Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Авто помощник

Определение 1. Конусом, вписанным в цилиндр, называют такой конус, у которого основание совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина совпадает с центром другого основания цилиндра (рис. 1).

Определение 2. Если конус вписан в цилиндр, то цилиндр называют описанным около конуса.

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Замечание. Высота конуса равна высоте цилиндра, описанного этого конуса.

Утверждение. Около любого конуса можно описать цилиндр.

Доказательство. Для доказательства достаточно построить цилиндр, у которого одно из оснований совпадает с основанием конуса, а плоскость другого основания проходит через вершину конуса.

Видео:11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать

11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндра

Отношение объемов конуса и описанного около него цилиндра

Утверждение. Объем конуса в 3 раза меньше объема описанного около него цилиндра.

Доказательство. Пусть радиус основания конуса равен r, а высота конуса равна h. Поскольку цилиндр описан около конуса, то радиус основания цилиндра также равен r, а высота цилиндра равна h. Тогда объем конуса равен

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Видеоурок по математике "Цилиндр"

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Как найти объем вписанного конуса? 🔍 #умскул_профильнаяматематика #умскул #никитасалливанСкачать

Как найти объем вписанного конуса? 🔍 #умскул_профильнаяматематика #умскул #никитасалливан

Цилиндр вписан в конус

Цилиндр вписан в конус, если одно основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания — на боковой поверхности конуса. Конус, соответственно, в этом случае называется описанным около цилиндра.

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Оси конуса и вписанного в него цилиндра совпадают. Верхнее основание цилиндра совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основанию.

Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Оно представляет собой равнобедренный треугольник с вписанным в него прямоугольником.

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Здесь SO=H — высота конуса, OA=OB=R — радиус конуса, OF=OM=r — радиус цилиндра, OO1=h — высота цилиндра, SA=SB=l — образующие конуса, NF=KM=h — образующие цилиндра.

Прямоугольные треугольники SOB и KMB подобны (по общему острому углу B). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Найдем отношение объемов конуса и вписанного в него цилиндра:

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

С учетом предыдущего соотношения для высот конуса и цилиндра, имеем:

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Найдем отношение боковой поверхности конуса к боковой поверхности вписанного цилиндра:

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Из прямоугольного треугольника SOB по теореме Пифагора

Видео:Конус. 11 класс.Скачать

Конус. 11 класс.

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Решение задач Цилиндр КонусСкачать

Решение задач Цилиндр Конус

Конус вписан в цилиндр

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина лежит в центре другого основания.

Читайте также: Количество вершин у цилиндра

Оси цилиндра и вписанного в него конуса совпадают. Цилиндр и вписанный конус имеют равные высоты и радиусы.

Соответственно, в этом случае цилиндр описан около конуса.

Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Оно представляет собой прямоугольник с вписанным в него равнобедренным треугольником.

Как найти площадь цилиндра в который вписан конусКак найти площадь цилиндра в который вписан конус

Здесь SO=H — высота цилиндра и вписанного конуса, OA=OB=R — радиус цилиндра и радиус конуса, SB=SA= l — образующая конуса, AD — образующая цилиндра.

Найдем отношение объема конуса к объему описанного около него цилиндра:

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Из прямоугольного треугольника SOA по теореме Пифагора

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Теперь найдем отношение площади боковой поверхности конуса к площади боковой поверхности описанного цилиндра:

Видео:Цилиндр, конус, шар, 6 классСкачать

Цилиндр, конус, шар, 6 класс

5.5.6 Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы

Видеоурок: Объем и площадь поверхности тел вращения

Лекция: Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Поверхность цилиндра

Давайте вспомним, из чего состоит цилиндр – из боковой поверхности и двух оснований. Чтобы найти площадь всей боковой поверхности, следует найти площади каждой отдельной поверхности. Это значит, что для получения площади двух оснований (окружностей), следует воспользоваться формулой:

Двойка в формуле появилось из-за того, что у цилиндра два одинаковых основания. Поэтому вместо того, чтобы складывать две площади окружности, их достаточно просто умножить на «2».

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

С основаниями определились. Боковая поверхность цилиндра в развороте – это прямоугольник.

