Как найти объем правильной треугольной призмы вписанной в цилиндр радиус

Найдите объем правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен \(2\sqrt 3\) , а высота равна \(3\sqrt 3\) .

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту \(V=S_oH.\) Высота известна из условия и равна \(3\sqrt 3\) . Осталось найти площадь основания.

Так как призма правильная, то в основании лежит правильный треугольник. Площадь правильного треугольника можно найти через радиус описанной окружности \(S_o= R^2.\)

Тогда искомый объем равен \(V= (2\sqrt 3)^2*3\sqrt 3=81.\)

P.S. Можно не запоминать формулу площади правильного треугольника, так как здесь довольно просто можно вычислить длину стороны, зная радиус описанной окружности. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения медиан. Медианы делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1, считая от вершины. Из этих соображений находим длину медианы, а затем длину стороны и считаем площадь треугольника.

Пусть m — длина медианы (а в правильном треугольнике это высота и биссектрисса), тогда по определению синуса угла (а все углы в правильном треугольнике равны 60 градусам): \(sin60^o=m/a \Rightarrow a=m/sin60^o= m.\)

Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то \(R= m \Rightarrow m= R.\) Тогда \(a=\sqrt3R=6.\)

Площадь треуольника в основании равна \(S= a*a*sin60^o=9\sqrt 3\) , а тогда \(V=9\sqrt3*3\sqrt3=27*3=81.\)

Видео:ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2Скачать

Призмы, вписанные в цилиндры

Видео:Геометрия Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной околоСкачать

Призмы, вписанные в цилиндр. Свойства призмы, вписанной в цилиндр

Определение 1. Призмой, вписанной в цилиндр, называют такую призму, основания которой вписаны в окружности оснований цилиндра, а боковые ребра призмы являются образующими цилиндра (рис. 1).

Определение 2. Если призма вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около призмы.

Прежде, чем перейти к вопросу о том, какую призму можно вписать в цилиндр, докажем следующее свойство призм.

Утверждение 1. Если около оснований призмы можно описать окружности, то отрезок, соединяющий центры описанных окружностей, будет параллелелен и равен боковому ребру призмы.

Докажем, что точка O’ является центром окружности радиуса r, описанной около верхнего основания призмы. С этой целью рассмотрим, например, четырехугольник A₁A’₁O’O (рис. 2).

Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что

то есть точка O’ – центр окружности радиуса r , описанной около верхнего основания призмы.

В силу того, что четырехугольник OO’A₁A’₁ является параллелограммом, получаем равенство

Теорема. Около призмы можно описать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. Призма является прямой призмой;
2. Около оснований призмы можно описать окружности.

Читайте также: Разбираем главный тормозной цилиндр тойота

Доказательство. Докажем сначала, что если около n – угольной призмы описан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, описанного около призмы. Из этого определения также следует, что вписанная в цилиндр призма является прямой призмой, поскольку образующие цилиндра перпендикулярны к плоскостям его оснований,

Таким образом, мы доказали, что, если призма вписана в цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму высоты h, около оснований которой можно описать окружности, и докажем, что около такой призмы можно описать цилиндр.

Обозначим буквой O центр окружности радиуса r, описанной около нижнего основания призмы, а символом O’ обозначим центр окружности, описанной около верхнего основания призмы.

Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы описанных около них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок OO’ параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы h. Значит, и отрезок OO’ перпендикулярен плоскости основания призмы и равен h.

Цилиндр с осью OO’ , радиусом r и высотой h и будет описан около исходной призмы.

Доказательство теоремы завершено.

Следствие 1. Высота призмы, вписанной в цилиндр, равна высоте цилиндра.

Следствие 2. Около любой прямой треугольной призмы можно описать цилиндр (рис. 4).

Следствие 3. Около любого прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба ) можно описать цилиндр (рис. 5).

Замечание 1. Если у прямоугольного параллелепипеда прямоугольного параллелепипеда три ребра, выходящие из одной вершины, равны a, b, c и различны, то существует три возможности описать около этого параллелепипеда цилиндр в зависимости от того, какое из ребер параллелепипеда выбрано в качестве образующей описанного цилиндра (рис. 6, 7, 8).

Видео:ЕГЭ. Математика. База . Задача 16. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмыСкачать

Цилиндры, вписанные в призмы

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Цилиндры, вписанные в призмы. Свойства призмы, описанной около цилиндра

Определение 2. Если цилиндр вписан в призму, то призму называют описанной около цилиндра.

Прежде, чем перейти к вопросу о том, в какую же призму можно вписать цилиндр, докажем следующее свойство призм.

Утверждение 1. Если в основания призмы можно вписать окружности, то отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей, будет параллелелен и равен боковому ребру призмы.

Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что точка O’ равноудалена от всех прямых, на которых лежат ребра верхнего основания A’₁A’₂, A’₂A’₃, . , A_{n – 1}A_n , а поскольку O’ лежит в плоскости верхнего основания, то точка O’ является центром вписанной в многоугольник A’₁A’₂ . A’_n окружности.

Читайте также: Гильза цилиндра gw 491q 1002037 e00

В силу того, что прямые OO’ и A₁A’₁ параллельны по построению, а прямые OA₁ и O’A’ параллельны как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, замечаем, что четырехугольник OO’A₁A’₁ является параллелограммом, откуда вытекает равенство: OO’ = A₁A’₁ .

