Как найти диагональ осевое сечение цилиндра формула

Зная высоту и диагональ цилиндра, найти диаметр окружности в его основании не составляет труда. Для этого необходимо провести диагональ таким образом, чтобы получить с вышеуказанными параметрами прямоугольный треугольник, и далее вычислить неизвестное звено по теореме Пифагора. (рис.25.1) D=√(d^2-h^2 )

Зная диаметр, можно подставив полученное выражение вместо него в следующие формулы, найти радиус и периметр окружности в основании через диагональ и высоту цилиндра. r=D/2=√(d^2-h^2 )/2 P=πD=π√(d^2-h^2 )

Площадь боковой и полной поверхности вычисляются с непосредственным участием радиуса цилиндра или соответствующего ему выражения. Поэтому чтобы найти площади цилиндра через высоту и диагональ, нужно совершить следующие преобразования. S_(б.п.)=hP=2πrh=2π √(d^2-h^2 )/2 h=πh√(d^2-h^2 ) S_(п.п.)=S_(б.п.)+2S_(осн.)=πh√(d^2-h^2 )+π(d^2-h^2 )

Объем цилиндра вычисляется как произведение площади его основания на высоту. Чтобы найти объем цилиндра через высоту и диагональ цилиндра, нужно вместо площади основания подставить произведение числа π на разность квадратов диагонали и высоты. V=πh(d^2-h^2 )

Преследуя цель вычислить радиус вписанной или описанной окружности цилиндра через диагональ и высоту, необходимо помнить о том, что в цилиндр можно вписать окружность, только если радиус цилиндра равен его высоте. Поэтому радиус вписанной окружности будет равен половине высоты, а радиус описанной окружности – половине диагонали. (рис. 25.2,25.3) r_1=h/2 R=d/2

Видео:№523. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высотуСкачать

Осевое сечение цилиндра прямого и наклонного. Формулы для площади сечения и его диагоналей

Цилиндр — это симметричная пространственная фигура, свойства которой рассматривают в старших классах школы в курсе стереометрии. Для его описания используют такие линейные характеристики, как высота и радиус основания. В данной статье рассмотрим вопросы касательно того, что такое осевое сечение цилиндра, и как рассчитать его параметры через основные линейные характеристики фигуры.

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Геометрическая фигура

Сначала дадим определение фигуре, о которой пойдет речь в статье. Цилиндр представляет собой поверхность, образованную параллельным перемещением отрезка фиксированной длины вдоль некоторой кривой. Главным условием этого перемещения является то, что отрезок плоскости кривой принадлежать не должен.

На рисунке ниже показан цилиндр, кривая (направляющая) которого является эллипсом.

Здесь отрезок длиной h является его образующей и высотой.

Видно, что цилиндр состоит из двух одинаковых оснований (эллипсы в данном случае), которые лежат в параллельных плоскостях, и боковой поверхности. Последней принадлежат все точки образующих линий.

Видео:№522. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующейСкачать

Прямой и наклонный цилиндры

Перед тем как переходить к рассмотрению осевого сечения цилиндров, расскажем, какие типы этих фигур бывают.

Если образующая линия перпендикулярна основаниям фигуры, тогда говорят о прямом цилиндре. В противном случае цилиндр будет наклонным. Если соединить центральные точки двух оснований, то полученная прямая называется осью фигуры. Приведенный рисунок демонстрирует разницу между прямым и наклонным цилиндрами.

Видно, что для прямой фигуры длина образующего отрезка совпадает со значением высоты h. Для наклонного цилиндра высота, то есть расстояние между основаниями, всегда меньше длины образующей линии.

Далее охарактеризуем осевые сечения обоих типов цилиндров. При этом будем рассматривать фигуры, основаниями которых является круг.

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Осевое сечение прямого цилиндра

Осевым называется любое сечение цилиндра, которое содержит его ось. Это определение означает, что осевое сечение будет всегда параллельно образующей линии.

Читайте также: Цилиндр сцепления главный хундай элантра

В цилиндре прямом ось проходит через центр круга и перпендикулярна его плоскости. Это означает, что рассматриваемое сечение круг будет пересекать по его диаметру. На рисунке показана половинка цилиндра, которая получилась в результате пересечения фигуры плоскостью, проходящей через ось.

