Через радиус цилиндра можно найти его диаметр и периметр окружности, которая находится в основании цилиндра, не прибегая к дополнительным вычислениям. Чтобы найти диаметр цилиндра, нужно умножить его радиус на два, а чтобы найти периметр окружности, нужно его умножить на два числа π. D=2r P=2πr
Чтобы узнать все остальные параметры цилиндра, необходимо сначала найти высоту. Через диагональ цилиндра это можно сделать, построив с высотой прямоугольный треугольник, и составив в нем теорему Пифагора. (рис.25.1) h=√(d^2-D^2 )
Площадь боковой и полной поверхности зависит от высоты и радиуса цилиндра, но можно также найти площадь цилиндра через радиус и диагональ. Для этого вместо высоты впишем в формулу квадратный корень из разности квадрата диагонали и четырех квадратов радиуса. S_(б.п.)=hP=2πrh=2πr√(d^2-〖4r〗^2 ) S_(п.п.)=S_(б.п.)+2S_(осн.)=πr(2√(d^2-〖4r〗^2 )+r)
Объем цилиндра представлен обычно произведением площади его основания на высоту, но для того чтобы вычислить объем цилиндра через радиус и диагональ необходимо умножить число π на квадрат радиуса и квадратный корень, соответствующий высоте. V=πr^2 h=πr^2 √(d^2-〖4r〗^2 )
Радиус сферы, которую можно вписать в цилиндр, должен быть равен радиусу самого цилиндра – это непременное условие для возможности совмещения этих двух тел. Более того, в таком случае радиус цилиндра должен быть ровно в два раза меньше его высоты, чтобы вписанная сфера соприкасалась не только с боковой поверхностью цилиндра, но и основаниями. (рис. 25.2) r_1=r
Условия для сферы, описанной около цилиндра, совпадают с условиями для вписанной сферы. При их соблюдении радиус сферы становится равным половине диагонали цилиндра. (рис.25.3) R=d/2
Видео:№523. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высотуСкачать
Высота и диагональ цилиндра
Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать
Свойства
Зная высоту и диагональ цилиндра, найти диаметр окружности в его основании не составляет труда. Для этого необходимо провести диагональ таким образом, чтобы получить с вышеуказанными параметрами прямоугольный треугольник, и далее вычислить неизвестное звено по теореме Пифагора. (рис.25.1) D=√(d^2-h^2 )
Зная диаметр, можно подставив полученное выражение вместо него в следующие формулы, найти радиус и периметр окружности в основании через диагональ и высоту цилиндра. r=D/2=√(d^2-h^2 )/2 P=πD=π√(d^2-h^2 )
Площадь боковой и полной поверхности вычисляются с непосредственным участием радиуса цилиндра или соответствующего ему выражения. Поэтому чтобы найти площади цилиндра через высоту и диагональ, нужно совершить следующие преобразования. S_(б.п.)=hP=2πrh=2π √(d^2-h^2 )/2 h=πh√(d^2-h^2 ) S_(п.п.)=S_(б.п.)+2S_(осн.)=πh√(d^2-h^2 )+π(d^2-h^2 )
Объем цилиндра вычисляется как произведение площади его основания на высоту. Чтобы найти объем цилиндра через высоту и диагональ цилиндра, нужно вместо площади основания подставить произведение числа π на разность квадратов диагонали и высоты. V=πh(d^2-h^2 )
Преследуя цель вычислить радиус вписанной или описанной окружности цилиндра через диагональ и высоту, необходимо помнить о том, что в цилиндр можно вписать окружность, только если радиус цилиндра равен его высоте. Поэтому радиус вписанной окружности будет равен половине высоты, а радиус описанной окружности – половине диагонали. (рис. 25.2,25.3) r_1=h/2 R=d/2
Видео:№522. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующейСкачать
Нахождение радиуса цилиндра: формула и примеры
В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить радиус цилиндра и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Видео:Задание №521 — ГДЗ по геометрии 11 класс (Атанасян Л.С.)Скачать
Формулы вычисления радиуса цилиндра
1. Через объем и высоту
Радиус цилиндра рассчитывается по формуле:
V – объем цилиндра; считается как произведение числа π на высоту фигуры на квадрат радиуса круга, являющего ее основанием.
- R – радиус основания цилиндра, т.е. окружности;
- π – число, округленное значение которого равняется 3,14.
Читайте также: Истинная величина сечения цилиндра
2. Через площадь боковой поверхности
Радиус цилиндра считается таким образом:
Sбок. – площадь боковой поверхности цилиндра; равна произведению длины окружности (2 π R), являющейся основанием фигуры, на его высоту:
3. Через полную площадь поверхности
Данная формула получена следующим образом:
S – полная площадь поверхности фигуры, равная:
S = 2 π Rh + 2 π R 2 или S = 2 π R(h + R)
Возьмем первое выражение. Если перенести S в правую часть, получим:
2 π R 2 + 2 π Rh – S = 0
Можно заметить, что это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где:
R является корнем данного уравнения (x). Подставив в стандартную формулу для расчета корней наши значения a, b и с получаем*:
* в нашем случае – только один положительный корень, т.к. радиус не может быть отрицательным.
