Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре

Авто помощник

Видео:Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение и примеры нахождения.

В этой статье внимание нацелено на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Сначала дано определение расстояния между скрещивающимися прямыми. Далее получен алгоритм, позволяющий найти расстояние между скрещивающимися прямыми. В заключении детально разобрано решение примера.

Видео:#31. Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?Скачать

#31. Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?

Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение.

Прежде чем дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми, напомним определение скрещивающихся прямых и докажем теорему, связанную со скрещивающимися прямыми.

В разделе взаимное расположение прямых в пространстве мы упоминали, что две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Через каждую из скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, которой параллельна другая прямая.

Пусть даны скрещивающиеся прямые a и b . Докажем, что через прямую b проходит единственная плоскость, параллельная прямой a (абсолютно аналогично можно будет доказать, что через прямую a проходит плоскость, параллельная прямой b , притом только одна). Это будет служить доказательством теоремы.

Отметим на прямой b некоторую точку Q . В статье параллельные прямые, параллельность прямых была доказана теорема, гласящая, что через произвольную точку пространстве проходит единственная прямая, параллельная заданной прямой. Следовательно, через точку Q можно провести единственную прямую, параллельную прямой a . Обозначим ее a1 .

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре

В разделе способы задания плоскости мы упоминали, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (что следует из аксиомы о плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой). Следовательно, через пересекающиеся прямые b и a1 проходит единственная плоскость. Обозначим ее .

Признак параллельности прямой и плоскости позволяет утверждать, что прямая a параллельна плоскости (так как прямая a параллельна прямой a1 , лежащей в плоскости ).

Читайте также: Рабочий цилиндр сцепления для чего акцент

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре

Единственность плоскости следует из единственности прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой.

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре

Теперь можно переходить непосредственно к определению расстояния между скрещивающимися прямыми. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми дается через расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

В свою очередь расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью есть расстояние от некоторой точки прямой до плоскости. Тогда справедлива следующая формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

Рассмотрим скрещивающиеся прямые a и b . Отметим на прямой a некоторую точку М1 , через прямую b проведем плоскость , параллельную прямой a , и из точки М1 опустим перпендикуляр М1H1 на плоскость . Длина перпендикуляра M1H1 есть расстояние между скрещивающимися прямыми a и b .

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре

Видео:✓ Расстояние между скрещивающимися прямыми | ЕГЭ-2018. Задание 14. Математика | Борис ТрушинСкачать

✓ Расстояние между скрещивающимися прямыми | ЕГЭ-2018. Задание 14. Математика | Борис Трушин

Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми – теория, примеры, решения.

При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми основная сложность часто заключается в том, чтобы увидеть или построить отрезок, длина которого равна искомому расстоянию. Если такой отрезок построен, то в зависимости от условий задачи его длина может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, признаков равенства или подобия треугольников и т.п. Так мы и поступаем при нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми на уроках геометрии в 10-11 классах.

Если же в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz и в ней заданы скрещивающиеся прямые a и b , то справиться с задачей вычисления расстояния между заданными скрещивающимися прямыми позволяет метод координат. Давайте его подробно разберем.

Пусть Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре— плоскость, проходящая через прямую b , параллельно прямой a . Тогда искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по определению равно расстоянию от некоторой точки М1 , лежащей на прямой a , до плоскости Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре. Таким образом, если мы определим координаты Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндренекоторой точки М1 , лежащей на прямой a , и получим нормальное уравнение плоскости Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндрев виде Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре, то мы сможем вычислить расстояние Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреот точки Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндредо плоскости Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндрепо формуле Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре(эта формула была получена в статье нахождение расстояния от точки до плоскости). А это расстояние равно искомому расстоянию между скрещивающимися прямыми.

Читайте также: Пропуск зажигания во 2 цилиндре шевроле круз

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре

Задача сводится к получению координат точки М1 , лежащей на прямой a , и к нахождению нормального уравнения плоскости .

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре

С определением координат точки М1 сложностей не возникает, если хорошо знать основные виды уравнений прямой в пространстве. А вот на получении уравнения плоскости стоит остановиться подробнее.

Если мы определим координаты Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндренекоторой точки М2 , через которую проходит плоскость Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре, а также получим нормальный вектор плоскости Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндрев виде Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре, то мы сможем написать общее уравнение плоскости Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндрекак Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре.

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре

В качестве точки М2 можно взять любую точку, лежащую на прямой b , так как плоскость проходит через прямую b . Таким образом, координаты точки М2 можно считать найденными.

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре

Осталось получить координаты нормального вектора плоскости . Сделаем это.