Не сложно понять, что осевое сечение прямого круглого цилиндра представляет собой прямоугольник. Его сторонами являются диаметр d основания и высота h фигуры.

Запишем формулы для площади осевого сечения цилиндра и длины hd его диагонали:

Прямоугольник имеет две диагонали, но обе они равны друг другу. Если известен радиус основания, то не сложно переписать эти формулы через него, учитывая, что он в два раза меньше диаметра.

Видео:№525. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2, а площадь основания — 5 м2.Скачать

Осевое сечение наклонного цилиндра

Рисунок выше демонстрирует наклонный цилиндр, изготовленный из бумаги. Если выполнить его осевое сечение, то получится уже не прямоугольник, а параллелограмм. Его стороны — это известные величины. Одна из них, как и в случае сечения прямого цилиндра, равна диаметру d основания, другая же — длина образующего отрезка. Обозначим ее b.

Для однозначного определения параметров параллелограмма недостаточно знать его длины сторон. Необходим еще угол между ними. Предположим, что острый угол между направляющей и основанием равен α. Он же и будет углом между сторонами параллелограмма. Тогда формулу для площади осевого сечения наклонного цилиндра можно записать следующим образом:

Диагонали осевого сечения цилиндра наклонного рассчитать несколько сложнее. Параллелограмм имеет две диагонали разной длины. Приведем без вывода выражения, позволяющие рассчитывать диагонали параллелограмма по известным сторонам и острому углу между ними:

Здесь l1 и l2 — длины малой и большой диагоналей соответственно. Эти формулы можно получить самостоятельно, если рассмотреть каждую диагональ как вектор, введя прямоугольную систему координат на плоскости.

Видео:осевое сечение цилиндраСкачать

Задача с прямым цилиндром

Покажем, как использовать полученные знания для решения следующей задачи. Пусть дан круглый прямой цилиндр. Известно, что осевое сечение цилиндра — квадрат. Чему равна площадь этого сечения, если площадь поверхности всей фигуры составляет 100 см2?

Для вычисления искомой площади необходимо найти либо радиус, либо диаметр основания цилиндра. Для этого воспользуемся формулой для общей площади Sf фигуры:

Поскольку сечение осевое представляет собой квадрат, то это означает, что радиус r основания в два раза меньше высоты h. Учитывая это, можно переписать равенство выше в виде:

Теперь можно выразить радиус r, имеем:

Поскольку сторона квадратного сечения равна диаметру основания фигуры, то для вычисления его площади S будет справедлива следующая формула:

Мы видим, что искомая площадь однозначно определяется площадью поверхности цилиндра. Подставляя данные в равенство, приходим к ответу: S = 21,23 см2.

Видео:Осевое сечение цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндраСкачать

Радиус и диагональ цилиндра

Видео:11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать

Свойства

Через радиус цилиндра можно найти его диаметр и периметр окружности, которая находится в основании цилиндра, не прибегая к дополнительным вычислениям. Чтобы найти диаметр цилиндра, нужно умножить его радиус на два, а чтобы найти периметр окружности, нужно его умножить на два числа π. D=2r P=2πr

Чтобы узнать все остальные параметры цилиндра, необходимо сначала найти высоту. Через диагональ цилиндра это можно сделать, построив с высотой прямоугольный треугольник, и составив в нем теорему Пифагора. (рис.25.1) h=√(d^2-D^2 )

Площадь боковой и полной поверхности зависит от высоты и радиуса цилиндра, но можно также найти площадь цилиндра через радиус и диагональ. Для этого вместо высоты впишем в формулу квадратный корень из разности квадрата диагонали и четырех квадратов радиуса. S_(б.п.)=hP=2πrh=2πr√(d^2-〖4r〗^2 ) S_(п.п.)=S_(б.п.)+2S_(осн.)=πr(2√(d^2-〖4r〗^2 )+r)

Читайте также: Цилиндр как его сделать из бумаги

Объем цилиндра представлен обычно произведением площади его основания на высоту, но для того чтобы вычислить объем цилиндра через радиус и диагональ необходимо умножить число π на квадрат радиуса и квадратный корень, соответствующий высоте. V=πr^2 h=πr^2 √(d^2-〖4r〗^2 )

