Как найти площадь сферы описанной около цилиндра

Определение 1. Цилиндром, вписанным в сферу, называют такой цилиндр, окружности оснований которого лежат на сфере (рис. 1).

Определение 2. Если цилиндр вписан в сферу, то сферу называют описанной около цилиндра.

Утверждение. Около любого цилиндра можно описать сферу, причем только одну. Центр O этой сферы является серединой отрезка O₁O₂ , где O₁ и O₂ – центры оснований цилиндра (рис. 2)

Доказательство. Обозначим буквами r и h радиус и высоту цилиндра и рассмотрим любое осевое сечение цилиндра (рис. 3).

Отрезки A₁A₂ и B₁B₂ , изображенные на рисунке 3, являются образующими цилиндра. Радиус R описанной сферы можно найти с помощью теоремы Пифагора из прямоугольного треугольника OB₁O₁ по формуле

Следствие 1. Радиус сферы, описанной около цилиндра с радиусом r и высотой h равен

Следствие 2. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него сферы можно найти по формуле

Видео:Площадь сферыСкачать

Нахождение радиуса/площади/объема описанной вокруг цилиндра сферы (шара)

В данной публикации мы рассмотрим, как найти радиус описанной вокруг прямого цилиндра сферы, а также площадь ее поверхности и объем шара, ограниченного этой сферой.

Видео:Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 78. Найдите площадь полной поверхности цилиндраСкачать

Нахождение радиуса сферы/шара

Около любого цилиндра можно описать сферу (или другими словами, вписать цилиндр в шар) – но только одну.

Центром такой сферы будет являться центр цилиндра, в нашем случае – это точка O.

Можно заметить, что радиус описанной сферы (OE), половина высоты цилиндра (OO₁) и радиус его основания (O₁E) образовывают прямоугольный треугольник OO₁E.

Воспользовавшись теоремой Пифагора мы можем найти гипотенузу этого треугольника, которая одновременно является радиусом сферы, описанной около заданного цилиндра:

Зная радиус сферы можно вычислить площадь (S) ее поверхности и объем (V) ограниченного сферой шара:

Примечание: π округленно равняется 3,14.

Читайте также: Футорка для восстановления резьбы в блоке цилиндров

Видео:Лучший способ найти площадь кругаСкачать

Площадь поверхности шара вписанного в цилиндр

Видео:Сфера и шар. Сечение сферы. Вписанная и описанная сфераСкачать

Найти площадь поверхности:

Площадь поверхности шара формула:
Sш = 4 π R 2 , где R – радиус шара, π – число пи

Площадь поверхности цилиндра формула:
Sц = 2 π R 2 + 2 π R . 2 R = 6 π R 2 , где R – радиус цилиндра, π – число пи

Видео:11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать

Сфера, вписанная в цилиндр

Определение 2. Сферой, вписанной в цилиндр, называют такую сферу, которая касается плоскостей обоих оснований цилиндра , а каждая образующая цилиндра является касательной к сфере (рис. 3).

Определение 3. Если сфера вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около сферы .

Из рисунка 3 видно, что справедливы следующие два утверждения.

Утверждение 1. Около любой сферы можно описать цилиндр.

Утверждение 2. В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота цилиндра равна диаметру его основания .

Замечание. В том случае, когда в цилиндр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы равняется радиусу основания цилиндра.

Видео:Архимед и объём шараСкачать

Площадь боковой поверхности цилиндра через радиус основания и высоту

Формула для нахождения боковой поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:

, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.

Видео:Площадь сферыСкачать

Через диаметр

Как известно, диаметр шара равен двум его радиусам: d = 2R. Следовательно, рассчитать площадь фигуры поверхности можно, используя такой вид формулы:

S = 4 π (d/2) 2

Видео:Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шараСкачать

Основные утверждения

• Поверхность шара в четыре раза больше площади его большого круга.

• Поверхность шарового сегмента равна площади круга, имеющего радиусом отрезок, проведённый от вершины сегмента к окружности, служащей ему основанием.

• Цилиндр, описанный вокруг шара, имеет объём, равный трём вторым объёма шара, и площадь поверхности, равную трём вторым площади поверхности шара.

Видео:ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2Скачать

Вместе с этой задачей также решают:

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A,B, C,B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 6, AD = 6$ и $AA_1 = 8$.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A,B,C_1,B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 3 , AD = 5$ и $AA_1 = 4$.

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1800 см 3 воды и полностью погрузили в неё деталь. При этом уровень жидкости поднялся с отметки 24 см до отметки 26 см.

Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 16. Точка E – середина ребра SB. Найдите объём пирамиды EABC.

Видео:11 класс, 23 урок, Площадь сферыСкачать

Площадь полной поверхности цилиндра через радиус основания и высоту

Формула для нахождения полной поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:

, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.

Читайте также: Из какого металла состоит блок цилиндров

Видео:ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРАСкачать

Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар

Задача. Найти отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар.

