Как найти погрешность плотности цилиндра (6 видео)

Содержание

п4. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРАВИЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ (ЦИЛИНДР)
Лабораторная работа 1.01. Определение плотности твердых тел
Кафедра физики
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1.01
Москва 2005 г.
ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Иногда относительная погрешность выражается в процентах:
🎥 Видео

Видео:Задание 17 ОГЭ 2020 плотностьСкачать

п4. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРАВИЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ (ЦИЛИНДР)

Прежде чем приступить к расчета, ознакомьтесь с указанной выше литературой.

Точность измерения штангенциркуля равна 0,1 мм, погрешность 0,05 мм; микрометра 0,01 мм, погрешность 0,005 мм. Следовательно, в случае измерения штангенциркулем любые расчетные значения должны округляться до сотых долей мм, для микрометра до тысячных долей.

Для определения погрешности косвенных измерений плотности тела требуется выполнить следующие действия.

Запишем формулу для определения плотности тела: r=m/V. Объем тела, имеющего форму цилиндра, равен

Измерьте высоту цилиндра Н с помощью микрометра или штангенциркуля пять раз (n = 5) в разных местах, и результаты занесите в таблицу. Найдите среднее арифметическое значение , выборочную исправленную дисперсию S_H 2 и исправленное среднеквадратичное отклонение S_H.

Вычислите погрешность прямого измерения по формуле

Где n – число измерений. t_a,n-1 — коэффициент Стьюдента для 5 измерений при доверительной вероятности a = 0,95 в случае двусторонней области равен 2,776. Запишите DH в таблицу.

Окончательный результат измерения Н следует записать в виде

Относительная погрешность, допущенная при измерении высоты цилиндра равна:

Измерьте диаметр цилиндра D c помощью штангенциркуля в различных местах пять раз. Найдите , S_D 2 , S_D, определите абсолютную и относительную погрешности ∆D и e_D так же как указано выше. Результаты занесите в таблицу.

Вычислите средний объем цилиндра ; для этого подставьте результаты полученных измерений и в формулу объема цилиндра:

Иногда, если это делать механически, получают многозначное число (большое количество цифр после запятой) и становятся в тупик — какие цифры в этом числе являются значащими? Какова точность полученного результата? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассчитать погрешности в определении объема. Они определяют верные, сомнительные и неверные цифры этого результата. Однако, до того как рассчитывать объем и погрешности, нужно воспользоваться теорией приближенных вычислений. Правило округления: в окончательном результате нужно оставлять столько значащих цифр (в нашем случае рассматриваются цифры после запятой), сколько их есть в исходном данном с наименьшим числом значащих цифр. Поэтому, округлите полученное значение согласно данному правилу.

Рассчитайте абсолютную ∆V и относительную e_v погрешности определения объема.

Мы уже знаем, что в погрешности не следует оставлять больше двух или трех значащих цифр, поэтому все числа следует округлить до значащих цифр. Результаты занесите в таблицу.

Определите массу тела, сделав пять измерений. Вычислите среднее значение, абсолютную и относительную погрешности массы.

Определите плотность вещества, из которого изготовлен цилиндр:

При определении погрешностей плотности, проще поступить следующим образом: первым шагом сначала найти относительную погрешность, вторым шагом рассчитать абсолютную.

Абсолютная погрешность в определении плотности вещества:

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Внимательно прочитайте порядок обращения с аналитическими весами (п. 2).

2. Начертите 4 таблицы по образцу (согласно количеству выданных цилиндров). Для всех, выданных вам цилиндров, проделайте следующие действия.

3. Измерьте 5 раз высоту цилиндра Н, меняя положение цилиндра. Проведите требуемые расчеты согласно п. 4. Полученные данные запишите в таблицу.

4. Измерьте 5 раз диаметр цилиндра D, перемещая штангенциркуль или микрометр вдоль цилиндра. Проведите требуемые расчеты согласно п. 4. Полученные данные запишите в таблицу.