Радиус сферы, которую можно вписать в цилиндр, должен быть равен радиусу самого цилиндра – это непременное условие для возможности совмещения этих двух тел. Более того, в таком случае радиус цилиндра должен быть ровно в два раза меньше его высоты, чтобы вписанная сфера соприкасалась не только с боковой поверхностью цилиндра, но и основаниями. (рис. 25.2) r_1=r

Условия для сферы, описанной около цилиндра, совпадают с условиями для вписанной сферы. При их соблюдении радиус сферы становится равным половине диагонали цилиндра. (рис.25.3) R=d/2

Видео:Тема 4. Цилиндр. Осевое сечение цилиндра. Развертка боковой поверхности цилиндра. Площадь боковойСкачать

Как найти диагональ осевого сечения цилиндра

Цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрического поверхностью с основаниями в форме круга. Эта фигура образуется путем вращения прямоугольникавокруг своей оси. Осевое сечение — есть сечение, проходящее через цилиндрическую ось, оно представляет собой прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и диаметру его основания.

Условия задачи при нахождении диагонали осевого сечения могут быть разными. Внимательно ознакомьтесь с текстом задачи, отметьте известные данные.

Радиус основания и высота цилиндраЕсли в вашей задаче известны такие показатели, как радиус цилиндра и его высота, то исходя из этого, найдите диагональ. Поскольку осевое сечение является прямоугольником со сторонами, которые равны высоте цилиндра и диаметру основания, то диагональ сечения — есть гипотенуза прямоугольных треугольников, образующих осевое сечение. Катетами в данном случае выступают радиус основания и высота цилиндра. По теореме Пифагора (c2 = a2 + b2) найдите диагональ осевого сечения:D = √〖(4R〗^2+H^2), где D – диагональ осевого сечения цилиндра, R – радиус основания, H – высота цилиндра.

Диаметр основания и высота цилиндраЕсли в задаче диаметр и высота цилиндра равны, то перед вами осевое сечение в форме квадрата, единственное отличие этого условия от предыдущего в том, что потребуется разделить на 2 диаметр основания. Далее действуйте в соответствии с теоремой Пифагора, как и при решении предыдущей задачи.

Высота и площадь полной поверхности цилиндраПрочитайте внимательно условия задачи, при известной высоте и площади обязательно должны быть даны скрытые данные, например, оговорка, что высота больше радиуса основания на 8 см. В таком случае найдите радиус из указанной площади, затем с помощью радиуса вычислите высоту, далее по теореме Пифагора – диаметр осевого сечения:Sp = 2πRH+2πR^2 , где Sp – площадь полной поверхности цилиндра.Отсюда выведите формулу нахождения высоты через площадь полной поверхности цилиндра, помните, что при данном условии H = 8R.H = (Sp — 2πR^2) / 2πR.

Видео:ЕГЭ. Математика. База . Задача 16.Площадь осевого сечения цилиндраСкачать

Сечение цилиндра: определение, виды, его образующая

Видео:Цилиндр Формулы и его СеченияСкачать

Кратко о цилиндре

Цилиндр — это геометрическая фигура, которая ограничена цилиндрической поверхностью и двумя плоскими окружностями.

Также можно сказать, что это тело вращения, возникающее при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

Видео:№529. Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндраСкачать

Осевое сечение

Это сечение фигуры плоскостью, проходящей через ее ось. Оно является прямоугольником. Таким образом, любое сечение, параллельное оси цилиндра (и перпендикулярное его основанию), становится прямоугольником. Сторонами этой фигуры будет диаметр цилиндра и высота его оси.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Видео:РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ЦИЛИНДРСкачать

Как найти площадь сечения

где \(d\) — диаметр, а \(h\) — высота всей фигуры.

Читайте также: Цилиндр тормозной главный 3309 абс 3309 3505010

Также есть формулы для расчета площади сечения, параллельного оси геометрического тела (но не пересекающего ее).

Видео:№531. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельнойСкачать

Осевое сечение наклонного цилиндра

Сечение наклонного цилиндра по оси представляет собой параллелограмм. Его стороны нам уже известны: одна из них равна диаметру d, как и в случае с прямой фигурой. Другая — длина образующего отрезка. Ее мы можем обозначить буквой b.

