Как найти площадь сферы описанной около цилиндра

Определение 1. Цилиндром, вписанным в сферу, называют такой цилиндр, окружности оснований которого лежат на сфере (рис. 1).

Определение 2. Если цилиндр вписан в сферу, то сферу называют описанной около цилиндра.

Утверждение. Около любого цилиндра можно описать сферу, причем только одну. Центр O этой сферы является серединой отрезка O₁O₂ , где O₁ и O₂ – центры оснований цилиндра (рис. 2)

Доказательство. Обозначим буквами r и h радиус и высоту цилиндра и рассмотрим любое осевое сечение цилиндра (рис. 3).

Отрезки A₁A₂ и B₁B₂ , изображенные на рисунке 3, являются образующими цилиндра. Радиус R описанной сферы можно найти с помощью теоремы Пифагора из прямоугольного треугольника OB₁O₁ по формуле

Следствие 1. Радиус сферы, описанной около цилиндра с радиусом r и высотой h равен

Следствие 2. Отношение объема цилиндра к объему описанной около него сферы можно найти по формуле

Нахождение радиуса/площади/объема описанной вокруг цилиндра сферы (шара)

В данной публикации мы рассмотрим, как найти радиус описанной вокруг прямого цилиндра сферы, а также площадь ее поверхности и объем шара, ограниченного этой сферой.

Нахождение радиуса сферы/шара

Около любого цилиндра можно описать сферу (или другими словами, вписать цилиндр в шар) – но только одну.

Центром такой сферы будет являться центр цилиндра, в нашем случае – это точка O.

Можно заметить, что радиус описанной сферы (OE), половина высоты цилиндра (OO₁) и радиус его основания (O₁E) образовывают прямоугольный треугольник OO₁E.

Воспользовавшись теоремой Пифагора мы можем найти гипотенузу этого треугольника, которая одновременно является радиусом сферы, описанной около заданного цилиндра:

Зная радиус сферы можно вычислить площадь (S) ее поверхности и объем (V) ограниченного сферой шара:

Примечание: π округленно равняется 3,14.

Читайте также: Футорка для восстановления резьбы в блоке цилиндров

Площадь поверхности шара вписанного в цилиндр

Найти площадь поверхности:

Площадь поверхности шара формула:
Sш = 4 π R 2 , где R – радиус шара, π – число пи

Площадь поверхности цилиндра формула:
Sц = 2 π R 2 + 2 π R . 2 R = 6 π R 2 , где R – радиус цилиндра, π – число пи

Сфера, вписанная в цилиндр

Определение 2. Сферой, вписанной в цилиндр, называют такую сферу, которая касается плоскостей обоих оснований цилиндра , а каждая образующая цилиндра является касательной к сфере (рис. 3).

Определение 3. Если сфера вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около сферы .

Из рисунка 3 видно, что справедливы следующие два утверждения.

Утверждение 1. Около любой сферы можно описать цилиндр.

Утверждение 2. В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота цилиндра равна диаметру его основания .

Замечание. В том случае, когда в цилиндр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы равняется радиусу основания цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра через радиус основания и высоту

Формула для нахождения боковой поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:

, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.

Через диаметр

Как известно, диаметр шара равен двум его радиусам: d = 2R. Следовательно, рассчитать площадь фигуры поверхности можно, используя такой вид формулы:

S = 4 π (d/2) 2

Основные утверждения

• Поверхность шара в четыре раза больше площади его большого круга.

• Поверхность шарового сегмента равна площади круга, имеющего радиусом отрезок, проведённый от вершины сегмента к окружности, служащей ему основанием.

• Цилиндр, описанный вокруг шара, имеет объём, равный трём вторым объёма шара, и площадь поверхности, равную трём вторым площади поверхности шара.

Вместе с этой задачей также решают:

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A,B, C,B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 6, AD = 6$ и $AA_1 = 8$.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A,B,C_1,B_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 3 , AD = 5$ и $AA_1 = 4$.

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1800 см 3 воды и полностью погрузили в неё деталь. При этом уровень жидкости поднялся с отметки 24 см до отметки 26 см.

Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 16. Точка E – середина ребра SB. Найдите объём пирамиды EABC.

Площадь полной поверхности цилиндра через радиус основания и высоту

Формула для нахождения полной поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:

, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.

Читайте также: Из какого металла состоит блок цилиндров

Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар

Задача. Найти отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар.

