Как найти площадь поверхности сферы вписанной в цилиндр

Видео:ЕГЭ. Задача 8. Шар вписан в цилиндрСкачать

Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере

Определение 1. Прямую называют касательной к сфере (прямой, касающейся сферы), если эта прямая имеет со сферой единственную общую точку. Общую точку касательной прямой и сферы называют точкой касания (рис. 1).

Прямая касается сферы тогда и только тогда, когда эта прямая проходит через точку касания и перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в точку касания.

Множество всех прямых, касающихся сферы в некоторой точке, образуют касательную плоскость к сфере в этой точке (рис.2).

Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем только одну.

Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем плоскость перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в эту точку.

Общую точку сферы и ее касательной плоскости называют точкой касания .

Видео:Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шараСкачать

Сфера, вписанная в цилиндр

Определение 2. Сферой, вписанной в цилиндр, называют такую сферу, которая касается плоскостей обоих оснований цилиндра, а каждая образующая цилиндра является касательной к сфере (рис. 3).

Определение 3. Если сфера вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около сферы .

Из рисунка 3 видно, что справедливы следующие два утверждения.

Утверждение 1. Около любой сферы можно описать цилиндр.

Утверждение 2. В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота цилиндра равна диаметру его основания.

Замечание. В том случае, когда в цилиндр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы равняется радиусу основания цилиндра.

Видео:Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 78. Найдите площадь полной поверхности цилиндраСкачать

Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар

Задача. Найти отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар.

Видео:11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать

Площадь поверхности шара вписанного в цилиндр

Видео:Шар вписан в цилиндр 5 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти площадь поверхности:

Площадь поверхности шара формула:
Sш = 4 π R 2 , где R – радиус шара, π – число пи

Читайте также: Главный тормозной цилиндр для субару легаси

Площадь поверхности цилиндра формула:
Sц = 2 π R 2 + 2 π R . 2 R = 6 π R 2 , где R – радиус цилиндра, π – число пи

Видео:Сфера и шар. Сечение сферы. Вписанная и описанная сфераСкачать

Сфера, вписанная в цилиндр

Определение 2. Сферой, вписанной в цилиндр, называют такую сферу, которая касается плоскостей обоих оснований цилиндра , а каждая образующая цилиндра является касательной к сфере (рис. 3).

Определение 3. Если сфера вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около сферы .

Из рисунка 3 видно, что справедливы следующие два утверждения.

Утверждение 1. Около любой сферы можно описать цилиндр.

Утверждение 2. В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота цилиндра равна диаметру его основания .

Замечание. В том случае, когда в цилиндр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы равняется радиусу основания цилиндра.

Видео:60. Площадь поверхности цилиндраСкачать

Площадь боковой поверхности цилиндра через радиус основания и высоту

Формула для нахождения боковой поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:

, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.

Видео:ЕГЭ по математике. Базовый уровень. Задание 13. Около шара описан цилиндр. Площадь поверхностиСкачать

Через диаметр

Как известно, диаметр шара равен двум его радиусам: d = 2R. Следовательно, рассчитать площадь фигуры поверхности можно, используя такой вид формулы:

S = 4 π (d/2) 2

Видео:11 класс. Геометрия. Сфера и шар. Объем шара и площадь поверхности. 05.05.2020.Скачать

Основные утверждения

• Поверхность шара в четыре раза больше площади его большого круга.

• Поверхность шарового сегмента равна площади круга, имеющего радиусом отрезок, проведённый от вершины сегмента к окружности, служащей ему основанием.

• Цилиндр, описанный вокруг шара, имеет объём, равный трём вторым объёма шара, и площадь поверхности, равную трём вторым площади поверхности шара.

Видео:#140. Задание 8: шарСкачать

Вместе с этой задачей также решают:

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A,B, C,B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 6, AD = 6$ и $AA_1 = 8$.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A,B,C_1,B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 3 , AD = 5$ и $AA_1 = 4$.

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1800 см 3 воды и полностью погрузили в неё деталь. При этом уровень жидкости поднялся с отметки 24 см до отметки 26 см.

Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 16. Точка E – середина ребра SB. Найдите объём пирамиды EABC.

Видео:Задача на шар. Найти площадь поверхности - bezbotvyСкачать

Площадь полной поверхности цилиндра через радиус основания и высоту

Формула для нахождения полной поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:

, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар

Задача. Найти отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар.

Читайте также: Определите объем камеры сгорания рабочий объем цилиндра полный объем цилиндра

Решение. Если R – радиус шара, то объем шара вычисляется по формуле

У описанного около сферы цилиндра радиус основания равен R , а высота равна 2R . Поэтому объем цилиндра равен

Видео:Площадь сферыСкачать

Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере

Определение 1. Прямую называют касательной к сфере (прямой, касающейся сферы), если эта прямая имеет со сферой единственную общую точку. Общую точку касательной прямой и сферы называют точкой касания (рис. 1).

Прямая касается сферы тогда и только тогда, когда эта прямая проходит через точку касания и перпендикулярна радиусу сферы , проведенному в точку касания.