5. Измерьте 5 раз массу цилиндра m, с соблюдением требований п.2 и п. 3. Проведите требуемые расчеты согласно п. 4. Полученные данные запишите в таблицу.

Читайте также: Регулировка клапанов двс каменс 4 цилиндра

6. Определите объем цилиндра V и плотность цилиндра r. Проведите требуемые расчеты согласно п. 4. Полученные данные запишите в таблицу.

7. По таблице плотностей твердых тел определите вещества, из которых изготовлены цилиндры.

8. Запишите ответы. Переведите единицы плотности в СИ. Сделайте вывод.

№

Н, мм

∆Н, мм

e_Н

D, мм

∆D, мм

e_D

,мм 3

∆V, мм 3

e_V

m, мг

∆m, мг

e_m

, мг/мм 3

∆r, мг /мм 3

e_r

Где — среднее значение соответствующих величин.

Дайте определения выборочной средней, выборочной исправленной дисперсии, выборочному исправленному среднеквадратичному отклонению (несмещенным оценкам).
Напишите выражение для нормального закона распределения и укажите его основные характеристики.
Напишите выражение для функции Лапласа. Для чего она применяется и каковы ее основные свойства?
Как определить доверительный интервал (абсолютную погрешность) и относительную погрешность при прямых измерениях?
Как определить доверительный интервал (абсолютную погрешность) и относительную погрешность при косвенных измерениях?
Почему для оценки разброса используются две величины: выборочная исправленная дисперсия и выборочное исправленное среднеквадратичное отклонение?
Каким образом и почему можно повысить точность измерений случайной величины?
Можно ли получить точность определения случайной величины меньше, чем инструментальная погрешность (погрешность измерительного прибора)?
Объясните, как округляют расчетные величины.
Объясните, как измерить размеры тела с помощью штангенциркуля (измерьте длину предложенного преподавателем предмета).
Как рассчитать абсолютную и относительную ошибку измерения высоты, диаметра и массы?
Как рассчитать абсолютную и относительную ошибку измерения плотности?
Расскажите устройство аналитических весов. Объясните, как проводить измерение на аналитических весах.
Как определить цену деления и чувствительность прибора? Чему равна цена деления штангенциркуля, аналитических весов?
В каких единицах измеряются абсолютная и относительная ошибки? Как перевести плотность из мг/мм 3 и г/см 3 в кг/м 3 ?

Видео:Урок 28 (осн). Вычисление массы и объема тела по плотностиСкачать

Лабораторная работа 1.01. Определение плотности твердых тел

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ»

Видео:Как измерить плотность металла (и любого твердого вещества)Скачать

Кафедра физики

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1.01

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Видео:ОГЭ. Физика. Определение плотности твердого телаСкачать

Москва 2005 г.

Теория ошибок, определение плотности твердых тел.

В лабораторном практикуме студенты при выполнении работ должны производить измерения, но при использовании даже очень точных и чувствительных приборов и наилучших условий проведения эксперимента во всяком измерении содержится ошибка (погрешность) характер и причины которой могут быть различными. Существуют методы анализа и учета влияния различных погрешностей на результаты измерений. Все погрешности (ошибки) измерений принято подразделять на систематические и случайные.

Систематические ошибки обусловлены постоянными, но односторонними внешними воздействиями. Например, измерение температуры термометром, у которого нулевая точка смешена, будет систематически неправильным, пока в результаты измерений не будет внесена соответствующая поправка.

Так как систематическая ошибка имеет одно и тоже значение, ее нельзя устранить увеличением числа повторных измерений. Но можно уменьшить систематическую ошибку, критически анализируя факторы, которые могут повлиять на результаты, проверяя используемые приборы по соответствующим эталонам, внося поправки в показания приборов, используя более точные приборы и инструменты.

Случайные ошибки при измерениях обусловлены влиянием большого числа факторов, случайным образом изменяющихся в процессе эксперимента. Например, источником случайных ошибок при взвешивании на аналитических весах может явиться неоднородность в распределении температуры в различных частях весов, влияние колебаний стола из-за проезжающего мимо здания грузовика и т. п.

