Как найти сторону призмы вписанной в цилиндр (5 видео)

Содержание

Призмы, вписанные в цилиндр. Свойства призмы, вписанной в цилиндр
Узнать ещё
Призма вписана в цилиндр
Как найти сторону призмы вписанной в цилиндр
Задача. Призма, вписанная в цилиндр
Задача. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма
Как найти сторону призмы вписанной в цилиндр
Призма. Прямоугольный параллелепипед
Сфера и шар
📸 Видео

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Призмы, вписанные в цилиндр. Свойства призмы, вписанной в цилиндр

Определение 1. Призмой, вписанной в цилиндр, называют такую призму, основания которой вписаны в окружности оснований цилиндра, а боковые ребра призмы являются образующими цилиндра (рис. 1).

Определение 2. Если призма вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около призмы.

Прежде, чем перейти к вопросу о том, какую призму можно вписать в цилиндр, докажем следующее свойство призм.

Утверждение 1. Если около оснований призмы можно описать окружности, то отрезок, соединяющий центры описанных окружностей, будет параллелелен и равен боковому ребру призмы.

Докажем, что точка O’ является центром окружности радиуса r, описанной около верхнего основания призмы. С этой целью рассмотрим, например, четырехугольник A₁A’₁O’O (рис. 2).

Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что

то есть точка O’ – центр окружности радиуса r , описанной около верхнего основания призмы.

В силу того, что четырехугольник OO’A₁A’₁ является параллелограммом, получаем равенство

Теорема. Около призмы можно описать цилиндр тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Призма является прямой призмой;
Около оснований призмы можно описать окружности.

Доказательство. Докажем сначала, что если около n – угольной призмы описан цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

Действительно, выполнение условия 2 следует непосредственно из определения цилиндра, описанного около призмы. Из этого определения также следует, что вписанная в цилиндр призма является прямой призмой, поскольку образующие цилиндра перпендикулярны к плоскостям его оснований,

Таким образом, мы доказали, что, если призма вписана в цилиндр, то оба условия теоремы выполнены.

Теперь рассмотрим прямую n – угольную призму высоты h, около оснований которой можно описать окружности, и докажем, что около такой призмы можно описать цилиндр.

Обозначим буквой O центр окружности радиуса r, описанной около нижнего основания призмы, а символом O’ обозначим центр окружности, описанной около верхнего основания призмы.

Поскольку многоугольники, лежащие в основаниях призмы равны, то и радиусы описанных около них окружностей будут равны. Согласно утверждению 1 отрезок OO’ параллелен и равен боковому ребру призмы. Так как рассматриваемая призма прямая, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания и равны высоте призмы h. Значит, и отрезок OO’ перпендикулярен плоскости основания призмы и равен h.

Цилиндр с осью OO’ , радиусом r и высотой h и будет описан около исходной призмы.

Доказательство теоремы завершено.

Следствие 1. Высота призмы, вписанной в цилиндр, равна высоте цилиндра.

Следствие 2. Около любой прямой треугольной призмы можно описать цилиндр (рис. 4).

Следствие 3. Около любого прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба прямоугольного параллелепипеда (в частности, около куба ) можно описать цилиндр (рис. 5).

Замечание 1. Если у прямоугольного параллелепипеда прямоугольного параллелепипеда три ребра, выходящие из одной вершины, равны a, b, c и различны, то существует три возможности описать около этого параллелепипеда цилиндр в зависимости от того, какое из ребер параллелепипеда выбрано в качестве образующей описанного цилиндра (рис. 6, 7, 8).

Видео:ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2Скачать

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Призма и цилиндр. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Призма вписана в цилиндр

Призма вписана в цилиндр, если ее основания — многоугольники, вписанные в основания цилиндра, а боковые ребра являются образующими призмы.

Высоты вписанной призмы и цилиндра равны.

В школьном курсе изучается только прямой круговой цилиндр, соответственно, вписанная в цилиндр призма также должна быть прямой.

Призма может быть вписана в цилиндр, если около ее основания можно описать окружность. Отсюда следует, в цилиндр можно вписать любую правильную призму, прямую треугольную призму, прямоугольный параллелепипед.

