.8) определяется формулой: .

Разность потенциалов внутри диэлектрического заряженного шара

Имеем диэлектрический шар (рис. 3.9), заряженный с объемной плотностью

В п. 2.5 с помощью теоремы Остроградского–Гаусса мы нашли, что внутри шара .

Теперь найдем разность потенциалов внутри шара:

Отсюда находим потенциал шара:

Из полученных соотношений можно сделать следующие выводы.

С помощью теоремы Гаусса сравнительно просто можно рассчитать Е и φ от различных заряженных поверхностей.

Напряженность поля в вакууме изменяется скачком при переходе через заряженную поверхность.

Потенциал поля – всегда непрерывная функция координат.

Видео:Падение потенциала вдоль проводникаСкачать

Измерить зависимость потенциала от расстояния до оси цилиндров

Работа поля. Напряженность. Потенциал

2101. Два электрона, находящиеся в начальный момент далеко друг от друга, движутся на встречу вдоль одной прямой с одинаковыми по модулю скоростями v _o = 1000 км/с. На какое наименьшее расстояние они сблизятся? решение

2102 . Два электрона находятся на большом расстоянии друг от друга. Вначале один электрон неподвижен, а другой приближается к нему с начальной скоростью v _o = 1000 км/с, направленной вдоль соединяющей электроны прямой. На какое наименьшее расстояние они сблизятся? С какими скоростями они разлетятся? решение

2103 . Четыре шарика, имеющие одинаковые заряды расположены вдоль одной прямой так, что расстояние между соседними шариками равно a. Какую работу A нужно совершить, чтобы разместить эти шарики: а) в вершинах квадрата со стороной a; б) в вершинах тетраэдра с ребром a? решение

2104 . Два одинаковых металлических шарика радиуса R = 1 мм соединены длинным тонким проводом. Один из них размещен в разреженном воздухе, а другой – посередине большой вакуумной камеры. На расположенный в вакууме шарик падает с большого расстояния поток электронов с начальной скоростью v _o = 3000 км/с. Какой заряд Q можно накопить таким способом на шариках? Каким будет ответ, если увеличить начальную скорость электронов до v _o / = 10000 км/с? Электрический пробой воздуха происходит при напряженности электрического поля E _o = 3 × 10 4 В/м. решение

2105 . По тонкому металлическому кольцу радиуса R равномерно распределен заряд q. определить напряженность поля E и потенциал j в точке A, расположенной на оси кольца на расстоянии h от его центра. решение

2106 . Электрон находится на оси тонкого кольца радиуса R на расстоянии h от его центра. Кольцо получает положительный заряд q и начинает притягивать электрон. Обязательно ли электрон пролетит через центр кольца? С какой скоростью v он может пролететь вблизи этой точки? решение

Читайте также: Главный цилиндр сцепления mitsubishi galant

2107 . Чему равна напряженность электрического поля на поверхности проводника, если плотность поверхностного заряда s . решение

2108 . Внутри шара радиуса R имеется объемный заряд постоянной плотности r .

1) Найти зависимость напряженности электрического поля от расстояния до центра шара.

2) Найти зависимость потенциала от расстояния до центра шара. решение

2109 . Найти напряженность электрического поля внутри и вне бесконечно длинного цилиндра, заряженного объемной плотностью r . Радиус цилиндра R . решение

2110 . На двух коаксиальных бесконечных цилиндрах радиусами R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями s ₁ и s ₂. Требуется:

1) Используя теорему Остроградского-Гаусса: найти зависимость E(r) напряженности электрического поля от расстояния для трех областей I, II, III. Принять s ₁ = s , s ₂ = – s ;

2) Напряженность E в точке, удаленной от оси цилиндров на расстояние r, и указать направление вектора E, принять s = 30 нКл/м 2 , r = 4R;

Смотрите новый сайт В. Грабцевича по физике, а также шутки про школу.

