Как найти объем эллиптического цилиндра (4 видео)

Объём эллиптического цилиндра — это число, характеризующее эллиптический цилиндр в единицах измерения объёма.

Эллиптический цилиндр — это поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией цилиндра вдоль двух взаимно перпендикулярных осей (перпендикулярных оси цилиндра).

Содержание

Обозначения [ править ]
Формула [ править ]
Вывод формулы: [ править ]
1-ый способ [ править ]
2-ой способ [ править ]
Цилиндр — Cylinder
Правые круговые цилиндры
Характеристики
Цилиндрические секции
Объем
Площадь поверхности
Правый полый круговой цилиндр (цилиндрическая оболочка)
На сфере и цилиндре
Цилиндрические поверхности
Эллиптический цилиндр
Гиперболический цилиндр
Параболический цилиндр
Проективная геометрия
Призмы
💡 Видео

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Обозначения [ править ]

a — большая полуось основания;

b — малая полуось основания;

h — высота эллиптического цилиндра;

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндраСкачать

Формула [ править ]

Заметим, что при b=aформула объёма эллиптического цилиндра превращается в формулу объёма цилиндра.

Видео:Объём цилиндраСкачать

Вывод формулы: [ править ]

1-ый способ [ править ]

Для вывода используется формула «объём трёхмерной фигуры» в прямоугольных координатах.
Для нахождения интеграла используется формула 3 «интегралы функций с корнями».

2-ой способ [ править ]

Для вывода используется формула «объём трёхмерной фигуры» в прямоугольных координатах.
Для нахождения интеграла используется метод замены переменных с переходом к цилиндрическим координатам.

Видео:Объем цилиндраСкачать

Цилиндр — Cylinder

Цилиндр (от греческого : κύλινδρος , латинизируется : kulindros , лит «ролик», «тумблер») традиционно является трехмерный твердым , один из самых основных криволинейных геометрических фигур. Это идеализированная версия жесткой жестяной банки с крышками сверху и снизу. Геометрически ее можно рассматривать как призму с кругом в основании.

Этот традиционный взгляд все еще используется в элементарных трактовках геометрии, но передовая математическая точка зрения сместилась в сторону бесконечной криволинейной поверхности, и именно так цилиндр теперь определяется в различных современных областях геометрии и топологии .

Сдвиг в основном значении (твердое тело по сравнению с поверхностью) вызвал некоторую двусмысленность с терминологией. Обычно есть надежда, что контекст проясняет смысл. Обе точки зрения обычно представлены и различаются, ссылаясь на твердые цилиндры и цилиндрические поверхности , но в литературе неприкрашенный термин цилиндр может относиться к любому из них или к даже более специализированному объекту, правильному круговому цилиндру .

Определения и результаты в этом разделе взяты из текста « Плоская и сплошная геометрия» 1913 года, написанного Джорджем Вентвортом и Дэвидом Юджином Смитом ( Wentworth & Smith 1913 ).

представляет собой поверхность , состоящая из всех точек на всех линий , которые параллельны к данной линии и которые проходят через фиксированной плоской кривой в плоскости , не параллельной данной линии. Любая линия из этого семейства параллельных линий называется элементом цилиндрической поверхности. С кинематической точки зрения, если задана плоская кривая, называемая директрисой , цилиндрическая поверхность — это поверхность, очерченная линией, называемой образующей , не в плоскости направляющей, движущаяся параллельно себе и всегда проходящая через направляющую. . Любое конкретное положение образующей является элементом цилиндрической поверхности.

Твердое ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями называется (твердое вещество) . Сегменты линии, определяемые элементом цилиндрической поверхности между двумя параллельными плоскостями, называются элементом цилиндра . Все элементы цилиндра имеют одинаковую длину. Область, ограниченная цилиндрической поверхностью в любой из параллельных плоскостей, называется цилиндра. Два основания цилиндра — конгруэнтные фигуры. Если элементы цилиндра перпендикулярны плоскостям, содержащим основания, цилиндр является , в противном случае он называется . Если основания представляют собой диски (области, граница которых представляет собой окружность ), цилиндр называется . В некоторых элементарных обработках цилиндр всегда означает круговой цилиндр.

(или высота) цилиндра является перпендикулярным расстоянием между его основаниями.

