Рассмотрим несколько примеров вычисления разности потенциалов между точками поля, созданного некоторыми заряженными телами.
Разность потенциалов между точками поля, образованного двумя бесконечными заряженными плоскостями
Мы показали, что напряженность связана с потенциалом
где – напряженность электростатического поля между заряженными плоскостями, найденная в п. 2.5.2 с помощью теоремы Остроградского–Гаусса; σ = q/S– поверхностная плотность заряда.
Теперь, чтобы получить выражение для потенциала между плоскостями, проинтегрируем выражение (3.7.1):
На рисунке 3.5 изображена графическая зависимость напряженности E и потенциала φ от расстояния между плоскостями.
Разность потенциалов между точками поля,образованного бесконечно длинной цилиндрической поверхностью
В п. 2.5 с помощью теоремы Остроградского-Гаусса мы показали, что, т.к. , то (см. рис. 3.6)
Т.к. то , отсюда найдем разность потенциалов в произвольных точках 1 и 2:
На рисунке 3.6 изображена зависимость напряженности E и потенциала от r. (Здесь и далее E – изображена сплошной линией, а – пунктирной).
Видео:Электростатика | электрическое поле бесконечной нити (тонкого цилиндра)Скачать
Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора
В п. 2.5. мы нашли, что (рис. 3.7)
Отсюда так же, как и в предыдущем случае, разность потенциалов будет равна:
Таким образом, внутри меньшего цилиндра имеем , Е = 0, между обкладками потенциал уменьшается по логарифмическому закону, а вторая обкладка (вне цилиндров) экранирует электрическое поле и φ и Е равны нулю.
На рисунке 3.7 изображена зависимость напряженности E и потенциала от r.
Разность потенциалов между точками поля, образованного заряженной сферой (пустотелой)
Напряженность поля сферы (рис. 3.8) определяется формулой: .
Разность потенциалов внутри диэлектрического заряженного шара
Имеем диэлектрический шар (рис. 3.9), заряженный с объемной плотностью
В п. 2.5 с помощью теоремы Остроградского–Гаусса мы нашли, что внутри шара .
Теперь найдем разность потенциалов внутри шара:
Видео:Как найти напряженность электрического поля и потенциалСкачать
Отсюда находим потенциал шара:
Читайте также: Вертикальный цилиндр с тяжелым поршнем наполнен кислородом массой 100 г
Из полученных соотношений можно сделать следующие выводы.
С помощью теоремы Гаусса сравнительно просто можно рассчитать Е и φ от различных заряженных поверхностей.
Напряженность поля в вакууме изменяется скачком при переходе через заряженную поверхность.
Потенциал поля – всегда непрерывная функция координат.
Как найти потенциал цилиндра
Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах.
Поле бесконечной однородно заряженной плоскости
Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:
где d q – заряд, сосредоточенный на площади d S; d S – физически бесконечно малый участок поверхности.
Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).
Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность будетодинакова по величине и противоположна по направлению.
Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).
 | |
| Рис. 2.11 | Рис. 2.12 |
Применим теорему Остроградского-Гаусса. Поток ФЕ через боковую часть поверхности цилиндра равен нулю, т.к . Дляоснования цилиндра
Видео:Лекция 2-2 Потенциал - примерыСкачать
Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:
Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:
откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:
Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости
Поле двух равномерно заряженных плоскостей
Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (рис. 2.13).
Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей .
Вне плоскостей напряженность поля
Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).
Читайте также: Сечение цилиндра плоскостями перечислить сделать чертеж
Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):
Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными.
Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора:
Видео:60. Площадь поверхности цилиндраСкачать
где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. , то
Это формула для расчета пондермоторной силы.
Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)
Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью , где d q – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).
Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.
Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r.
Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен
При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса , отсюда
Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).
Если уменьшать радиус цилиндра R (при ), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при , получить нить.
Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком
Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле будет отсутствовать (рис. 2.16) .
Видео:Потенциал сферы и проводящего шараСкачать
В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае:
Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).
Поле заряженного пустотелого шара
Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным, – в любой точке проходит через центр шара. ,и силовые линии перпендикулярны поверхности в любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.17).
Читайте также: Рабочий цилиндр сцепления ваз 2121 схема
Если то внутрь воображаемой сферы попадет весь заряд q, распределенный по сфере, тогда
Внутри сферы, при поле будет равно нулю, т.к. там нет зарядов:
Как видно из (2.5.7) вне сферы поле тождественно полю точечного заряда той же величины, помещенному в центр сферы.
Поле объемного заряженного шара
Для поля вне шара радиусом R (рис. 2.18) получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула:
Но внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный
где ρ – объемная плотность заряда, равная: ; – объем шара. Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем:
Таким образом, внутри шара
🔍 Видео
11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать
Электромагнетизм Пр3.4. Теорема Гаусса. Поле бесконечного цилиндра.Скачать
Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.Скачать
Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Силовые линии электрического поля. 10 класс.Скачать
Потенциал электрического поля. 10 класс.Скачать
Применение теоремы Гаусса-Остроградского. Напряжённость поля пластины, сферы и шара.Скачать
Электрическое поле/Напряженность и потенциал поля/Разность потенциалов/Работа поляСкачать
Урок 224. Напряженность поля неточечных зарядовСкачать
НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ суперпозиция полейСкачать
ЛАЙФХАК: Простой астигматизм (Оптический центр, диаметр)Скачать
Задача №2. Потенциал проводящей сферы.Скачать
Цилиндр ФарадеяСкачать
Урок 218. Напряженность электрического поляСкачать
Теорема Гаусса для расчета полей цилиндра (нити) и плоскостиСкачать
ЧК_МИФ_ФМЛ_30 _ 3_1_4_7 (L2) ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОГО ЦИЛИНДРАСкачать