Видео:№530. Высота цилиндра равна 12 см, а радиус основания равен 10 см. Цилиндр пересеченСкачать
Примеры задач
Задание 1
Высота цилиндра равняется 5 см, а объем – 141,3 см 3 . Вычислите его радиус.
Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные по условиям задачи значения:
Задание 2
Найдите радиус цилиндра, если площадь его боковой поверхности равна 175,84 см 2 , а высота составляет 7 см.
Решение:
Применим формулу, в которой задействованы заданные величины:
Задание 3
Рассчитайте радиус цилиндра, если полная площадь его поверхности – 602,88 см 2 , а высота – 10 см.
Решение:
Используем третью формулу для нахождения неизвестной величины:
Видео:№ 1 - Геометрия 10-11 класс ПогореловСкачать
Диаметр и диагональ цилиндра
Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать
Свойства
Зная диаметр цилиндра, можно вычислить радиус цилиндра и периметр окружности цилиндра, которая представляет собой его основание. Радиус будет равен одной второй диаметра, а периметр окружности – произведению диаметра на число π. r=D/2 P=πD
Первое, что можно вычислить через диаметр и диагональ цилиндра – это его высота. Так как высота непосредственно связана со всеми остальными параметрами цилиндра, такими как площадь, объем и прочие, то она является необходимым звеном для геометрического калькулятора цилиндра. (рис.25.1) h=√(d^2-D^2 )
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению высоты на длину окружности в основании цилиндра, таким образом, раскрывая эту формулу, получаем, что площадь боковой поверхности равна произведению числа π и диаметра на квадратный корень из разности квадратов диагонали и диаметра. S_(б.п.)=hP=πD√(d^2-D^2 )
Площадь полной поверхности цилиндра представлена площадью боковой поверхности в сумме с площадью двух оснований в виде окружностей. S_(п.п.)=S_(б.п.)+2S_(осн.)=πD(√(d^2-D^2 )+D)
Чтобы найти объем цилиндра через диаметр и диагональ нужно представить высоту цилиндра в виде квадратного корня разности из квадратов диагонали и диаметра, а затем умножить это на площадь основания, состоящую из числа π и четверти квадрата диаметра. V=(πD^2 h)/4=(πD^2 √(d^2-D^2 ))/4
Чтобы в цилиндр можно было вписать сферу, нужно чтобы диаметр цилиндра был равен его высоте, тогда сфера будет соприкасаться со всеми гранями цилиндра и ее радиус будет равен радиусу цилиндра, то есть половине его диаметра. (рис. 25.2) r_1=r=D/2
Чтобы вокруг цилиндра можно было описать сферу, нужно точно так же чтобы диаметр цилиндра совпадал с высотой, и радиус описанной сферы будет равен половине диагонали цилиндра. R=d/2
Видео:Цилиндр - расчёт площади, объёма.Скачать
Как вычислить высоту цилиндра
Для любых фигур существует такой термин, как высота. Высотой обычно называется измеряемая величина какой -либо фигуры в вертикальном положении. У цилиндра высота -это линия, перпендикулярная двум его параллельным основаниям. Также у него есть образующая. Образующая цилиндра -это линия, вращением которой получается цилиндр. Она, в отличие от образующей других фигур, например конуса, совпадает с высотой.
Рассмотрим формулу, с помощью которой можно найти высоту:
V=πR^2*H, где R — радиус основания цилиндра, H — искомая высота.
Если вместо радиуса дан диаметр, данная формула видоизменяется следующим образом:
Соответственно, высота цилиндра равна:
Также высоту можно определить, исходя из диаметра и площади цилиндра. Существует площадь боковой и площадь полной поверхности цилиндра. Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью, называют боковой поверхностью цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра включает в себя и площадь его оснований.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по следующей формуле:
Преобразовав данное выражение, найдите высоту:
Если дана площадь полной поверхности цилиндра, вычисляйте высоту несколько иным способом. Площадь полной поверхности цилиндра равна:
Вначале преобразуйте данную формулу как показано ниже:
Через цилиндр можно провести прямоугольное сечение. Ширина этого сечения будет совпадать с диаметрами оснований, а длина — с образующими фигуры, которые равны высоте. Если провести через это сечение диагональ, то можно легко заметить, что образуется прямоугольный треугольник. В данном случае диагональ является гипотенузой треугольника, катет -диаметром, а второй катет- высотой и образующей цилиндра. Тогда высоту можно найти по теореме Пифагора:
📸 Видео
№542. Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения равен φ, площадь основанияСкачать
11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать
🔴 Радиус основания цилиндра равен 15, а его ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
№531. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельнойСкачать
№525. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2, а площадь основания — 5 м2.Скачать
№521. Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположныеСкачать
№537. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна длинеСкачать
№529. Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндраСкачать
Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать
Объем цилиндра. Практическая часть. 11 класс.Скачать
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ЦИЛИНДРСкачать