Видео:Лекция 2-2 Потенциал - примерыСкачать

График зависимости потенциала от расстояния в цилиндре. Электростатическая теория гаусса

а) Поле бесконечно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда s. Из соображений симметрии ясно, что поле будет направлено перпендикулярно плоскости – от плоскости для положительных зарядов, как показано на рис. 1.3, и к плоскости для отрицательных зарядов:

Кроме того, также из соображений симметрии ясно, что поле будет однородным. Представим цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными плоскости и с основанием DS . Посчитаем теперь поток через цилиндр. Поток через боковую поверхность равен нулю и, таким образом, весь поток через поверхность цилиндра сведётся к потоку через основания

На основании теоремы Гаусса, этот поток равен заряду, заключённому внутри цилиндра, делённому на e 0 .

Таким образом, поле однородно заряженной плоскости:

Направлено перпендикулярно плоскости,

Не зависит от расстояния до плоскости.

б) Поле 2-х разноименно заряженных плоскостей . Поле, образованное двумя разноименно заряженными плоскостями с поверхностной плотностью зарядов s , на основании принципа суперпозиции можно представить как наложение полей, созданных этими плоскостями отдельно. Поскольку эти поля в промежутке между плоскостями направлены одинаковым образом, то величина поля будет просто равна удвоенной величине поля, создаваемого одной плоскостью

Вне объёма, ограниченного плоскостями, поля направлены в разные стороны, и результирующее поле равно нулю. Следовательно, поле, созданное двумя параллельными заряженными плоскостями:

Сосредоточено в промежутке между плоскостями.

Полученные выводы приближённо справедливы для плоских конденсаторов, для которых расстояние между плоскостями (их называют пластинами, или обкладками конденсатора) много меньше размеров пластин (рис. 1.4).

в) Поле бесконечного заряженного цилиндра. Пусть имеем бесконечный цилиндр радиуса R , заряженный с поверхностной плотностью заряда s (рис. 1.5). Из соображений симметрии ясно, что поле будет направлено перпендикулярно к оси цилиндра, и его величина будет зависеть от расстояния до цилиндра. Мысленно окружим наш цилиндр коаксиально расположенным цилиндром радиуса r и высотой h и посчитаем поток вектора напряжённости через поверхность, ограниченную этим цилиндром. Из соображений симметрии ясно, что поток через основания цилиндра будет равен нулю. Поток через боковую поверхность цилиндра будет равен E(r)2prh . На основании теоремы Гаусса он будет равен . Здесь l – линейная плотность заряда.

Выражение (1.30) справедливо для r>R . Внутри полого цилиндра, на основании теоремы Гаусса, поле равно нулю. Если мы составим цилиндрический конденсатор из двух коаксиальных заряженных цилиндров, то поле будет отличным от нуля только между цилиндрами, и его величина будет определяться выражением (1.30). Вне наружного цилиндра поле, на основании принципа суперпозиции, будет равно 0. Поле цилиндрического конденсатора (конечной длины) будет отличаться от поля цилиндрического конденсатора бесконечной длины только у краёв.

г) Поле заряженной сферической поверхности . Пусть есть сфера радиуса R , с плотностью поверхностного заряда s . Из соображений симметрии следует, что это поле будет центральным. Окружим нашу сферу другой концентрической сферой радиуса r . Если r>R , то на основании теоремы Гаусса

Внутри сферы поле равно нулю. Таким образом, поле равномерно заряженной сферы совпадает с полем точечного заряда, помещённого в центр сферы.

Читайте также: Построить цилиндр в трех плоскостях проекций

1. Поток вектора . Если поместись в поток текущей жидкости малую проницаемую площадку dS , то объем жидкости dV , протекающий через нее в единицу времени, равен произведению нормальной к площадке составляющей скорости течения жидкости v n на величину площадки dS ,то есть dV =v n ×dS .

Значение v n легко найти, если указать у площадки единичный вектор нормали (рис.12). В этом случае , и мы будем знать не только протекающий через площадку объем жидкости, но и то, в каком направлении она течет через площадку – по нормали (положительный поток) и против нормали (отрицательный поток).