Цилиндр, полученный путем вращения отрезка прямой вокруг фиксированной линии, параллельной которой он является, является . Цилиндр вращения — это правильный круговой цилиндр. Высота цилиндра вращения — это длина сегмента образующей. Линия, вокруг которой вращается сегмент, называется цилиндра и проходит через центры двух оснований.

Читайте также: Цилиндр эдуардо де филиппо 1978 телеспектакль

Правые круговые цилиндры

Голый термин цилиндр часто относится к сплошному цилиндру с круговыми концами, перпендикулярными оси, то есть к правильному круговому цилиндру, как показано на рисунке. Цилиндрическая поверхность без концов называется . Формулы площади поверхности и объема правильного кругового цилиндра были известны с глубокой древности.

Правый круговой цилиндр можно также рассматривать как твердое тело вращения, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эти цилиндры используются в технике интегрирования («дисковый метод») для получения объемов тел вращения.

Видео:Задача про ЦИЛИНДР / Как найти объем детали? / Профиль ЕГЭСкачать

Характеристики

Цилиндрические секции

Цилиндрическое сечение — это пересечение поверхности цилиндра с плоскостью . Это, как правило, кривые и особые типы плоских сечений . Цилиндрическое сечение плоскостью, содержащей два элемента цилиндра, представляет собой параллелограмм . Такое цилиндрическое сечение правого цилиндра представляет собой прямоугольник .

Цилиндрическое сечение, в котором пересекающаяся плоскость пересекается и перпендикулярна всем элементам цилиндра, называется . Если правая часть цилиндра представляет собой круг, то цилиндр — это круговой цилиндр. В более общем смысле, если правое сечение цилиндра является коническим сечением (парабола, эллипс, гипербола), то твердый цилиндр называется параболическим, эллиптическим и гиперболическим соответственно.

Для правильного кругового цилиндра существует несколько способов пересечения плоскостей с цилиндром. Во-первых, плоскости, которые пересекают основание не более чем в одной точке. Плоскость касается цилиндра, если она встречается с цилиндром в единственном элементе. Правые секции представляют собой круги, а все остальные плоскости пересекают цилиндрическую поверхность по эллипсу . Если плоскость пересекает основание цилиндра ровно в двух точках, то отрезок, соединяющий эти точки, является частью цилиндрического сечения. Если такая плоскость содержит два элемента, она имеет прямоугольник как цилиндрическую секцию, в противном случае стороны цилиндрической секции являются частями эллипса. Наконец, если плоскость содержит более двух точек основания, она содержит всю основу, а цилиндрическое сечение представляет собой окружность.

В случае прямого кругового цилиндра с цилиндрическим сечением, которое является эллипсом, эксцентриситет e цилиндрического сечения и большая полуось a цилиндрического сечения зависят от радиуса цилиндра r и угла α между секущей плоскостью и ось цилиндра следующим образом:

е знак равно потому что ⁡ α , а знак равно р грех ⁡ α . >.>

Объем

Если основание кругового цилиндра имеет радиус r, а высота цилиндра h , то его объем определяется как

Эта формула верна независимо от того, является ли цилиндр правильным.

Эта формула может быть установлена с использованием принципа Кавальери .

В более общем смысле, по тому же принципу объем любого цилиндра является произведением площади основания и высоты. Например, эллиптический цилиндр с основанием, имеющим большую полуось a , малую полуось b и высоту h, имеет объем V = Ah , где A — площадь основного эллипса (= π ab ). Этот результат для правых эллиптических цилиндров также может быть получен путем интегрирования, где ось цилиндра берется как положительная ось x, а A ( x ) = A — площадь каждого эллиптического поперечного сечения, таким образом:

V знак равно ∫ 0 час А ( Икс ) d Икс знак равно ∫ 0 час π а б d Икс знак равно π а б ∫ 0 час d Икс знак равно π а б час . ^ A (x) dx = \ int _ ^ \ pi abdx = \ pi ab \ int _ ^ dx = \ pi abh.>

Используя цилиндрические координаты , объем правого кругового цилиндра может быть вычислен путем интегрирования по

знак равно ∫ 0 час ∫ 0 2 π ∫ 0 р s d s d ϕ d z ^ \ int _ ^ \ int _ ^ s \, \, ds \, d \ phi \, dz > знак равно π р 2 час . \, h.>

Площадь поверхности

Имея радиус r и высоту (высоту) h , площадь поверхности правильного кругового цилиндра, ориентированного так, чтобы его ось была вертикальна, состоит из трех частей:

площадь верхнего основания: π r 2
площадь нижнего основания: π r 2
площадь стороны: 2π прав.