Плоскость Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндрепроходит через прямую b и параллельна прямой a . Следовательно, нормальный вектор плоскости Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреперпендикулярен и направляющему вектору прямой a (обозначим его Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре), и направляющему вектору прямой b (обозначим его Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре). Тогда в качестве вектора Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреможно взять векторное произведение векторов Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреи Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре, то есть, Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре. Определив координаты Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреи Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндренаправляющих векторов прямых a и b и вычислив Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре, мы найдем координаты Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндренормального вектора Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреплоскости Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре.

Итак, мы имеем общее уравнение плоскости Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре: Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре.

Остается только привести общее уравнение плоскости к нормальному виду Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреи вычислить искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b по формуле Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре.

Таким образом, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b нужно:

  • определить координаты Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреи Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреточек М1 и М2 соответственно, лежащих на прямых a и b соответственно;
  • получить координаты Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреи Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндренаправляющих векторов прямых a и b соответственно;
  • найти координаты Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндренормального вектора Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреплоскости Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре, проходящей через прямую b параллельно прямой a , из равенства Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре;
  • записать общее уравнение плоскости Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндрекак Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре;
  • привести полученное уравнение плоскости Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндрек нормальному виду Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре;
  • вычислить расстояние Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреот точки Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндредо плоскости Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндрепо формуле Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре— это и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми a и b .

Читайте также: Датчик тормозного цилиндра ssangyong

В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b . Прямую a определяют параметрические уравнения прямой в пространстве вида Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре, а прямую b – канонические уравнения прямой в пространстве Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре. Найдите расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.

Очевидно, прямая a проходит через точку Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреи имеет направляющий вектор Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре. Прямая b проходит через точку Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре, а ее направляющим вектором является вектор Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре.

Вычислим векторное произведение векторов Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреи Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре:
Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре

Таким образом, нормальный вектор Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреплоскости Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре, проходящей через прямую b параллельно прямой a , имеет координаты Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре.

Тогда уравнение плоскости Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреесть уравнение плоскости, проходящей через точку Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреи имеющей нормальный вектор Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре:
Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре

Нормирующий множитель для общего уравнения плоскости Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндреравен Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре. Следовательно, нормальное уравнение этой плоскости имеет вид Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре.

Осталось воспользоваться формулой для вычисления расстояния от точки Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндредо плоскости Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре:
Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми в цилиндре

Это и есть искомое расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.

🔥 Видео

✓ Расстояние между скрещивающимися прямыми | ЕГЭ-2019. Задание 14. Математика | Борис ТрушинСкачать

✓ Расстояние между скрещивающимися прямыми | ЕГЭ-2019. Задание 14. Математика | Борис Трушин

Расстояние между скрещивающимися прямыми #2Скачать

Расстояние между скрещивающимися прямыми #2

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекции

Урок 02. Расстояние между скрещивающимися прямыми (базовые задачи - куб)Скачать

Урок 02. Расстояние между скрещивающимися прямыми (базовые задачи - куб)

Урок 15. Все способы расстояние между скрещивающимися прямыми. Стереометрия с нуля.Скачать

Урок 15. Все способы расстояние между скрещивающимися прямыми. Стереометрия с нуля.

Стереометрия 26 | mathus.ru | расстояние между скрещивающимися прямыми в правильном тетраэдреСкачать

Стереометрия 26 | mathus.ru | расстояние между скрещивающимися прямыми в правильном тетраэдре

Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"Скачать

Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"

Стереометрия ЕГЭ. Метод координат. Часть 5 из 5. Расстояние между прямымиСкачать

Стереометрия ЕГЭ. Метод координат. Часть 5 из 5. Расстояние между прямыми

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми

ЕГЭ по математике - Угол между скрещивающимися прямымиСкачать

ЕГЭ по математике - Угол между скрещивающимися прямыми

Урок 04. Расстояние между скрещивающимися прямыми (куб)Скачать

Урок 04. Расстояние между скрещивающимися прямыми (куб)

№194. Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащимиСкачать

№194. Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими

ЕГЭ задание 13 Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

ЕГЭ задание 13 Расстояние между скрещивающимися прямыми

✓ Как решать стереометрию | ЕГЭ-2024. Математика. Профильный уровень. Задание 14 | Борис ТрушинСкачать

✓ Как решать стереометрию | ЕГЭ-2024. Математика. Профильный уровень. Задание 14 | Борис Трушин

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Расстояние между скрещивающимися прямыми. Способ перемены плоскостей проекцийСкачать

Расстояние между скрещивающимися прямыми. Способ перемены плоскостей проекций
Поделиться или сохранить к себе:
Технарь знаток