Как найти объем параболического цилиндра (5 видео)

К определенному интегралу мы пришли от задачи о площади криволинейной трапеции. К двойному интегралу мы приходим, решая задачу об объеме цилиндрического тела.

— Рассмотрим, например, прямой круговой цилиндр с высотой h и радиусом основания R его объем равен

— Объем цилиндра той же высоты, в основании которого лежит эллипс с полуосями равен .

Рекомендуемые файлы

— Объем цилиндра той же высоты, с площадью основания , равен .

Пусть надо вычислить объем цилиндрического тела, в основании которого лежит область с площадью , а высота изменяется от точки к точке так, что конец ее описывает некоторую поверхность (). Тогда логично разбить область на области малого размера – организовать разбиение области на области – элементы разбиения. На каждом элементе отметим точку M(x,y) и построим над этим элементом прямой круговой цилиндр, высота которого постоянна для всех точек элемента и равна . Вычислим объем этого элементарного цилиндра. Просуммируем объемы всех элементарных цилиндров. Эта сумма и даст приближенно искомый объем цилиндрического тела тем точнее, чем меньше будут размеры элементов разбиения. Этот алгоритм используем для построения двойного интеграла

Видео:Объём цилиндраСкачать

1. Организуем разбиение области D на элементы – области так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и(условие А)

2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» M_i и вычислим в них значения функции

3. Построим интегральную сумму , где — площадь

4. Переходя к пределу при условии (условие В), получим двойной интеграл как предел интегральных сумм:

Пусть функция непрерывна в замкнутой односвязной области D[3]. Тогда двойной интеграл существует как предел интегральных сумм.

Читайте также: Кубический цилиндр рисунок карандашом

Замечание[4]. Предел этот не зависит от

— способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А

Видео:Объем цилиндраСкачать

— выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,

— способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В

Свойства двойного интеграла[5].

1. Линейность
а) свойство суперпозиции .=+

б) свойство однородности.=

Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Они равны интегральным суммам для правых частей равенств, так как число слагаемых конечно. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.

2. Аддитивность.
Если, то = +

Доказательство. Выберем разбиение области D так, чтобы ни один из элементов разбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы D₁, так и элементы D₂. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.

3. — площадь области D.

4. Если в области D выполнено неравенство , то (неравенство можно интегрировать).

Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу.

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Заметим, что, в частности, возможно

Если существуют константы , что , то

Доказательство. Интегрируя неравенство (свойство 4), получим . По свойству 1 константы можно вынести из-под интегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.

6. Теорема о среднем (значении интеграла).

Существует точка , что .

Доказательство. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то существует ее нижняя грань и верхняя грань . Выполнено неравенство . Деля обе части на , получим . Но число заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то в некоторой точке функция должна принимать это значение. Следовательно, .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что существует цилиндр постоянной высоты , объем которого равен объему цилиндрического тела

Читайте также: В одном цилиндре двигателя приоры масло

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.

Предположим, что D – плоская область, лежащая в некоторой плоскости и введем в этой плоскости декартову систему координат.

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндраСкачать

Область D назовем правильной, если любая прямая, параллельная декартовым осям, пересекает ее не более чем в двух точках.

Можно показать, что замкнутую ограниченную область с кусочно-гладкой границей можно представить в виде объединения правильных областей, не имеющих общих внутренних точек. Поэтому интеграл по области D можно вычислять как сумму интегралов (свойство 2) по правильным областям. Будем считать, что нам надо вычислить двойной интеграл по правильной области.

Вспомним формулу для вычисления объема тела по площадям параллельных сечений

, где — «крайние» точки области D по x., — площадь сечения тела одной из параллельных плоскостей (при фиксированном x). Эта плоскость пересекается с плоскостью OXY по прямой, параллельной оси OY, соединяющей точку входа в область j(x) с точкой выхода f(x). Графики функций j(x), f(x) образуют границу области D. =— площадь криволинейной трапеции..

Подставляя в формулу для объема, получим . Это повторный интеграл, вернее один из них. Второй повторный интеграл можно получить, вводя сечения, параллельные оси OX. По аналогии . По смыслу двойного интеграла (объем цилиндрического тела)

Примеры. Записать двойной интеграл по заданной области и повторные интегралы.

Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла.

К двойному интегралу .мы пришли от задачи об объеме цилиндрического тела, расположенного над областью D с переменной высотой .

В этом и состоит его геометрический смысл.

Видео:Как найти объем. Принцип Кавальери | Ботай со мной #050 | Борис Трушин |Скачать

Можно рассмотреть задачу о массе плоской пластины, представляющей собой плоскую область D, плотность которой равна , т.е. меняется от точки к точке. Достаточно ассоциировать переменную плотность с переменной высотой в задаче об объеме, чтобы понять, что мы имеем ту же модель.

Читайте также: Поршень тормозного цилиндра хонда

Поэтому физический смысл двойного интеграла заключается в том, что равен массе плоской области D, плотность которой равна .

Пример. Вычислить объем V цилиндрического тела, ограниченного двумя параболическими цилиндрами z = 1-y 2 и x = y 2 и площадь его основания D, расположенного в плоскости OXY..

Информация в лекции «5.2 Управление охраной труда» поможет Вам.

[1] Здесь рассматривается упрощенный вариант построения интеграла, более общий вариант рассмотрен в седьмом выпуске учебника «Математика в техническом университете» под ред. проф. В.С. Зарубина и проф. А.П. Крищенко М. Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана 2001 (далее просто учебник).

[2] Здесь рассматривается непрерывная функция, более общий вариант см. в седьмом томе учебника

[3] Далее граница области предполагается кусочно-гладкой

Видео:11 класс, 32 урок, Объем цилиндраСкачать