Площадь прямоугольника находится, как произведение смежных сторон. А так как одна из сторон описывает длину окружности основания, то можно воспользоваться формулой:

А значит, общая площадь поверхности цилиндра:

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Поверхность конуса

Конус состоит из боковой поверхности, а также из основания в виде окружности. Для нахождения полной площади поверхности следует найти площадь каждой составляющей.

Площадь основания: S = πR 2

Площадь боковой поверхности: S = πRl , где l – образующая.

Следовательно, общая площадь поверхности конуса находится, как сумма площадей, описанных выше:

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Поверхность сферы

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Для нахождения площади поверхности шара необходимо воспользоваться формулой для площади круга, умножив её на «4»:

Для нахождения площади некоторого сегмента шара можно воспользоваться следующей формулой:

S = 2πRH , где Н – высота исследуемого сегмента.

Видео:Задачи на цилиндр. Вписанный конус - bezbotvyСкачать

Задачи на цилиндр. Вписанный конус - bezbotvy

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Урок №10. Комбинации тел вращения

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • комбинации конуса и цилиндра, конуса и усеченного конуса, цилиндра и усеченного конуса, нескольких сфер;
  • цилиндр, описанный около конуса, конус, описанный около цилиндра, усеченный конус, описанный около конуса и цилиндра;
  • цилиндр, вписанный в конус, конус, вписанный в цилиндр, усеченный конус, вписанный в конус и цилиндр.

Читайте также: Цилиндр ключевой 100 мм

Цилиндр вписан в конус, если одно основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания — на боковой поверхности конуса. Конус, соответственно, в этом случае называется описанным около цилиндра.

Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с основанием цилиндра, а вершина совпадает с центром другого основания цилиндра. Цилиндр, соответственно, в этом случае называется описанным около конуса.

Конус вписан в другой конус, если его вершина лежит в центре основания второго конуса, а основание лежит на боковой поверхности.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-147.

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Комбинации цилиндра и конуса

Цилиндр вписан в конус, если одно основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания — на боковой поверхности конуса. Конус, соответственно, в этом случае называется описанным около цилиндра.

В любой конус можно вписать цилиндр.

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Оси конуса и вписанного в него цилиндра совпадают. Верхнее основание цилиндра совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основанию.

Осевое сечение цилиндра, вписанного в конус — представляет собой равнобедренный треугольник с вписанным в него прямоугольником.

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

NF=KM=h (l)— образующие цилиндра.

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

∆SOB∆KMB (по общему острому углу B)

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус, то есть: Как найти площадь цилиндра в который вписан конус.

Отношение боковой поверхности конуса к боковой поверхности вписанного цилиндра (через радиусы основания и образующие)

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус, то есть Как найти площадь цилиндра в который вписан конус.

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

.

Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с основанием цилиндра, а вершина совпадает с центром другого основания цилиндра. Цилиндр, соответственно, в этом случае называется описанным около конуса.

В любой цилиндр можно вписать конус.

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

OS — ось цилиндра и ось конуса, высота цилиндра и конуса

OA — радиус конуса и радиус цилиндра

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

CA=DB=l — образующие цилиндра

∆SOA, ∆SCA, ∆SDB и ∆SOB — прямоугольные

∆SOA=∆SCA, ∆SDB = ∆SOB, поэтому 2S∆ASB=2SACDB.

Отношение боковой поверхности конуса к боковой поверхности описанного около него цилиндра (через радиус основания и высоту)

Читайте также: Минераловатный цилиндр с покрытием из алюминиевой фольги

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус, то есть Как найти площадь цилиндра в который вписан конус.

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

.

2. Комбинация двух конусов

Конус вписан в другой конус, если его вершина лежит в центре основания второго конуса, а основание лежит на боковой поверхности.

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

OS — ось конусов, высота большого конуса

OA — радиус большого конуса

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

В дне кашпо, имеющего форму конуса с площадью боковой поверхности 15π дм и радиусом основания 3 дм, сделано отверстие для того чтобы в него можно было вставить горшок для цветов, имеющий форму цилиндра. Определите радиус этого отверстия так, чтобы горшок для цветов был вписан в конус и имел форму равностороннего цилиндра.