Теорема. В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. Призма является прямой призмой;
2. В основания призмы можно вписать окружности.

Доказательство. Докажем сначала, что если в n – угольную призму вписан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, вписанного в призму. Докажем, что выполняется и условие 1, т.е. докажем, что описанная около цилиндра призма является прямой призмой.

С этой целью рассмотрим ось цилиндра OO’ , соединяющую центры окружностей, вписанных в нижнее и верхнее основания призмы (рис. 3).

Согласно утверждению 1 отрезок OO’ параллелен боковым ребрам призмы. Поскольку ось цилиндра OO’ перпендикулярна к плоскостям его оснований, то и боковые ребра призмы также перпендикулярны к плоскостям оснований, то есть призма является прямой призмой.

Таким образом, мы доказали, что, если призма описана около цилиндра, то оба условия теоремы выполнены.

Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму высоты h, в основания которой можно вписать окружности, и докажем, что в такую призму можно вписать цилиндр.

Обозначим буквой O центр окружности радиуса r, вписанной в нижнее основание призмы, а символом O’ обозначим центр окружности, вписанной в верхнее основание призмы (рис. 4).

Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы вписанных в них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок OO’ параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы h. Значит, и отрезок OO’ перпендикулярен плоскости основания призмы и равен h.

Цилиндр с осью OO’ , радиусом r и высотой h и будет вписан в исходную призму.

Доказательство теоремы завершено.

Следствие 1 . Высота призмы, описанной около цилиндра, равна высоте цилиндра.

Следствие 2. В любую прямую треугольную призму можно вписать цилиндр.

Справедливость этого утверждения вытекает из того факта, что в любой треугольник можно вписать окружность.

Следствие 3. В любую правильную n – угольную призму можно вписать цилиндр.

Для доказательства этого следствия достаточно заметить, правильная призма является прямой призмой. Основаниями правильной призмы являются правильные многоугольники, а в любой правильный n – угольник можно вписать окружность.

Читайте также: Цилиндр сцепления главный урал нового образца

Видео:Как найти объём правильной треугольной призмыСкачать

Отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n — угольной призмы

Задача. Найти отношение объемов цилиндра и описанной около него правильной n — угольной призмы.

Решение. Поскольку и объем цилиндра, и объем призмы объем призмы вычисляются по формуле

а высота цилиндра равна высоте описанной около него призмы, то для объемов цилиндра и описанной около него правильной n — угольной призмы справедливо равенство

Следствие 4. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной треугольной призмы правильной треугольной призмы равно

Следствие 5. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной четырехугольной призмы правильной четырехугольной призмы равно

Следствие 6. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него правильной шестиугольной призмы равно

Видео:Задачи на нахождения объема призмы и цилиндраСкачать

Найдите площадь боковой поверхности правильной

27065. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √3, а высота равна 2.

Площадь боковой поверхности данной призмы равна сумме площадей всех боковых граней. Так как дана правильная треугольная призма, то все три грани являются прямоугольниками, площади которых равны.

Для нахождения площади боковой грани необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота дана. Найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху:

Из прямоугольного треугольника АОС можем найти АС. По определению тангенса: Значит

Таким образом, сторона правильного треугольника выражается через радиус вписанной в него окружности как Значит площадь боковой поверхности будет равна: Ответ: 36

27066. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √3, а высота равна 2.

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра снования и высоты. *Высота призмы равна высоте цилиндра. Вычислим сторону шестиугольника. Построим эскиз: Треугольник AOH равносторонний, Провели высоту OH, АН=НВ. Можем записать: Следовательно АВ=2. Таким образом, периметр шестиугольника равен 12, а искомая площадь 24 (периметр умножили на высоту призмы).

27107. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 2√3, а высота равна 2.

Площадь боковой поверхности призмы равна: Сторона правильного треугольника выражается через радиус описанной окружности как: Тогда площадь боковой поверхности призмы равна: Ответ: 36

27064. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Диаметр цилиндра равен стороне квадрата лежащего в основании, это 2. Тогда периметр квадрата равен 8. Площадь боковой поверхности равна 8∙1=8.

🎥 Видео

Геометрия Объем правильной треугольной призмы равен 25√3. Радиус окружности, описанной околоСкачать

Стереометрия. ЕГЭ. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмыСкачать

Геометрия Боковая поверхность правильной треугольной призмы равна 6. Найдите высоту призмыСкачать

11 класс. Контрольная №4 (из 6). Тема: Объем призмы, цилиндра и конуса. Решение с советами! :)Скачать

Стереометрия, номер 38.1Скачать

11 класс. Геометрия. Объем цилиндраСкачать

ЗАДАНИЕ 8 из ЕГЭ_56Скачать

Призма и цилиндр. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать

Вычисление радиуса сферы, вписанной в правильную треугольную пирамидуСкачать

Найдите объем треугольной призмыСкачать

Стереометрия, номер 31.1Скачать

Учимся дома. 11 класс. Геометрия: Решение задач на объемыСкачать

Вычисление радиуса сферы, описанной около правильной треугольной пирамидыСкачать