При повторных измерениях случайные ошибки с одинаковой вероятностью приводят к отклонениям значений измеряемых величин от истинного значения как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, т. е. случайные ошибки имеют разные численные значения и знаки.

Полностью исключить случайные ошибки нельзя, но их можно уменьшить за счет увеличения числа измерений при одних и тех же условиях эксперимента.

Читайте также: Если закусило тормозной цилиндр

Итак, при измерениях неизбежно возникают погрешности. Теория погрешностей указывает на то, как следует вести измерения и их обработку, чтобы допущенные ошибки были минимальными. Кроме того, устанавливаются пределы, внутри которых заключается точное значение определяемой величины.

ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

I. ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Прямыми измерениями называются такие, при которых измерение величины производится непосредственно по шкале прибора. Например,

измерение длины штангенциркулем, измерение веса тела на весах, определение промежутков времени с помощью секундомера. Если отклонение результатов измерений от истинного значения измеряемой величины происходит как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения результатов измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет среднее арифметическое всех сделанных измерений:

где — результаты отдельных измерений, n — число измерений.

Для характеристики степени приближения к истинному значению измеряемой величины вводится понятие абсолютной погрешности — величины, показывающей насколько найденное (среднее арифметическое) значение может отличаться от истинного значения измеряемой величины.

Для определения абсолютной погрешности сначала нужно найти отклонения каждого отдельного измерения от среднего арифметического: , где — отклонение данного измерения, равное разности между средним значением измеряемой величины и результатом этого измерения .

Случайная погрешность вычисляется по формуле:

где — модули отклонений каждого отдельного измерения от среднего арифметического значения.

Из формулы (2) и теории вероятностей следует, что с увеличением числа измерений n случайная погрешность будет уменьшаться.

В качестве систематической погрешности берется приборная погрешность, равная половине цены деления шкалы прибора. Ценой деления прибора называется минимальная величина, измеряемая прибором.

В общем случае необходимо принимать во внимание как случайные, так и систематические погрешности прямых измерений. Поэтому абсолютная погрешность при прямых измерениях рассчитывается по формуле:

где — случайная погрешностей, определяемых по формуле (2),

— систематическая погрешность прибора, инструмента.

Примечание: Если случайная погрешность много меньше систематической, то для повышения точности результата измерений нет смысла увеличивать число измерений, а нужно принять меры к уменьшению систематической погрешности (например, использовать более точные приборы).

Пример. Пусть измеряется диаметр цилиндрического стержня с помощью штангенциркуля и делается 5 измерений: 34.50 мм, 34.65 мм, 34.30 мм,

Среднее арифметическое всех сделанных измерений:

Полученное значение даёт наиболее вероятное значение измеряемой величины D.

Для нахождения случайной погрешности нужно найти абсолютное значение отклонения каждого из 5-ти измерений от среднего арифметического и затем определить среднее значение этих отклонений:

Цена деления штангенциркуля равна 0.05 мм, следовательно, систематическая погрешность равна .

Абсолютная погрешность при измерении диаметра стержня:

Результат измерений принято записывать следующим образом:

(Результат измерений 34,54 мм и абсолютная погрешность 0,12 мм должны заканчиваться в одинаковом разряде)

Для характеристики точности измерения вводится понятие относительной погрешности:

Относительная погрешность ε представляет собой отношение абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины. В нашем примере относительная погрешность при измерении диаметра:

Относительная погрешность является безразмерной величиной. Она показывает, какую часть измеряемой величины составляет абсолютная погрешность.

Видео:Погрешности измеренияСкачать

Иногда относительная погрешность выражается в процентах:

I I. ПОГРЕШНОСТЬ ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ.

В большинстве случаев в лабораторном практикуме нельзя определить искомую физическую величину непосредственно по приборам. В этом случае прибегают к косвенным измерениям. Косвенными измерениями являются измерения, полученные на основе прямых измерений и подсчитанные по математическим формулам.