Читайте также: Прозрачные цилиндры для упаковки

Площадь верхней и нижней баз одно и то же, и называется площадь основания , B . Площадь стороны известна как , L .

Открытый цилиндр не включает в себя либо верхние или нижние элементы, и , следовательно , имеет площадь поверхности (площадь боковой)

Площадь поверхности твердого правильного кругового цилиндра складывается из всех трех компонентов: верхней, нижней и боковой. Следовательно, его площадь поверхности составляет

где d = 2 r — диаметр круглого верха или низа.

Для данного объема правый круговой цилиндр с наименьшей площадью поверхности имеет h = 2 r . Эквивалентно, для данной площади поверхности правый круговой цилиндр с наибольшим объемом имеет h = 2 r , то есть цилиндр плотно входит в куб со стороной, равной высоте (= диаметру основной окружности).

Боковая площадь L кругового цилиндра, который не обязательно должен быть прямым цилиндром, в более общем случае определяется следующим образом:

где e — длина элемента, а p — периметр правой части цилиндра. Это дает предыдущую формулу для боковой площади, когда цилиндр является правильным круговым цилиндром.

Правый полый круговой цилиндр (цилиндрическая оболочка)

Прямой круговой полый цилиндр (или ) представляет собой трехмерная область , ограниченная два правых круговых цилиндров , имеющих ту же ось и две параллельных кольцевые основания , перпендикулярных к общей оси цилиндров, как на диаграмме.

Пусть высота будет ч , внутренний радиус R , и внешний радиус R . Объем определяется как

V знак равно π ( р 2 — р 2 ) час знак равно 2 π ( р + р 2 ) час ( р — р ) . -r ^ ) h = 2 \ pi \ left ( > \ right) h (Rr).> .

Таким образом, объем цилиндрической оболочки равен 2 π (средний радиус) (высота) (толщина).

Площадь поверхности, включая верхнюю и нижнюю, определяется как

А знак равно 2 π ( р + р ) час + 2 π ( р 2 — р 2 ) . -r ^ ).> .

Цилиндрические оболочки используются в общей технике интеграции для определения объемов тел вращения.

На сфере и цилиндре

В трактате под этим названием написано ок. В 225 г. до н. Э. Архимед получил результат, которым он очень гордился, а именно: формулы для объема и площади поверхности сферы , используя взаимосвязь между сферой и описанным ею правым круговым цилиндром той же высоты и диаметра . Сфера имеет объем, составляющий две трети объема описанного цилиндра, и площадь поверхности, равную 2/3 площади цилиндра (включая основания). Поскольку значения для цилиндра были уже известны, он впервые получил соответствующие значения для сферы. Объем шара радиуса r равен 4 / 3 π r 3 = 2 / 3 (2 π r 3 ) . Площадь поверхности этой сферы равна 4 π r 2 = 2 / 3 (6 π r 2 ) . Скульптурная сфера и цилиндр были помещены на могилу Архимеда по его просьбе.

Видео:Объем параболоида: тройной интеграл в цилиндрической системе координатСкачать

Цилиндрические поверхности

В некоторых областях геометрии и топологии термин цилиндр относится к так называемой цилиндрической поверхности . Цилиндр определяется как поверхность, состоящая из всех точек на всех прямых, которые параллельны данной прямой и которые проходят через фиксированную плоскую кривую в плоскости, не параллельной данной прямой. Такие цилиндры иногда называют . Через каждую точку обобщенного цилиндра проходит уникальная линия, содержащаяся в цилиндре. Таким образом, это определение можно перефразировать, чтобы сказать, что цилиндр — это любая линейчатая поверхность, натянутая на однопараметрическое семейство параллельных прямых.

Цилиндр, имеющий правое сечение, которое является эллипсом , параболой или гиперболой , называется эллиптическим цилиндром , параболическим цилиндром и гиперболическим цилиндром соответственно. Это вырожденные квадратичные поверхности .

