Как найти наибольший объем вписанного цилиндра (4 видео)

Точка \( A( _ >; _ >)=A(5;7) \) — центр окружности. Радиус окружности равен \( 2 \) . Необходимо найти координаты точки \( P \) , полученной поворотом начального радиус-вектора на \( -30<>^\circ \) .

Найдите \( \cos \alpha \) и \( ctg \alpha \) , если \( \sin \alpha=\dfrac \) и \( \dfrac .

Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 15 см и 33 см. Вычислить (в см 2 ) площадь трапеции.

Найти периметр окружности радиуса \( r = 10 \) см.

Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки \( A\left( 1;0 \right) \) на \( \dfrac \) .

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Содержание

Задача 14101 В конус.
Условие
Решение
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Формула вычисления объема цилиндра
Через площадь основания и высоту
Через радиус основания и высоту
Через диаметр основания и высоту
Примеры задач
Тела и поверхности вращения
Задачи на тела вращения
🔍 Видео

О сайте

На нашем сайте вы найдете множество полезных калькуляторов, конвертеров, таблиц, а также справочных материалов по основным дисциплинам.

Самый простой способ сделать расчеты в сети — это использовать подходящие онлайн инструменты. Воспользуйтесь поиском, чтобы найти подходящий инструмент на нашем сайте.

calcsbox.com

На сайте используется технология LaTeX.
Поэтому для корректного отображения формул и выражений
пожалуйста дождитесь полной загрузки страницы.

Копирование материалов запрещено

Видео:11 класс, 32 урок, Объем цилиндраСкачать

Задача 14101 В конус.

Условие

В конус вписан цилиндр так, что нижнее основание цилиндра лежит на основании конуса, а окружность верхнего основания принадлежит боковой поверхности конуса. Объем конуса равен 72. Найти наибольший объем вписанного цилиндра.

Решение

Пусть R- радиус основания конуса, H- высота конуса,
r — радиус основания цилиндра, который равен радиусу меньшего конуса, отсекаемого верхним основанием цилиндра.
h- высота меньшего конуса.

Из подобия:
r/R=h/H.
Значит, высота цилиндра
H — h = r*H/R;
отсюда h = H — (r*H/R) = H*(R — r)/R

V(цилиндра) = πr^2*(H-h) = π *r^2*(H/R)*(R — r) =
=π *r^2*H — π r^3*(H/R)
V(r)=π *r^2*H — π r^3*(H/R)
Исследуем функцию V(r) на экстремум при условии, что
V(конуса)=(1/3)*π R^2*H;
72=(1/3)*π R^2*H ⇒ π R^2*H =216

Находим производную
V'(r) = 2π *H*r — 3π *H/R*r^2 = π *H*r*(2 — 3*r/R) = 0
V`(r)=0
2 — 3*r/R = 0;
r = 2/3*R ⇒ r^2=(4/9)R^2 и r^3*(H/R)=(8/27)R^3*(H/R)=
=(8/27)R^2H
Тогда

V(цилиндра) =π *r^2*H — π r^3*(H/R) =
=π *(4/9)R^2*H-π*(8/27)R^2*H
= 4/27*π *R^2*H = (4/27)*216 = 4*8 = 32

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндраСкачать

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем цилиндра и разберем примеры решения задач.

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Формула вычисления объема цилиндра

Через площадь основания и высоту

Объем (V) цилиндра равняется произведению его высоты и площади основания.

Через радиус основания и высоту

Как мы знаем, в качестве оснований цилиндра (равны между собой) выступает круг, площадь которого вычисляется так: S = π ⋅ R 2 . Следовательно, формулу для вычисления объема цилиндра можно представить в виде:

V = π ⋅ R 2 ⋅ H

Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.

Через диаметр основания и высоту

Как нам известно, диаметр круга равняется двум его радиусам: d = 2R. А значит, вычислить объем цилиндра можно следующим образом:

Читайте также: Тормозной цилиндр форд транзит 2001

Видео:Объем цилиндраСкачать

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем цилиндра, если дана площадь его основания – 78,5 см 2 , а также, высота – 10 см.

Решение:
Применим первую формулу, подставив в нее известные значения:
V = 78,5 см 2 ⋅ 10 см = 785 см 3 .

Задание 2
Высота цилиндра равна 6 см, а его диаметр – 8 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Воспользовавшись третьей формулой, в которой участвует диаметр, получаем:
V = 3,14 ⋅ (8/2 см) 2 ⋅ 6 см = 301,44 см 3 .

Видео:Объем цилиндра.Скачать

Тела и поверхности вращения

По теме Тела и поверхности вращения школьнику необходимо знать следующее:

Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка
Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка
Шар и сфера, их сечения

Главная особенность всех упомянутых тел — наличие оси вращения, которая является осью симметрии тела. Если совместить оси вращения двух разных тел, то также получится некая осесимметричная конструкция, все сечения которой плоскостью, проходящей через эту ось, будут одинаковыми. Это позволяет быстро и легко переходить от задачи по стереометрии к рассмотрению плоского сечения.

