- Задание 14. Математика ЕГЭ. Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13. Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.
- Как найти расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра
- Как найти расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра
- Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13
- Как найти расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра
- Как найти расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра
- Как найти расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра
- Как найти расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра
- 💡 Видео
Видео:Ященко. ЕГЭ. Профильная математика. 30 вариант. 2021. 14 задание. GeoGebra.Скачать
Задание 14. Математика ЕГЭ. Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13. Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.
Задание. Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13.
а) Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.
а) Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра. Так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72.
Построим плоскость, проходящую параллельно оси цилиндра. Для этого из точек ВА и СD проведем прямые параллельные оси цилиндра ОО1, проведем хорды BC и AD. Прямоугольник ABCD – искомое сечение.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.
Найдем расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра такое, чтобы площадь сечения была равна 72.
Рассмотрим треугольник ∆ВОС – равнобедренный, так как ОВ = ОС = Rосн.
Проведем медиану ОК, в равнобедренном треугольнике медиана является высотой, следовательно, ОК перпендикулярна ВС. Значит, ОК – расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.
Из прямоугольного треугольника ∆ОВК по теореме Пифагора найдем ОК:
Видео:✓ Как решать стереометрию | ЕГЭ-2024. Математика. Профильный уровень. Задание 14 | Борис ТрушинСкачать
Как найти расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра
Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13.
а) Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.
а) Пусть OO1 — ось цилиндра. Проведем AB и CD параллельно оси цилиндра. Проведем BD и AC. Так как через две параллельные прямые проходит единственная плоскость, то прямоугольник BDCA — искомое сечение (см. рис.).
б) В этом прямоугольнике одна сторона будет равняться высоте цилиндра, а вторая — хорде окружности, лежащей в основании. Так как то где x — хорда AC. Проведем OH перпендикулярно AC. В силу того, что треугольник ACO равнобедренный, точка H также будет являться серединой AC. Тогда из прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза — радиус OC, а один катет — половина этой хорды, находим второй катет OH по теореме Пифагора.
Таким образом, расстояние от центра окружности до сечения равно 5.
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Видео:10 класс, 19 урок, Расстояние от точки до плоскостиСкачать
Как найти расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра
Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13.
а) Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.
а) Пусть OO1 — ось цилиндра. Проведем AB и CD параллельно оси цилиндра. Проведем BD и AC. Так как через две параллельные прямые проходит единственная плоскость, то прямоугольник BDCA — искомое сечение (см. рис.).
б) В этом прямоугольнике одна сторона будет равняться высоте цилиндра, а вторая — хорде окружности, лежащей в основании. Так как то где x — хорда AC. Проведем OH перпендикулярно AC. В силу того, что треугольник ACO равнобедренный, точка H также будет являться серединой AC. Тогда из прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза — радиус OC, а один катет — половина этой хорды, находим второй катет OH по теореме Пифагора.
Таким образом, расстояние от центра окружности до сечения равно 5.
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Видео:Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндраСкачать
Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13
Задача. Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13.
а) Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.
Плоскость сечения, параллельная основанию цилиндра представляет собой прямоугольник AA1C1C, площадь которого S = AC ∙ AA1.
Так как по условию Sсеч. = 72
и АА1 = 3, то АС = 72 : 3 = 24.
Заметим, что хорда AC немногим меньше диаметра основания цилиндра (АВ = 2R = 2 ∙ 13 = 26).
Так как плоскость АА1С параллельна оси цилиндра ОО1, то расстояние до нее от точки О — длина перпендикуляра, проведенного из точки О к АС.
Проведем радиус ON перпендикулярно хорде AC.
Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее и стягиваемую ею дугу пополам.
Точка K — середина AC, поэтому АК = АС : 2 = 24 : 2 = 12.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АКО. По теореме Пифагора:
ОК 2 = АО 2 – АК 2 = 13 2 – 12 2 =169 – 144 = 25, отсюда ОК = 5.
Это и есть расстояние от плоского сечения до центра основания цилиндра.
Видео:Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскостиСкачать
Как найти расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра
Задание 14. Высота цилиндра равна 5, а радиус основания равен 26. Площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, равна 100.
а) Докажите, что перпендикуляр, опущенный из центра основания цилиндра на плоскость сечения, лежит в плоскости основания цилиндра.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.
а) Пусть ON – перпендикуляр, опущенный из центра основания цилиндра на плоскость сечения ADC (см. рисунок). Тогда можно записать, что по определению прямой и плоскости. Точка O принадлежит плоскости основания цилиндра, прямая AB тоже принадлежит плоскости основания цилиндра, следовательно, ON тоже будет принадлежать плоскости основания цилиндра.
б) Найдем расстояние ON. Сначала вычислим длину отрезка AB. Зная площадь сечения ABCD, равную 100, и длину отрезка AD, получим:
Длины отрезков AO=OB=26 являются радиусами основания цилиндра, и следовательно, треугольник AOB – равнобедренный с высотой ON, проведенной к основанию AB. Как известно, высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, делит основание пополам, то есть является также и медианой. Таким образом, длина отрезка AN=AB:2=10. Тогда из прямоугольного треугольника AON по теореме Пифагора, имеем:
Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать
Как найти расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра
Задача. Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13.
а) Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.
Плоскость сечения, параллельная основанию цилиндра представляет собой прямоугольник AA1C1C, площадь которого S = AC ∙ AA1.