Когда главные оси квадрики выровнены с системой отсчета (всегда возможно для квадрики), общее уравнение квадрики в трех измерениях задается следующим образом:

ж ( Икс , у , z ) знак равно А Икс 2 + B у 2 + C z 2 + D Икс + E у + г z + ЧАС знак равно 0 , + By ^ + Cz ^ + Dx + Ey + Gz + H = 0,>

Читайте также: Задачи про цилиндр егэ базовый уровень

с коэффициентами, являющимися действительными числами, и не все A , B и C равны 0. Если хотя бы одна переменная не появляется в уравнении, то квадрика является вырожденной. Если одна переменная отсутствует, мы можем предположить, соответствующим поворотом осей, что переменная z не появляется, и общее уравнение этого типа вырожденной квадрики можно записать как

А ( Икс + D 2 А ) 2 + B ( у + E 2 B ) 2 знак равно ρ , > \ right) ^ + B \ left (y + > \ right) ^ = \ ро,>

ρ знак равно — ЧАС + D 2 4 А + E 2 4 B . > > + > >.>

Эллиптический цилиндр

Если AB > 0, это уравнение эллиптического цилиндра . Дальнейшее упрощение может быть получено путем перевода осей и скалярного умножения. Если имеет тот же знак, что и коэффициенты A и B , то уравнение эллиптического цилиндра может быть переписано в декартовых координатах как: ρ

( Икс а ) 2 + ( у б ) 2 знак равно 1. > \ right) ^ + \ left ( > \ right) ^ = 1.>

Это уравнение эллиптического цилиндра является обобщением уравнения обычного кругового цилиндра ( a = b ). Эллиптические цилиндры также известны как цилиндроиды , но это название неоднозначно, так как оно также может относиться к коноиду Плюккера .

Если имеет другой знак, чем коэффициенты, получаем мнимые эллиптические цилиндры : ρ

( Икс а ) 2 + ( у б ) 2 знак равно — 1 , > \ right) ^ + \ left ( > \ right) ^ = — 1,>

на которых нет настоящих очков. ( дает один реальный балл.) ρ знак равно 0

Гиперболический цилиндр

Если A и B имеют разные знаки и , мы получаем гиперболические цилиндры , уравнения которых можно переписать как: ρ ≠ 0

( Икс а ) 2 — ( у б ) 2 знак равно 1. > \ right) ^ — \ left ( > \ right) ^ = 1.>

Параболический цилиндр

Наконец, если AB = 0, предположим, без ограничения общности , что B = 0 и A = 1, чтобы получить параболические цилиндры с уравнениями, которые можно записать как:

Икс 2 + 2 а у знак равно 0. ^ + 2a = 0.>

Видео:11 класс, 32 урок, Объем цилиндраСкачать

Проективная геометрия

В проективной геометрии цилиндр — это просто конус , вершина которого лежит на бесконечно удаленной плоскости . Если конус является квадратичным конусом, бесконечно удаленная плоскость (проходящая через вершину) может пересекать конус по двум действительным прямым, одной действительной прямой (фактически совпадающая пара прямых) или только по вершине. Эти случаи приводят к появлению гиперболического, параболического или эллиптического цилиндра соответственно.

Эта концепция полезна при рассмотрении вырожденных коник , которые могут включать цилиндрические коники.

Видео:Объем цилиндра.Скачать

Призмы

Твердый круговой цилиндр можно рассматривать как предельный случай п -gonal призмы , где п приближается к бесконечности . Связь очень сильная, и многие старые тексты рассматривают призмы и цилиндры одновременно. Формулы для площади поверхности и объема выводятся из соответствующих формул для призм с использованием вписанных и описанных призм и последующего неограниченного увеличения количества сторон призмы. Одна из причин раннего акцента (а иногда и исключительного рассмотрения) круговых цилиндров заключается в том, что круговое основание является единственным типом геометрической фигуры, для которой этот метод работает с использованием только элементарных соображений (без обращения к исчислению или более продвинутой математике). Терминология относительно призм и цилиндров идентична. Так, например, поскольку усеченная призма — это призма, основания которой не лежат в параллельных плоскостях, твердый цилиндр, основания которого не лежат в параллельных плоскостях, будет называться усеченным цилиндром .

С точки зрения многогранной, цилиндр может также рассматриваться как двойная из бикона как бесконечной односторонней бипирамиде .