Поэтому в школьных учебниках, а также в заданиях ЕГЭ по математике часто встречаются задачи на вписанные и описанные тела вращения. Решим несколько примеров.

Могут потребоваться следующие формулы:

площадь боковой поверхности цилиндра S_б = 2πrh;
площадь полной поверхности цилиндра S_п = 2πrh + 2πr 2 ,
где r — радиус основания цилиндра, h — его высота.

площадь боковой поверхности конуса S_б = πrl;
площадь полной поверхности конуса S_п = πr(r + l),
где r — радиус основания конуса, l — длина образующей.

Объём шара V = 4 _ 3 πR 3 ;

площадь сферы (поверхности шара) S = 4πR 2 ,
где R — радиус шара (сферы).

Видео:Объём цилиндраСкачать

Задачи на тела вращения

Внимание: задачи с решениями, но они временно скрыты. Сначала сделайте попытку решить задачу самостоятельно, и только после этого нажимайте кнопки «Посмотреть ответ» и «Посмотреть решение». Ваш ответ должен совпадать с указанным, но способ решения может быть несколько иным.

Цилиндр, объём которого равен 33, описан около шара. Найдите объём шара.

Как видно из рисунков выше, осевое сечение цилиндра с вписанным шаром представляет собой квадрат с вписанным кругом. Радиус основания цилиндра (r) равен радиусу вписанного шара (R), а его высота (h) равна диаметру шара (удвоенному радиусу).
Тогда объем цилиндра V_ц = πr 2 h = πR 2 ·2R = 2πR 3 .

Отсюда находим R 3 = V_ц ___ 2π и, соответственно, V_ш = 4 _ 3 πR 3 = 4π __ 3 · V_ц __ 2π

После сокращения дроби, получим V_ш = 2V_ц /3 = 2·33/3 = 22.

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра находим по формуле S_ц = 2πrh + 2πr 2 .
Аналогично предыдущей задаче из рисунка для плоского сечения видно, что радиус основания цилиндра (r) равен радиусу вписанного шара (R), а его высота (h) равна диаметру шара (удвоенному радиусу).
Поэтому S_ц = 2πR·2R + 2πR 2 = 6πR 2 .
Величину πR 2 найдем из формулы поверхности шара S_ш = 4πR 2 . Следовательно, πR 2 = S_ш /4 = 111/4.
Окончательно находим S_ц = 6·111/4 = 333/2 = 166,5 .

Читайте также: Замена заднего тормозного цилиндра ваз калина

Ответ: 166,5

Цилиндр вписан в шар, радиус которого равен √2 _ . Найти объём цилиндра, если высота цилиндра в два раза больше радиуса цилиндра. Ответ записать в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.

Объём цилиндра определяется по формуле V = πr 2 h .
По условию задачи h = 2r.
Чтобы найти радиус цилиндра, дополнили чертеж осевого сечения радиусом шара и расставили буквы для обозначения отрезков. Здесь O — центр шара, OB = R — радиус шара, AB = r — радиус цилиндра.
Точка O также является серединой высоты цилиндра, поэтому AO = h/2. В нашем случае h/2 = r, таким образом AO = AB = r, и треугольник OAB — прямоугольный, равнобедренный.

Отсюда находим радиус цилиндра r = R·sin45° = R· √2 _ /2 = √2 _ · √2 _ /2 = 1

и его объём V = πr 2 h = π·1 2 ·2 = 2π ≈ 6,28 .

В шар, площадь поверхности которого равна 100π, вписан цилиндр. Найти высоту цилиндра, если радиус его основания равен 4.

Дополним чертеж осевого сечения радиусом шара и расставим буквы для обозначения отрезков.
Площадь поверхности шара S_ш = 4πR 2 = 100π. Отсюда R 2 = 25 и R = 5.
В треугольнике OAB: OA = x — половина искомой высоты цилиндра; AB = 4 — радиус основания цилиндра; OB = 5 — радиус шара.
По теореме Пифагора:
x 2 + 4 2 = 5 2
x 2 = 25 − 16 = 9; x = 3. h = 6.

Конус вписан в цилиндр. Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 5.

Как видно из рисунков вверху, в этом случае конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту.

При одинаковых r и h объём конуса V_к = 1 _ 3 πr 2 h

в три раза меньше объёма цилиндра V_ц = πr 2 h .
Таким образом, искомая величина V_ц = 3×5 = 15.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 3 √2 _ . Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Воспользуемся чертежом осевого сечения, расставим буквы для обозначения отрезков: AC = h — высота конуса и цилиндра, CB = r — радиус оснований конуса и цилиндра, AB = l — образующая цилиндра.
Из треугольника ABC по теореме Пифагора:

т.е. площадь боковой поверхности цилиндра в √2 _ раз больше площади боковой поверхности конуса.
Окончательно S_к = 3 √2 _ / √2 _ = 3

В конус вписан цилиндр так, что его верхнее основание пересекает высоту конуса в её середине. Найдите объём конуса, если объем цилиндра равен 60.