Решение. Если R – радиус шара, то объем шара вычисляется по формуле

У описанного около сферы цилиндра радиус основания равен R , а высота равна 2R . Поэтому объем цилиндра равен

Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере

Определение 1. Прямую называют касательной к сфере (прямой, касающейся сферы), если эта прямая имеет со сферой единственную общую точку. Общую точку касательной прямой и сферы называют точкой касания (рис. 1).

Прямая касается сферы тогда и только тогда, когда эта прямая проходит через точку касания и перпендикулярна радиусу сферы , проведенному в точку касания.

Множество всех прямых, касающихся сферы в некоторой точке, образуют касательную плоскость к сфере в этой точке (рис.2).

Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем только одну.

Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем плоскость перпендикулярна радиусу сферы , проведенному в эту точку.

Общую точку сферы и ее касательной плоскости называют точкой касания .

Решение

Из рисунка, указанного в условии, видно, что, с одной стороны, диаметр шара является диаметром окружности основания цилиндра, а с другой стороны, является высотой цилиндра. Пусть радиус шара равен R , тогда его диаметр равен 2 R , значит, высота цилиндра H равна 2 R . Находим площадь полной поверхности цилиндра: S _{полн. пов. цил.} = 2 S _{осн. цил.} + S _{бок. пов. цил.} = 2pi R^2 + 2pi RH.

2pi R^2 + 2pi RH = 2pi R^2 + 2pi Rcdot 2R = 6pi R^2. По условию 24 = 6pi R^2. Отсюда pi R^2 = 4. Так как S _{пов. шара} = 4pi R^2, то искомая площадь равна 4cdot 4 = 16.

Примеры задач

Задание 1
Вычислите площадь поверхности шара, если его радиус составляет 7 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой (через радиус):
S = 4 ⋅ 3,14 ⋅ (7 см) 2 = 615,44 см 2 .

Задание 2
Площадь поверхности шара равна 200,96 см 2 . Найдите его диаметр.

Решение:
Выведем величину диаметра из соответствующей формулы расчета площади:

Вписанный в шар цилиндр

Рассмотрим комбинацию тел: шар и вписанный в шар цилиндр.

Цилиндр вписан в шар, если окружности его оснований лежат на поверхности шара. В этом случае говорят также, что шар описан вокруг цилиндра. Центр шара лежит на середине оси цилиндра.

Читайте также: Найдите радиус основания цилиндра если его образующая равна 10

Как и при решении задач на шар, вписанный в цилиндр , чаще всего рассматривают сечение комбинации тел плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Это сечение представляет собой вписанный в окружность прямоугольник, стороны которого равны высоте конуса и диаметру его основания. Центр окружности лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.

Рассмотрим пример такого осевого сечения. Здесь точка O — центр описанного около цилиндра шара, BD — диаметр шара, OD=R — радиус шара, AB=H — образующая и высота цилиндра, AD — диаметр цилиндра, FD=r — радиус цилиндра.

(как вписанный и центральный углы, опирающиеся на одну дугу AD).

Треугольник AOD — равнобедренный (AO=OD=R), в нем OF=H/2 — высота, медиана и биссектриса.

Треугольник OFD — прямоугольный. По теореме Пифагора получаем соотношение, связывающее радиус шара с радиусом и высотой вписанного в шар цилиндра:

Это же соотношение можно получить из прямоугольного треугольника ABD: по теореме Пифагора

Нахождение площади поверхности цилиндра: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти площадь поверхности цилиндра и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления площади цилиндра

1. Боковая поверхность

Площадь (S) боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности, являющейся основанием фигуры, на его высоту.

Длина окружности, в свою очередь, рассчитывается так: C = 2 π R. Следовательно, рассчитать площадь можно следующим образом:

Примечание: в вычислениях значение числа π округляется до 3,14.

2. Основание

В качестве оснований цилиндра (равны между собой), выступает круг, площадь которого равна:

Т.к. диаметр круга равен двум его радиусам (d = 2R), выражение можно преобразовать таким образом:

3. Полная площадь

Для нахождения данной величины необходимо просуммировать площади боковой поверхности и двух равных оснований цилиндра, т.е.:

S = 2 π R h + 2 π R 2 или S = 2 π R (h + R)

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус равен 11 см, а высота – 8 см.

Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее данные по условиям задачи значения:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 11 см ⋅ 8 см = 552,64 см 2 .

Задание 2
Высота цилиндра равна 9 см, а его диаметр – 8 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Если диаметр цилиндра равен 8 см, значит его радиус составляет 4 см (8 см / 2). Применив соответствующую формулу для нахождения площади получаем:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 см ⋅ (9 см + 4 см) = 326,56 см 2 .