В ходе решения задач на призму, вписанную в цилиндр, можно рассмотреть часть осевого сечения комбинации тел — прямоугольник, стороны которого равны радиусу описанной около основания призмы окружности ( радиусу цилиндра) и высоте призмы (и цилиндра). Например, в прямоугольнике AA1O1O OO1=H — высота призмы и цилиндра, AO=R — радиус описанной окружности.

Найдем отношение объема призмы к объему описанного около нее цилиндра:

В частности, отношение объема правильной треугольной призмы к объему описанного цилиндра

Отношение объема правильной четырехугольной призмы (то есть прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат) к объему описанного около нее цилиндра равно

Читайте также: Цилиндр для пку 0 8

Отношение объема правильной шестиугольной призмы к объему описанного около нее цилиндра

(Как запомнить формулу для вычисления площади правильного шестиугольника, можно посмотреть здесь ).

Отношение боковой поверхности вписанной призмы к объему описанного цилиндра:

Для правильной треугольной призмы это отношение равно

Видео:Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать

Как найти сторону призмы вписанной в цилиндр

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа «квадратный корень» применяется функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение.

Видео:Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 78. Найдите площадь полной поверхности цилиндраСкачать

Задача. Призма, вписанная в цилиндр

В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 60 градусам. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45 градусов. Найдите объем цилиндра.

Решение .
Объем цилиндра найдем по формуле:

где:
R — радиус основания прямого цилиндра,
h — высота.

Найдем основание цилиндра. 1-й способ .
Основание цилиндра одновременно является окружностью, описанной вокруг прямоугольного треугольника, являющегося основанием призмы. Диаметр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. То есть длина гипотенузы равна 2R.

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника найдем по формуле:

R = x / 2 sin α
где:
x — сторона треугольника
α — угол, противолежащий стороне а.

Противолежащий угол найдем следующим образом. Поскольку треугольник прямоугольный, то противолежащий катету угол будет равен 180-90-60 = 30 градусов. Таким образом, радиус описанной окружности (он же радиус цилиндра) равен:

Найдем основание цилиндра. 2-й способ
У прямоугольного треугольника гипотенуза одновременно является диаметром описанной окружности. Половина гипотенузы будет равна ее радиусу.
Таким образом найдем гипотенузу для прямоугольного треугольника, зная угол и его катет через тригонометрическую функцию:
2R = 2a / cos 60 = 2a / 0.5 = 4a
R = 2a

Найдем высоту цилиндра .
Диаметр описанной окружности образует с диагональю призмы прямоугольный треугольник, один катет которого является диаметром описанной окружности, второй — высотой цилиндра и призмы, а гипотенуза является диагональю большей стороны призмы и одновременно цилиндра.

Поскольку угол диагонали с основанием составляет 45 градусов, то второй угол равен 180 — 45 — 90 = 45 градусов.
Исходя из того, что прямоугольный треугольник равнобедренный, то высота цилиндра и призмы равна диаметру окружности. Таким образом:

V = пR 2 h
V = п*4a 2 *4a
V = п16a 3 .

Видео:ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ПРИЗМЫ // СТЕРЕОМЕТРИЯСкачать

Задача. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найти угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Если радиус основания равен высоте цилиндра, диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы представляет собой прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен высоте цилиндра (r), а второй катет равен стороне шестиугольника, вписанного в окружность.Согласно свойствам шестиугольника, вписанного в окружность, его сторона равна радиусу такой окружности.

То есть, каждая боковая грань данной вписанной призмы – квадрат. Диагональ грани образует с осью цилиндра, как и с боковым ребром, одинаковый угол 45°, так как ось цилиндра и боковые ребра вписанной призмы параллельны.

Видео:Площадь поверхности призмы. 11 класс.Скачать

Как найти сторону призмы вписанной в цилиндр

Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями о стереометрических фигурах; знание их свойств; знание формул для вычисления площадей поверхностей и объемов тел; умение применять эти знания при решении задач.

Ориентировочное время выполнения учащимися: 10—15 минут.

• Элементы, площадь поверхности, объем стереометрических фигур.

Особенности экзаменационных заданий по стереометрии

Задания этого вида представляют собой стереометрические задания на установление взаимосвязи между основными элементами многогранников и круглых тел, а также на использование формул для вычисления их площадей поверхностей и объемов. Вычислительной трудности задания не представляют; решение, как правило, сводится к использованию одной-двух формул. Соответствующие формулы нужно знать наизусть.