Решение. Если R – радиус шара, то объем шара вычисляется по формуле

У описанного около сферы цилиндра радиус основания равен R , а высота равна 2R . Поэтому объем цилиндра равен

Видео:Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]Скачать

Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере

Определение 1. Прямую называют касательной к сфере (прямой, касающейся сферы), если эта прямая имеет со сферой единственную общую точку. Общую точку касательной прямой и сферы называют точкой касания (рис. 1).

Прямая касается сферы тогда и только тогда, когда эта прямая проходит через точку касания и перпендикулярна радиусу сферы , проведенному в точку касания.

Множество всех прямых, касающихся сферы в некоторой точке, образуют касательную плоскость к сфере в этой точке (рис.2).

Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем только одну.

Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем плоскость перпендикулярна радиусу сферы , проведенному в эту точку.

Общую точку сферы и ее касательной плоскости называют точкой касания .

Видео:Геометрия Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной околоСкачать

Решение

Из рисунка, указанного в условии, видно, что, с одной стороны, диаметр шара является диаметром окружности основания цилиндра, а с другой стороны, является высотой цилиндра. Пусть радиус шара равен R , тогда его диаметр равен 2 R , значит, высота цилиндра H равна 2 R . Находим площадь полной поверхности цилиндра: S _{полн. пов. цил.} = 2 S _{осн. цил.} + S _{бок. пов. цил.} = 2pi R^2 + 2pi RH.

2pi R^2 + 2pi RH = 2pi R^2 + 2pi Rcdot 2R = 6pi R^2. По условию 24 = 6pi R^2. Отсюда pi R^2 = 4. Так как S _{пов. шара} = 4pi R^2, то искомая площадь равна 4cdot 4 = 16.

Видео:Геометрия Цилиндр описан около шара. Найдите объем шара, если известно, что объем цилиндра равен 60.Скачать

Примеры задач

Задание 1
Вычислите площадь поверхности шара, если его радиус составляет 7 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой (через радиус):
S = 4 ⋅ 3,14 ⋅ (7 см) 2 = 615,44 см 2 .

Задание 2
Площадь поверхности шара равна 200,96 см 2 . Найдите его диаметр.

Решение:
Выведем величину диаметра из соответствующей формулы расчета площади:

Видео:-i. Площадь сферыСкачать

Вписанный в шар цилиндр

Рассмотрим комбинацию тел: шар и вписанный в шар цилиндр.

Цилиндр вписан в шар, если окружности его оснований лежат на поверхности шара. В этом случае говорят также, что шар описан вокруг цилиндра. Центр шара лежит на середине оси цилиндра.

Читайте также: Найдите радиус основания цилиндра если его образующая равна 10

Как и при решении задач на шар, вписанный в цилиндр , чаще всего рассматривают сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Это сечение представляет собой вписанный в окружность прямоугольник, стороны которого равны высоте конуса и диаметру его основания. Центр окружности лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.

Рассмотрим пример такого осевого сечения. Здесь точка O — центр описанного около цилиндра шара, BD — диаметр шара, OD=R — радиус шара, AB=H — образующая и высота цилиндра, AD — диаметр цилиндра, FD=r — радиус цилиндра.

(как вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну дугу AD).

Треугольник AOD — равнобедренный (AO=OD=R), в нем OF=H/2 — высота, медиана и биссектриса.

Треугольник OFD — прямоугольный. По теореме Пифагора получаем соотношение, связывающее радиус шара с радиусом и высотой вписанного в шар цилиндра:

Это же соотношение можно получить из прямоугольного треугольника ABD: по теореме Пифагора

Видео:🔴Как измерить площади круга,шара и объем шара,без числа ПИ. Можно даже в уме. ЧАСТЬ 1.Скачать

Нахождение площади поверхности цилиндра: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти площадь поверхности цилиндра и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:60. Площадь поверхности цилиндраСкачать

Формула вычисления площади цилиндра

1. Боковая поверхность

Площадь (S) боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности, являющейся основанием фигуры, на его высоту.

Длина окружности, в свою очередь, рассчитывается так: C = 2 π R. Следовательно, рассчитать площадь можно следующим образом:

Примечание: в вычислениях значение числа π округляется до 3,14.

2. Основание

В качестве оснований цилиндра (равны между собой), выступает круг, площадь которого равна:

Т.к. диаметр круга равен двум его радиусам (d = 2R), выражение можно преобразовать таким образом:

3. Полная площадь

Для нахождения данной величины необходимо просуммировать площади боковой поверхности и двух равных оснований цилиндра, т.е.:

S = 2 π R h + 2 π R 2 или S = 2 π R (h + R)

Видео:11 класс. Геометрия. Сфера и шар. Объем шара и площадь поверхности. 05.05.2020.Скачать

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус равен 11 см, а высота – 8 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее данные по условиям задачи значения:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 11 см ⋅ 8 см = 552,64 см 2 .

Задание 2
Высота цилиндра равна 9 см, а его диаметр – 8 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Если диаметр цилиндра равен 8 см, значит его радиус составляет 4 см (8 см / 2). Применив соответствующую формулу для нахождения площади получаем:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 см ⋅ (9 см + 4 см) = 326,56 см 2 .

🔥 Видео

площадь сферыСкачать

11 класс, 17 урок, Площадь поверхности конусаСкачать