Например, объем цилиндра определяется по формуле , где с помощью прямых измерений определяется диаметр цилиндра D и его высота h, объем же получается в результате косвенных измерений.

В таких случаях погрешность косвенного измерения зависит не только от погрешностей прямых измерений, но и от вида той математической формулы, по которой находится физическая величина.

Читайте также: Рабочий тормозной цилиндр газель некст задний

Для нахождения погрешностей косвенных измерений удобно воспользоваться правилами дифференциального исчисления, считая искомую величину функцией, а величины, непосредственно измеряемые приборами, ее аргументами. Пусть вид функциональной зависимости определяется формулой , где А — результат косвенного измерения, — результаты прямых измерений. По определению относительная погрешность равна

С другой стороны . Так как погрешность всегда много меньше измеряемой величины А, ошибки можно считать малыми величинами. Это дает возможность замены знака дифференциала d на знак абсолютной ошибки . То есть, можно записать: .

Из сопоставления приведенных формул следует, что относительную погрешность косвенного измерения можно найти путем:

1) логарифмирования исходного выражения ;

2) последующего дифференцирования ;

3) заменой знака дифференциала d на знак абсолютной погрешности ;

4) заменой всех знаков минус на знаки плюс перед знаками абсолютных погрешностей .

Для определения плотности цилиндрического тела применяется формула:

где m — масса тела, D — диаметр, h — высота. Величины m, D, h определяются в результате прямых измерений. Плотность определяется из косвенных измерений. Для нахождения относительной погрешности, выполняем следующие действия:

1) находим натуральный логарифм исходного выражения

2) выполняем дифференцирование : ,

3) заменяем знак d на знак : ,

4) перед всеми знаками ставим знаки плюс .

Далее можно найти абсолютную погрешность: ,

где — абсолютная погрешность косвенного измерения, — среднее значение искомой величины, ε – относительная погрешность.

Иногда в зависимости от расчетной формулы удобнее вначале найти абсолютную погрешность непосредственно, не связывая ее с относительной погрешностью. Для этого используют следующее правило для нахождения абсолютной ошибки при косвенном измерении:

1) дифференцируют исходное выражение;

2) заменяют знак дифференциала d на знак погрешности ;

3) перед всеми знаками ставят знаки плюс.

III. ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТА КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ.

При записи результата косвенного измерения необходимо соблюдать следующие правила:

1. Величину абсолютной погрешности необходимо округлить до двух значащих цифр, если первая из них единица, и до одной во всех остальных случаях (значащими цифрами называются все цифры, кроме нулей, стоящие впереди числа слева). Нули в середине числа и в конце являются значащими. Например, в числе 0.0305 три значащие цифры, в числе 5100 — четыре значащие цифры.

Пример. Если при определении объема цилиндра V абсолютная ошибка оказалась равной , ее следует округлить до двух значащих цифр: . Если , ее следует округлить до одной значащей цифры .

2. Среднее значение измеряемой величины следует записать таким образом, чтобы результат заканчивался в том же разряде, что и абсолютная погрешность.

Пример. Если объем цилиндра при расчете по формуле получается равным , а абсолютная ошибка после округления равна , то объем следует записать также только до десятых

Окончательный результат записывается в виде: .

Такая запись показывает, в каких пределах содержится истинное значение измеряемой величины.

В случае нашего примера для объема цилиндра окончательный результат записывается следующим образом: .

Такая запись указывает, что истинный результат лежит в пределах:

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

При определении ускорения свободного падения g с помощью математического маятника используется расчетная формула:

где l — длина математического маятника, измеряемая миллиметровой линейкой, n — число колебаний маятника, t — время десяти колебаний маятника, определяемое секундомером. После прямых измерений времени и длины получаем следующие данные:

t = 14.72с, 14.74с, 14.75с, 14.73с, 14.76; n = 10;

1) Результаты измерений заносим в таблицу

Результаты измерений и расчетов. Таблица.