Как найти площадь цилиндра в который вписан конусКак найти площадь цилиндра в который вписан конус

AO=R – радиус основания конуса

Рассмотрим подобные треугольники AKC и AOS.

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

В них: .

OS=4 (из прямоугольного треугольника AOS с катетом 3 и гипотенузой 5.

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

KC=2r

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. В конус, осевым сечением которого является прямоугольный треугольник, вписан равносторонний цилиндр. Найдите отношение площадей полных поверхностей конуса и цилиндра.

Сделаем чертеж осевого сечения

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Обозначим радиус цилиндра ЕО= r. Выразим через него все остальные элементы тел вращения.

Так как цилиндр равносторонний, то высота цилиндра равна h=СЕ=2r.

Так как сечение конуса ASB — прямоугольный треугольник и SO — его высота, то SO=OB. То есть высота конуса H равна радиусу R.

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Образующая конуса равна L=SA=R .

∆SHDКак найти площадь цилиндра в который вписан конус∆DKBКак найти площадь цилиндра в который вписан конус∆OSB — прямоугольные равнобедренные треугольники.

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Поэтому R=3r, образующая конуса равна SA=3r .

Выразим площади полных поверхностей конуса и цилиндра.

Sп.п.к. =πR(R+L)= π3r(3r+3rКак найти площадь цилиндра в который вписан конус)=9πr 2 (1+ Как найти площадь цилиндра в который вписан конус)

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Теперь найдем отношение: .

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Ответ: .

2. Усеченный конус вписан в цилиндр. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса, если радиус цилиндра равен 16, высота равна 6 а радиус меньшего основания усеченного конуса в два раза меньше радиуса цилиндра.

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

Сделаем чертеж осевого сечения:

Как найти площадь цилиндра в который вписан конус

O1B — радиус меньшего основания усеченного конуса.

OC- радиус большего основания усеченного конуса и радиус цилиндра.

BH — высота цилиндра и высота усеченного конуса

По условию OC=2O1B, ОС=16, BH=6.

Так как OC=2O1B и ОС=16, то O1B=8.

Рассмотрим треугольник BHC.

В нем HC=OC-OH=8, BH=6. По теореме Пифагора BC=10.

Теперь нам известен радиус меньшего основания усеченного конуса: он равен 8, радиус большего основания усеченного конуса: он равен 16, образующая усеченного конуса: она равна 10.

Найдем площадь боковой поверхности:

Площадь полной поверхности найдем, прибавив две площади оснований:

📽️ Видео

11 класс, 17 урок, Площадь поверхности конусаСкачать

11 класс, 17 урок, Площадь поверхности конуса

Миникурс по геометрии. Куб, призма, цилиндр и конусСкачать

Миникурс по геометрии. Куб, призма, цилиндр и конус

62. Площадь поверхности конусаСкачать

62. Площадь поверхности конуса

Решение задач на конусСкачать

Решение задач на конус

11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020

Цилиндр и конус имеют общие основание и высотуСкачать

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту

Цилиндр - расчёт площади, объёма.Скачать

Цилиндр - расчёт площади, объёма.

ЦИЛИНДР. КОНУС. ШАР.Скачать

ЦИЛИНДР. КОНУС. ШАР.

ЦИЛИНДР. КОНУС. ШАР. ЕГЭ. ЗАДАНИЕ 5.СТЕРЕОМЕТРИЯСкачать

ЦИЛИНДР. КОНУС. ШАР. ЕГЭ. ЗАДАНИЕ 5.СТЕРЕОМЕТРИЯ

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания... (ЕГЭ)Скачать

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания... (ЕГЭ)

Шар вписан в цилиндр 5 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Шар вписан в цилиндр 5 задание проф. ЕГЭ по математике

11 класс. Геометрия. Объем конуса. 21.04.2020Скачать

11 класс. Геометрия. Объем конуса.  21.04.2020

Цилиндр, конус и шар в задании 2 | Математика ЕГЭ 2023 | УмскулСкачать

Цилиндр, конус и шар в задании 2 | Математика ЕГЭ 2023 | Умскул
Поделиться или сохранить к себе:
Технарь знаток