Множество всех прямых, касающихся сферы в некоторой точке, образуют касательную плоскость к сфере в этой точке (рис.2).

Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем только одну.

Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем плоскость перпендикулярна радиусу сферы , проведенному в эту точку.

Общую точку сферы и ее касательной плоскости называют точкой касания .

Видео:Стереометрия, номер 46.1Скачать

Решение

Из рисунка, указанного в условии, видно, что, с одной стороны, диаметр шара является диаметром окружности основания цилиндра, а с другой стороны, является высотой цилиндра. Пусть радиус шара равен R , тогда его диаметр равен 2 R , значит, высота цилиндра H равна 2 R . Находим площадь полной поверхности цилиндра: S _{полн. пов. цил.} = 2 S _{осн. цил.} + S _{бок. пов. цил.} = 2pi R^2 + 2pi RH.

2pi R^2 + 2pi RH = 2pi R^2 + 2pi Rcdot 2R = 6pi R^2. По условию 24 = 6pi R^2. Отсюда pi R^2 = 4. Так как S _{пов. шара} = 4pi R^2, то искомая площадь равна 4cdot 4 = 16.

Видео:ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2Скачать

Примеры задач

Задание 1
Вычислите площадь поверхности шара, если его радиус составляет 7 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой (через радиус):
S = 4 ⋅ 3,14 ⋅ (7 см) 2 = 615,44 см 2 .

Задание 2
Площадь поверхности шара равна 200,96 см 2 . Найдите его диаметр.

Решение:
Выведем величину диаметра из соответствующей формулы расчета площади:

Видео:Как запомнить площадь поверхности цилиндра #математикапрофиль #геометрияегэСкачать

Вписанный в шар цилиндр

Рассмотрим комбинацию тел: шар и вписанный в шар цилиндр.

Цилиндр вписан в шар, если окружности его оснований лежат на поверхности шара. В этом случае говорят также, что шар описан вокруг цилиндра. Центр шара лежит на середине оси цилиндра.

Как и при решении задач на шар, вписанный в цилиндр , чаще всего рассматривают сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Это сечение представляет собой вписанный в окружность прямоугольник, стороны которого равны высоте конуса и диаметру его основания. Центр окружности лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.

Читайте также: Давление в цилиндрах луаз

Рассмотрим пример такого осевого сечения. Здесь точка O — центр описанного около цилиндра шара, BD — диаметр шара, OD=R — радиус шара, AB=H — образующая и высота цилиндра, AD — диаметр цилиндра, FD=r — радиус цилиндра.

(как вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну дугу AD).

Треугольник AOD — равнобедренный (AO=OD=R), в нем OF=H/2 — высота, медиана и биссектриса.

Треугольник OFD — прямоугольный. По теореме Пифагора получаем соотношение, связывающее радиус шара с радиусом и высотой вписанного в шар цилиндра:

Это же соотношение можно получить из прямоугольного треугольника ABD: по теореме Пифагора

Видео:11 класс, 25 урок, Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхностьСкачать

Нахождение площади поверхности вписанного в цилиндр шара

В данной публикации мы разберем варианты того, как можно вписать шар в цилиндр, а также, как исходя из этого определить его радиус (диаметр) и посчитать площадь поверхности.

Видео:11 класс, 23 урок, Площадь сферыСкачать

Формула расчета площади шара

Для начала давайте вспомним общую формулу, по которой рассчитывается площадь поверхности шара:

S = 4 π R 2
или S = 4 π (d/2) 2 , где d = 2R.

Видео:#131. Задание 8: комбинация телСкачать

Способы вписать шар в цилиндр

Теперь давайте разберемся, каким образом можно вписать шар в цилиндр. В данном случае возможно несколько вариантов:

1. Шар касается оснований и боковой поверхности цилиндра

• радиус (диаметр) цилиндра является, в том числе, и радиусом (диаметром) шара;
• высота цилиндра – это диаметр шара.

2. Шар касается только оснований цилиндра

Радиус шара равен половине высоты цилиндра, а диаметр – полной высоте.

3. Шар касается только боковой поверхности цилиндра

Радиус (диаметр) цилиндра – это и есть радиус (диаметр) шара.

Примечание: Выяснив радиус или диаметр шара далее остается только воспользоваться формулой для расчета площади его поверхности.

Примеры задач

Задание 1
Шар вписан в цилиндр радиусом 15 см таким образом, что соприкасается и с основанием, и с боковой поверхностью последнего. Найдите площадь поверхности шара.

Решение:
Исходя из условий задачи, мы имеем дело с первым из трех описанных вариантов выше. А это значит, что радиус шара, также, равняется 15 см. Следовательно, площадь составляет:
S = 4 ⋅ 3,14 ⋅ (15 см) 2 = 2826 см 2 .

Задание 2
Площадь поверхности шара равняется 1519,76 см 2 , и он вписан в цилиндр таким образом, что касается его оснований. Найдите высоту цилиндра.

Решение:
Для начала найдем радиус шара, которые равен:

Высота цилиндра равна двум радиусам шара или его диаметру (2-ой вариант, рассмотренный в разделе выше):
h = 2R = 2 ⋅ 11 см = 22 см.