Так как по условию Sсеч. = 72
и АА1 = 3, то АС = 72 : 3 = 24.
Заметим, что хорда AC немногим меньше диаметра основания цилиндра (АВ = 2R = 2 ∙ 13 = 26).
Так как плоскость АА1С параллельна оси цилиндра ОО1, то расстояние до нее от точки О — длина перпендикуляра, проведенного из точки О к АС.
Проведем радиус ON перпендикулярно хорде AC.
Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее и стягиваемую ею дугу пополам.
Точка K — середина AC, поэтому АК = АС : 2 = 24 : 2 = 12.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АКО. По теореме Пифагора:
ОК 2 = АО 2 – АК 2 = 13 2 – 12 2 =169 – 144 = 25, отсюда ОК = 5.
Это и есть расстояние от плоского сечения до центра основания цилиндра.
Видео:Урок 10. Расстояние от точки до плоскости. Компенсация расстояний. Стереометрия с нуля.Скачать
Как найти расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра
Высота цилиндра равна 5, а радиус основания 10.
а) Докажите, что площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его основания.
б) Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 от неё.
а) Вспомним, что площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле , где — радиус основания, — высота цилиндра. В данном случае , поэтому , откуда и следует требуемое.
б) Сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно его оси OO1, — прямоугольник ABB1A1 (O и AB — соответственно центр и хорда нижнего основания цилиндра), AA1 = 5. Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно высоте OH треугольника OAB. OA = OB = 10, OH = 6, откуда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено, или при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
В условии сказано, что дан цилиндр: «Высота цилиндра. «, а в решении рассмотрен прямой цилиндр. Действительно, ответ такой же получится при решении задачи с наклонным цилиндром, но тем не менее, в сечении образуется параллелограмм, а не прямоугольник: прямая АА1 параллельна и равна прямой ВВ1, как образующие, которые параллельны, в свою очередь оси цилиндра — прямой ОО1. По признаку параллельности прямой и плоскости получаем, что ОО1 параллельна плоскости (АА1ВВ1). И уже нельзя говорить, что ОО1 является высотой, ведь цилиндр может быть и наклонным. Прямая ОО1 является осью цилиндра. А условная прямая О1М может являться высотой цилиндра (точка М может совпасть с точкой О, если цилиндр прямой). Она будет являться и высотой параллелограмма (это может быть и прямоугольник, который по определению также является параллелограммом).
Таким образом, ответ хотя и верный, но рассмотрено частное решение данной задачи. Либо составители допустили ошибку не указав, что дан прямой цилиндр (в 2018-ом же писали: «. образующая перпендикулярна плоскости основания»), либо решение данной задачи следует подправить.
В школьном курсе задачи о наклонных цилиндрах не рассматриваются.
Видео:Определение кратчайшей расстояние от точки до плоскости способом замены плоскостей проекцииСкачать
Как найти расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра
Высота цилиндра равна 5, а радиус основания 10.
а) Докажите, что площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его основания.
б) Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 от неё.
а) Вспомним, что площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле , где — радиус основания, — высота цилиндра. В данном случае , поэтому , откуда и следует требуемое.
б) Сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно его оси OO1, — прямоугольник ABB1A1 (O и AB — соответственно центр и хорда нижнего основания цилиндра), AA1 = 5. Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно высоте OH треугольника OAB. OA = OB = 10, OH = 6, откуда
В условии сказано, что дан цилиндр: «Высота цилиндра. «, а в решении рассмотрен прямой цилиндр. Действительно, ответ такой же получится при решении задачи с наклонным цилиндром, но тем не менее, в сечении образуется параллелограмм, а не прямоугольник: прямая АА1 параллельна и равна прямой ВВ1, как образующие, которые параллельны, в свою очередь оси цилиндра — прямой ОО1. По признаку параллельности прямой и плоскости получаем, что ОО1 параллельна плоскости (АА1ВВ1). И уже нельзя говорить, что ОО1 является высотой, ведь цилиндр может быть и наклонным. Прямая ОО1 является осью цилиндра. А условная прямая О1М может являться высотой цилиндра (точка М может совпасть с точкой О, если цилиндр прямой). Она будет являться и высотой параллелограмма (это может быть и прямоугольник, который по определению также является параллелограммом).
Таким образом, ответ хотя и верный, но рассмотрено частное решение данной задачи. Либо составители допустили ошибку не указав, что дан прямой цилиндр (в 2018-ом же писали: «. образующая перпендикулярна плоскости основания»), либо решение данной задачи следует подправить.
В школьном курсе задачи о наклонных цилиндрах не рассматриваются.
💡 Видео
ЕГЭ Задание 14 Сечение цилиндраСкачать
✓ Задача про цилиндр | ЕГЭ-2018. Задание 14. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
11 кл.Егэ. Радиус основания цилиндра равен ,2 высота равна 3 .Найдите площадь боковой поверхности циСкачать
Расстояние от точки до плоскости. 11 класс.Скачать
🔴 Радиус основания цилиндра равен 15, а его ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать
ЕГЭ задание 14 Расстояние от точки до плоскости. Два способа решенияСкачать
№523. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высотуСкачать
✓ Расстояние до плоскости | ЕГЭ-2016. Задание 14. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
55. Определение расстояния от точки до плоскости, заданной следамиСкачать
Задача C2: расстояние от точки до плоскостиСкачать
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ЦИЛИНДРСкачать