Куб — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Куб является частный случаем параллелепипеда и призмы, поэтому для него выполнены все их свойства. Кроме того, если а — длина ребра куба, — диагональ основания, — диагональ куба, — площадь полной поверхности, а V — объем куба, то справедливы формулы:

Видео:Задачи на нахождения объема призмы и цилиндраСкачать

Призма. Прямоугольный параллелепипед

Призмой (n-угольной призмой) называется многогранник, две грани которого — равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней — параллелограммы.

Правильной призмой называется прямая призма, основание которой — правильный многоугольник.

Прямой призмой называется призма, боковое ребро которой перпендикулярно плоскости основания. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру, а все боковые грани прямой призмы — прямоугольники.

Соотношения для прямой призмы

Пусть H — высота прямой призмы, AA₁ — боковое ребро, — периметр основания, — площадь основания, — площадь боковой поверхности, — площадь полной поверхности, V — объем прямой призмы. Тогда имеют место следующие соотношения:

Особенности правильной шестиугольной призмы

В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник. Напомним его свойства.

— Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

— Большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам.

— Меньшая диагональ правильного шестиугольника в раз больше его стороны.

— Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°.

— Меньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.

— Треугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60°.

Пусть вне плоскости многоугольника задана точка P. Тогда фигура, образованная треугольниками , и многоугольником вместе с их внутренними областями называется пирамидой (n-угольной пирамидой).

Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а основание ее высоты — центр этого многоугольника.

Соотношения для правильной пирамиды

Пусть H — высота правильной пирамиды, h — ее апофема, — периметр основания пирамиды, — площадь основания, — площадь боковой поверхности, — площадь полной поверхности, V — объем правильной пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:

Секущей плоскостью многогранника называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Тетраэдр имеет четыре грани, поэтому его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники (рис. 1). Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники (рис. 2).

Теоремы, используемые при построении сечений

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Поэтому секущая плоскость пересекает плоскости параллельных граней по параллельным прямым.

Теорема 2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Теорема 3. Если прямая l параллельна какой либо прямой m, проведённой в плоскости то она параллельна и самой плоскости

Теорема 4. Если прямая, лежащая в плоскости сечения, не параллельна плоскости некоторой грани, то она пересекается со своей проекцией на эту грань.

Алгоритм построения сечений

Для построения сечений рекомендуем пользоваться следующим алгоритмом.

1. Если две точки секущей плоскости лежат в плоскости одной грани, то проводим через них прямую. Часть прямой, лежащая в плоскости грани — сторона сечения.

2. Если прямая a является общей прямой секущей плоскости и плоскости какой-либо грани, то находим точки пересечения прямой a с прямыми, содержащими ребра этой грани. Полученные точки — новые точки секущей плоскости, лежащие в плоскостях граней.

3. Если никакие две из данных точек не лежат в плоскости одной грани, то строим вспомогательное сечение, содержащее любые две данные точки, а затем выполняем шаги 1, 2.

Для контроля правильности построенного сечения, проверяйте, что:

— все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника;

— все стороны сечения лежат в гранях многогранника;

— в каждой грани многогранника лежит не более одной стороны сечения.

Цилиндром называется фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону.

Пусть h — высота цилиндра, r — радиус основания, S_бок — площадь боковой поверхности, S_полн — площадь полной поверхности, V — объем цилиндра. Тогда имеют место следующие соотношения:

Конусом называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет.

Пусть h — высота конуса, r — радиус основания, l — образующая, S_бок — площадь боковой поверхности, S_полн — площадь полной поверхности, V — объем конуса. Тогда имеют место следующие соотношения:

Видео:11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать

Сфера и шар

Шаром называется фигура, полученная при вращении полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр. Сферой называется поверхность шара. Пусть R — радиус шара, S — площадь сферы, V — объем шара. Тогда имеют место следующие соотношения:

Комбинации круглых тел. Вписанные сферы

Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается обоих оснований цилиндра и каждой его образующей.

Сфера называется вписанной в конус, если она касается основания конуса и каждой его образующей.

Сфера называется вписанной в усечённый конус, если она касается обоих оснований конуса и всех его образующих.

