Как найти объем цилиндра по вписанному в него конуса (8 видео)

Определение 1. Конусом, вписанным в цилиндр, называют такой конус, у которого основание совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина совпадает с центром другого основания цилиндра (рис. 1).

Определение 2. Если конус вписан в цилиндр, то цилиндр называют описанным около конуса.

Замечание. Высота конуса равна высоте цилиндра, описанного этого конуса.

Утверждение. Около любого конуса можно описать цилиндр.

Доказательство. Для доказательства достаточно построить цилиндр, у которого одно из оснований совпадает с основанием конуса, а плоскость другого основания проходит через вершину конуса.

Содержание

Отношение объемов конуса и описанного около него цилиндра
Тригонометрия
Ещё по теме
Математика
Ещё по теме
Цилиндр, конус, шар
Цилиндр, конус, шар
Теорема Пифагора
Цилиндр, конус, шар
Цилиндр, конус, шар
Теорема Пифагора
🔍 Видео

Видео:Цилиндр, конус, шар, 6 классСкачать

Отношение объемов конуса и описанного около него цилиндра

Утверждение. Объем конуса в 3 раза меньше объема описанного около него цилиндра.

Доказательство. Пусть радиус основания конуса равен r, а высота конуса равна h. Поскольку цилиндр описан около конуса, то радиус основания цилиндра также равен r, а высота цилиндра равна h. Тогда объем конуса равен

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Тригонометрия

Ещё по теме

Найти периметр окружности радиуса $ r = 10 $ см.

Дан ромб с диагоналями $d1=5$ см и $d2=4$. Найти площадь ромба.

В область, ограниченную параболой $y = c — $ и осью $Ox,$ вписан прямоугольник, стороны которого параллельны координатным осям и одна сторона лежит на оси $Ox.$ Определить наибольшую площадь прямоугольника.

Выразить километры в метрах:

Дан ромб, диагонали которого равны $d1=4$ см, $d2=6$ см. Острый угол равен $α = 30°$ . Найдите площадь фигуры через сторону и угол.

Равнобедренная трапеция описана вокруг окружности радиуса $R$ (рисунок $2$). При каком угле при основании $\alpha$ площадь заштрихованной области будет наименьшей?

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

О сайте

На нашем сайте вы найдете множество полезных калькуляторов, конвертеров, таблиц, а также справочных материалов по основным дисциплинам.

Самый простой способ сделать расчеты в сети — это использовать подходящие онлайн инструменты. Воспользуйтесь поиском, чтобы найти подходящий инструмент на нашем сайте.

calcsbox.com

На сайте используется технология LaTeX.
Поэтому для корректного отображения формул и выражений
пожалуйста дождитесь полной загрузки страницы.

Копирование материалов запрещено

Видео:Как найти объем вписанного конуса? 🔍 #умскул_профильнаяматематика #умскул #никитасалливанСкачать

Математика

Ещё по теме

Выразить километры в метрах:

Окно имеет форму прямоугольника, ограниченного сверху полукругом (рисунок $3$). Периметр окна равен $P.$ Определить радиус полукруга $R,$ при котором площадь окна является наибольшей.

$ A( _ >; _ >)=A(-7;6) $ — центр окружности. Радиус окружности равен $ 3 $ . Необходимо найти координаты точки $ P $ , полученной поворотом начального радиус-вектора на $ P $ .

Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 15 см и 33 см. Вычислить (в см 2 ) площадь трапеции.

Площадь ромба равна $ 10.8 $ см 2 , а площадь круга, вписанного в этот ромб — $ 2.25\pi $ см 2 .

1. Определите длину радиуса круга, вписанного в ромб (в см).

2. Вычислить длину стороны ромба (в см).

Основания равнобедренной (равнобокой) трапеции равны 8 и 20 сантиметров. Боковая сторона равна 10 см. Найдите площадь трапеции, подобной данной, которая имеет высоту 12 см.

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

О сайте

Читайте также: Можно ли ездить без компрессии в одном цилиндре

calcsbox.com

Копирование материалов запрещено

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Цилиндр, конус, шар

Цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами $М$ и $М_1$. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра.

Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, на рисунке образующая $L$.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны основаниям. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру основания, а вторая – высоте цилиндра.

Основные понятия и свойства цилиндра:

Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.
Все образующие цилиндра параллельны и равны.
Радиусом цилиндра называется радиус его основания ($R$).
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (в прямом цилиндре высота равна образующей).
Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры оснований ($ОО_1$).
Если радиус или диаметр цилиндра увеличить в n раз, то объем цилиндра увеличится в $n^2$ раз.
Если высоту цилиндра увеличить в m раз, то объем цилиндра увеличится в то же количество раз.
Если призму вписать в цилиндр, то ее основаниями будут являться равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра — образующими цилиндра.
Если цилиндр вписан в призму, то ее основания — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра.
Если в цилиндр вписана сфера, то радиус сферы равен радиусу цилиндра и равен половине высоты цилиндра.

Площадь поверхности и объем цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

Площадь поверхности цилиндра равна сумме двух площадей оснований и площади боковой поверхности.

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объем части цилиндра, в основании которого лежит сектор: $V= / $, где $n°$ — это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Цилиндр описан около шара. Объём цилиндра равен $30$. Найдите объём шара.

Если в цилиндр вписан шар, то радиус цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра в два раза больше радиуса шара.

Распишем формулы объема цилиндра и шара.

Далее надо сравнить во сколько раз объем цилиндра больше объема шара, для этого разделим объемы друг на друга.

Объем цилиндра больше объема шара в $1.5$ раза, следовательно, чтобы найти объем шара, надо объем цилиндра разделить на $1.5$.

Конусом (круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга, точки, не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков, соединяющих заданную точку с точками круга.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими и обозначаются (l).

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Ось прямого конуса и его высота равны.

Все образующие конуса равны.
Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого равно двум радиусам, а боковые стороны равны образующим конуса.
Если боковая поверхность конуса – полукруг, то осевым сечением является равносторонний треугольник, угол при вершине равен $60°$.
Если радиус или диаметр конуса увеличить в n раз, то его объем увеличится в $n^2$ раз.
Если высоту конуса увеличить в m раз, то объем конуса увеличится в то же количество раз.

Площадь поверхности и объем конуса.

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадь поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту.

Читайте также: Установка цилиндра подъема кузова камаз 5511

Объем части конуса, в основании которого лежит сектор: $V= / $, где $n°$ — это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии ($R$) от данной точки (центра сферы $О$).

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара.

Площадь поверхности сферы: $S_ =4π·R^2=π·d^2$, где $R$ — радиус сферы, $d$ — диаметр сферы

Объем шара: $V= / = / $, где $R$ — радиус шара, $d$ — диаметр шара.

Если радиус или диаметр шара увеличить в n раз, то площадь поверхности увеличится в $n^2$ раз, а объем в $n^3$ раз.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	$ / $	$ / $	$ / $
$cosα$	$ / $	$ / $	$ / $
$tgα$	$ / $	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	$ / $

Признаки подобия треугольников:

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Видео:Конус. 11 класс.Скачать