Для точного определения всех параметров параллелограмма недостаточно знать только длины его сторон. Для расчета площади фигуры нам понадобится один из ее углов. Допустим, что острый угол между плоскостью и направляющий равен α. Тогда формула S параллелограмма будет выглядеть следующим образом:

Видео:№538. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5. Найдите площадь осевогоСкачать

Примеры задач

Рассмотрим пару задач на осевое сечение с решениями.

Задача 1

Дан круглый прямой цилиндр. Его осевое сечение является квадратом. Вопрос: чему равна S сечения, если площадь поверхности всего цилиндра — 100 см²?

Чтобы найти S квадрата, нужно сначала определить радиус или диаметр окружности цилиндра. Для этого вспомним формулу для нахождения площади самого цилиндра:

Так как осевое сечение — квадрат, значит радиус основания в два раза меньше высоты фигуры. В таком случае, формула будет выглядеть так:

\(Sц = 2pi * r * (r + 2r) = 6 * pi * r²\)

Исходя из этого, будем выражать радиус:

Если сторона квадратного сечения равна диаметру основания цилиндра, то для определения площади квадрата S используем формулу:

Подставим известные данные ( \(Sц = 100см^2\) ) и получим площадь сечения \(S = 21,23 см²\) .

Ответ: \(S = 21,23 см²\) .

Задача 2

Дано: ABCD — осевое сечение цилиндра. Площадь сечения \(Sc\) равна \(10 м²\) , а площадь основания \(Sо— 5 м²\) . Найти высоту цилиндра.

Так как площадь основания — круг, то \(Sо = pi * r²\) . Тогда \(r = √(Sо/pi) = √(5/pi).\)

Так как площадь сечения — прямоугольник, то \(Sc = AB * BC = h * 2r.\) Тогда \(h = Sc/(2r) = 10/(2√(5/pi)) = 5√(pi/5) = √(5pi).\)

Видео:Объем цилиндра.Скачать

Диаметр и диагональ цилиндра

Видео:11 класс, 32 урок, Объем цилиндраСкачать

Свойства

Зная диаметр цилиндра, можно вычислить радиус цилиндра и периметр окружности цилиндра, которая представляет собой его основание. Радиус будет равен одной второй диаметра, а периметр окружности – произведению диаметра на число π. r=D/2 P=πD

Первое, что можно вычислить через диаметр и диагональ цилиндра – это его высота. Так как высота непосредственно связана со всеми остальными параметрами цилиндра, такими как площадь, объем и прочие, то она является необходимым звеном для геометрического калькулятора цилиндра. (рис.25.1) h=√(d^2-D^2 )

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению высоты на длину окружности в основании цилиндра, таким образом, раскрывая эту формулу, получаем, что площадь боковой поверхности равна произведению числа π и диаметра на квадратный корень из разности квадратов диагонали и диаметра. S_(б.п.)=hP=πD√(d^2-D^2 )

Площадь полной поверхности цилиндра представлена площадью боковой поверхности в сумме с площадью двух оснований в виде окружностей. S_(п.п.)=S_(б.п.)+2S_(осн.)=πD(√(d^2-D^2 )+D)

Чтобы найти объем цилиндра через диаметр и диагональ нужно представить высоту цилиндра в виде квадратного корня разности из квадратов диагонали и диаметра, а затем умножить это на площадь основания, состоящую из числа π и четверти квадрата диаметра. V=(πD^2 h)/4=(πD^2 √(d^2-D^2 ))/4

Чтобы в цилиндр можно было вписать сферу, нужно чтобы диаметр цилиндра был равен его высоте, тогда сфера будет соприкасаться со всеми гранями цилиндра и ее радиус будет равен радиусу цилиндра, то есть половине его диаметра. (рис. 25.2) r_1=r=D/2

Чтобы вокруг цилиндра можно было описать сферу, нужно точно так же чтобы диаметр цилиндра совпадал с высотой, и радиус описанной сферы будет равен половине диагонали цилиндра. R=d/2

🔍 Видео

Объем цилиндра. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Задача: найти площадь квадрата если его диагональ ровна....Скачать