Теорема 1: В прямой круговой цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда его высота равна диаметру основания. Причём центр сферы есть середина оси цилиндра.

Теорема 2: В любой прямой круговой конус можно вписать сферу. Причём центр сферы есть точка пересечения оси конуса с биссектрисой угла наклона образующей конуса к плоскости его основания.

Теорема 3. В усечённый конус можно вписать сферу тогда и только тогда, когда он прямой круговой, и длина его образующей равна сумме длин радиусов оснований. Причём центр сферы есть середина оси усечённого конуса.

Комбинации круглых тел. Описанные сферы

Сфера называется описанной около цилиндра, если окружности его оснований лежат на сфере.

Сфера называется описанной около конуса, если вершина конуса и его основание лежат на сфере.

Теорема 1: около цилиндра можно описать сферу тогда и только тогда, когда он прямой круговой. Причём центр сферы есть середина оси цилиндра.

Теорема 2: около конуса можно описать сферу тогда и только тогда, когда он круговой. Причём центр сферы есть точка пересечения прямой, перпендикулярной к плоскости основания и проходящей через центр его, и плоскости, перпендикулярной какой-либо его образующей конуса и проходящей середину этой образующей.

Следствие: сферу можно описать около любого прямого кругового конуса. В этом случае, центр сферы — точка пересечения прямой, содержащей высоту конуса с плоскостью, перпендикулярной какой-либо из его образующих и проходящей через ее середину.

Комбинации конуса и цилиндра

Цилиндр называется вписанным в конус, если одно его основание лежит на основании конуса, а второе совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основанию. Конус в этом случае называется описанным вокруг цилиндра.

Цилиндр называется описанным вокруг конуса, если центр одного из оснований цилиндра является вершиной вершина конуса, а противоположное основание цилиндра совпадает с основанием конуса. Конус в этом случае называется вписанным в цилиндр.

Комбинации многогранников и круглых тел. Описанные сферы

Сфера называется описанной около многогранника, если все его вершины лежат на этой сфере. Многогранник называется в этом случае вписанным в сферу.

Возможность описать сферу около многогранника означает существование точки (центра сферы), равноудалённой ото всех вершин многогранника.

Теорема 1: если из центра описанной около многогранника сферы опустить перпендикуляр на какое-либо из его рёбер, то основание этого перпендикуляра разделит ребро на две равные части.

Теорема 2: если из центра описанной около многогранника сферы опустить перпендикуляр на какую-либо из его граней, то основание этого перпендикуляра попадёт в центр круга, описанного около соответствующей грани.

Теорема 3: если около многогранника описана сфера, то её центр лежит на пересечении перпендикуляров к каждой грани пирамиды, проведённых через центр окружности, описанной около соответствующей грани.

Теорема 4: если около многогранника описана сфера, то её центр является точкой пересечений всех плоскостей, проведённых через середины рёбер пирамиды перпендикулярно к этим рёбрам.

Комбинации многогранников и круглых тел. Вписанные сферы

Сфера называется вписанной в многогранник, если все его грани касаются этой сферы. Многогранник называется в этом случае описанным около сферы.

Теорема: если в многогранник с площадью поверхности S и объёмом V вписан шар радиуса r, то справедливо соотношение:

Комбинации конуса, цилиндра и многогранников

В условиях задач встречаются также следующие понятия, не входящие в школьные учебники, которые уточняются непосредственно в условиях задач. Приведем наиболее употребительные из них.

Цилиндр вписан в призму: основания цилиндра вписаны в основания призмы.

Цилиндр описан вокруг призмы: основания цилиндра описаны вокруг оснований призмы.

Цилиндр вписан в пирамиду: одно из основание цилиндра вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание цилиндра принадлежит основанию пирамиды.

Цилиндр описан вокруг пирамиды: вершина пирамиды принадлежит одному из оснований цилиндра, а другое его основание описано вокруг основания пирамиды.

Конус вписан в призму: основание конуса вписано в основание призмы, а вершина конуса принадлежит противоположному основанию призмы.

Конус описан вокруг призмы: одно из оснований призмы вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание призмы вписано в основание конуса.

Конус вписан в пирамиду: их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды. Вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой.

Конус описан вокруг пирамиды: их вершины совпадают, а основание конуса описано вокруг основания пирамиды.