Если площадка конечные размеры S , а скорость течения жидкости разная в разных точках, то объем протекающей в единицу времени жидкости найдется интегрированием по площадке. . (4.1)

В этом выражении вектор скорости v можно заменить любым, непрерывно изменяющимся вектором, например E . В этом случае вместо объема жидкости мы получаем какой-то абстрактный поток N вектора E , иначе, поток вектора напряженности .

В 1839 году Карл Гаусс показал, что идея потока вектора напряженности очень плодотворна при вычислении симметричных электростатических полей.

2. Теорема Гауса . Пусть точечный заряд q находится в центре сферы произвольного радиуса r . Вычислим поток вектора через всю поверхность этой сферы. Приняв во внимание, что векторы и сонаправлены, (рис.13).

Поток вектора Е через поверхность сферы пропорционален находящемуся в ее центре точечному заряду q . Если поле Е изобразить силовыми линиями, то величина Е в каждой точке поверхности сферы равняется числу линий, приходящихся на 1 м 2 (рис.14-а). А весь поток N вектора Е равняется числу всех силовых линий, выходящих из заряда q . Так как кроме заряда q никаких других зарядов внутри и вне сферы нет, то все линии должны уходить на бесконечность. Но это значит, что в каком бы месте внутри сферы не находился заряд q , поток вектора Е через поверхность среды будет один и тот же (рис.14-б).

Поток вектора Е через замкнутую поверхность произвольной формы тоже . Это видно из того, что любая замкнутая поверхность может быть охвачена сферой. Поскольку линии вектора Е не имеют разрывов, то какой поток N проходит через сферу, таков же он через любую замкнутую поверхность (рис.15).

Если внутри замкнутой поверхности имеется система точечных зарядов q i , то поток N вектора Е равен сумме потоков векторов Е i каждого из зарядов q i : . (4.3)

Итак, полный поток вектора напряженности Е через замкнутую поверхность пропорционален суммарному заряду внутри поверхности . Это электростатическая теорема Гаусса .

Если заряд распределен в объеме непрерывно, с известной функцией плотности r , то теорема Гаусса примет вид: . (4.4)

Теорема Гаусса справедлива лишь в том случае, когда напряженность поля точечного заряда убывает пропорционально квадрату расстояния, что устанавливается законом Кулона.

Пример 4.1. Поле заряженной сферы . Полагаем, что заряд распределен равномерно по сфере с поверхностной плотностью s . Радиус сферы R . Рассмотрим отдельно две области пространства – внутри и вне сферы.

a. Поле внутри сферы найдем, построив в ней мысленно произвольную концентрическую сферу радиуса r R (рис.17). Поток вектора Е в этом случае , (4.7)

где – полный заряд на физической сфере. Отсюда

. (4.8)

Поле заряженной сферы вне сферы такое же, как если бы весь ее заряд был сосредоточен в точке ее геометрического центра. Отсюда и потенциал поля заряженной сферы вне сферы такой же, как потенциал точечного заряда.

Итак,

Поле заряженной сферы внутри и вне ее можно проиллюстрировать графиком. На рис.18-а (вверху) по си ординат откладываем проекции вектора напряженности на радиус вектор построенный из центра сферы. На рис.18-б (внизу) – потенциала. Сфера радиуса R заряжена положительным зарядом так, что напряженность поля возле ее внешней поверхности равна 3×10 6 В/м.

Если сфера заряжена отрицательным зарядом, то графики будут зеркально-симметричными относительно горизонтальной оси.

Пример 4.2. Поле сплошного равномерно заряженного шара . Повторив по приведенной схеме, находим, что поле вне заряженного шара точно такое же, как если бы если бы его заряд был сосредоточен в его геометрическом центре (формулы 4.9, 4.10).