Воспользуемся чертежом осевого сечения, расставим буквы для обозначения отрезков:
AC = h_к — высота конуса, CB = r_к — радиус основания конуса,
DC = h_ц — высота цилиндра, DE = r_ц — радиус основания цилиндра.
Найдём отношение объёмов конуса и цилиндра:

По условию задачи точка D — середина отрезка AC, т.е. AD = DC = AC / 2 , и потому h_к : h_ц = 2 : 1 .

В конус с высотой 15 и радиусом основания 3 вписан цилиндр объёма V. Найти наибольшее возможное значение объёма цилиндра.

В один и тот же конус можно вписать разные цилиндры. Обозначим символом r радиус вписанного цилиндра, h — его высоту.
Из подобия треугольников ADE и ABC (см. решение предыдущей задачи) составим пропорцию
AC : AD = CB : DE,
15 : (15 − h) = 3 : r,
преобразуя которую, найдём соотношение между высотой и радиусом цилиндра, вписанного в заданный конус:
15· r = 3·(15 − h), h = 15 − 5r .

Теперь можем выразить объём цилиндра только через один его характерный размер:
V = πr 2 h = πr 2 ·(15 − 5r) = 15πr 2 − 5r 3 .
Получили выражение для объёма цилиндра в виде функции одной переменной V = f(r) .
Чтобы найти максимальное значение этой функции, нужно найти её производную.
V’ = (15πr 2 − 5r 3 )’ = 15π·2r − 5·3r 2 = 30πr − 15r 2 .
Затем приравнять производную к нулю и решить уравнение V’ = 0 относительно переменной r.
30πr − 15πr 2 = 0, 15πr(2 − r) = 0 .
Это уравнение имеет два корня r₁ = 0 и r₂ = 2, которые являются точками экстремумов функции V(r). Необходимости проводить исследование на характер экстремумов в данном случае нет, так как очевидно, что при r = 0 объем «цилиндра» будет нулевым, т.е. минимальным. Максимального значения объём достигает при r = 2. Вычислим это значение
V = 15πr 2 − 5r 3 = 15π·2 2 − 5π·2 3 = 60π − 40π = 20π .

Читайте также: Цилиндры с профильным ключом секретность

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 7 √2 _ . Найдите радиус сферы.

Так как по условию задачи центр сферы находится в центре основания конуса, то основание конуса, в свою очередь, является диаметральным сечением сферы. Т.о. на плоском чертеже отрезок AB является диаметром окружности, и ∠ACB = 90° как вписанный угол, опирающийся на её диаметр.
Пусть l = 7 √2 _ — образующая конуса, R — радиус сферы. Тогда в прямоугольном треугольнике ABC AC = BC = l — катеты, AB = 2R — гипотенуза. По теореме Пифагора
AB 2 = AC 2 + BC 2 ;
(2R) 2 = l 2 + l 2 ;
4R 2 = l 2 + l 2 = 2l 2 ; 4R 2 = 2(7 √2 _ ) 2 ;
4R 2 = 2·49·2 = 4·49; R 2 = 49; R = 7 .

Найти площадь поверхности шара, описанного около конуса, у которого радиус основания 2 __ √π _ ,

Пусть R — радиус сферы. Поскольку СD — диаметр окружности осевого сечения, то СH + HD = 2R.
Воспользуемся свойством пересекающихся хорд окружности, чтобы найти длину отрезка HD = x.
DH·HС = AH·HC

x· 1 __ √π _ = 2 __ √π _ · 2 __ √π _

Преобразуя, получим х = 4 __ √π _ .

Тогда 2R = 1 __ √π _ + 4 __ √π _ = 5 __ √π _ ; R = 5 ___ 2 √π _ .

Площадь сферы S = 4πR 2 = 4π· 25 ___ 4π = 25 .

В шар вписан конус. Площадь осевого сечения конуса равна 3 √9 / π 2 _____ , а угол между высотой и образующей равен 45°. Найти объём шара.

На этом рисунке углы между высотой и образующей — ∠OCA и ∠OCB. По условию задачи они равны 45°. Таким образом треугольники OCA и OCB прямоугольные, равнобедренные. Следовательно, радиус шара равен высоте конуса, и площадь осевого сечения конуса (площадь треугольника ABC) можно выразить только через радиус шара S = OC·AB/2=R·2R/2 = R 2 .
Таким образом,

В шар вписан конус, образующая которого равна диаметру основания. Найти отношение полной поверхности этого конуса к поверхности шара.

Пусть образующая конуса (AC = BC) равна a. Тогда по условию задачи диаметр конуса (AB) тоже равен a. То есть, треугольник ABC — равносторонний.
Чтобы найти радиус шара (R), используем формулу, связывающую длину стороны равностороннего треугольника и радиус описанной около него окружности.

Радиус основания конуса r = a/2 (половина диаметра).
Площадь полной поверхности конуса
S_к = πr(r + l) = π·a/2·(a/2 + a) = 3πa 2 /4 .
Площадь поверхности шара
S_ш = 4πR 2 = 4π·a 2 ·( √3 _ /3) 2 = 4πa 2 /3 .
Их отношение