Читайте также: Форма для цилиндра из бумаги

Внутри шара для любой мысленной концентрической сферы (рис.19) получаем:

. Отсюда . (4.11,12)

Здесь q¢ – заряд, заключенный внутри сферы радиуса r . Он находится как произведение всего заряда шара на отношение объема мысленной сферы к объему шара.

Напряженность внутри равномерно заряженного шара линейно убывает к центру вплоть до нуля.

Чтобы найти потенциал точек поля внутри шара, вычислим работу перемещения полем единичного пробного заряда с поверхности мысленной сферы на поверхность сферы (полагаем пробный заряд и заряда шара положительными). . (4.13)

Так как j r – потенциал поверхности шара, то, выразив его по формуле (4.10), где r = R , и перенеся в правую часть равенства, получаем выражение для потенциала поля внутри шара на расстоянии r от его центра. . (4.14)

Итак,

На рис.20 показаны графики проекций вектора Е на радиус вектор (вверху) и потенциал j (внизу) для пространства внутри и вне положительно заряженного шара. В центре шара напряженность равна нулю, а потенциал максимален по величине. Хотя напряженность на поверхности шара не имеет разрыва (в отличии от заряженной сферы), но ее производная имеет разрыв, меняясь по величине и по знаку. Потенциал и его производная на поверхности шара не имеет разрыва.

Пример 4.3. Поле заряженной бесконечной плоскости . Поверхностная плотность зарядов s = const .

Из того, что поле имеет плоскость симметрии, следует, что линии вектора Е нормальны заряженной плоскости. Поэтому для вычисления поля выделим цилиндрический объем с конечным основанием площадью S так, чтобы образующие цилиндра были параллельны линиям Е . Тогда поток вектора Е через боковую поверхность равен нулю (рис.21).

Поток вектора Е через поверхность этого цилиндра

Где Е – напряженность поля в точках основания цилиндра. По теореме Гаусса . Так как , то получаем . Или в векторной форме . (4.18)

Здесь – единичный вектор нормали к основаниям цилиндра, направленный наружу.

Поле бесконечной заряженной плоскости однородно во всем пространстве и не убывает с расстоянием.

Для вычисления потенциала j полагаем, что j = 0 не на бесконечности, а на некотором расстоянии от плоскости Х 0 . отсюда потенциал любой точки поля с координатой Х найдется вычислением работы перемещения единичного заряда из точки х в точку х 0 . так как , то . (4.19)

Так как , то . (4.20)

Напряжение U между любыми двумя точками однородного поля, где – расстояние между ними вдоль линии поля, равно , (4.21)

На рис.22 вверху по вертикальной оси отложена проекция вектора напряженности на ось ОХ . Внизу показан график потенциала j . Выбор точки х 0 , где принимается j = 0, произволен и определяется соображениями удобства при решении задач. Если взять х 0 = ¥, то есть положить, что потенциал поля на бесконечности равен нулю, то потенциал заряженной пластины будет бесконечно большей.

Пример 4.4. Поле бесконечно заряженной нити . Задача на вычисление напряженности поля отрезка заряженной нити решается в общем виде в примере 3.2. Здесь мы решим задачу с помощью теоремы Гаусса. Пусть бесконечно прямая нить заряжена равномерно с линейной плотностью заряда t ,[t ] = Кл/м. Очевидно, поле имеет осевую симметрию, а силовые линии направлены по радиусу перпендикулярно нити. В качестве объема, через поверхность которого будем вычислять поток вектора Е , возьмем цилиндр вращения, ось которого совпадает с нитью (рис.23).

Если высота цилиндра h , то поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра

. (4.22)

(Поток вектора Е через основание цилиндра равен нулю). Отсюда . (4.23)

Чтобы найти потенциал поля, вычислим работу перемещения единичного заряда за счет энергии поля из точки r до точки r 0 . Так как , то

. (4.24)

Или . (4.25)

Как и в примере 4.3 точку нулевого потенциала нельзя отодвигать на бесконечность, поскольку напряжение между любой точкой r точкой r 0 = ¥ становится бесконечно большим.

. (4.26)