- Нахождение площади поверхности цилиндра: формула и задачи
- Формула вычисления площади цилиндра
- 1. Боковая поверхность
- 2. Основание
- 3. Полная площадь
- Примеры задач
- Как найти площадь поверхности цилиндра: боковую, основания, полную
- Площадь боковой поверхности цилиндра
- Круговой цилиндр
- Как рассчитать площадь боковой поверхности цилиндра с помощью калькулятора
- Примеры задач
- Осевое сечение прямого цилиндра
- Введите радиус основания и высоту цилиндра
- Площадь полной поверхности цилиндра
- Основные определения и свойства цилиндра
- Геометрическая фигура
- Осевое сечение наклонного цилиндра
- Примеры расчета площади поверхности цилиндра
- Площадь цилиндра формула через диаметр
- Площадь боковой поверхности цилиндра через радиус основания и высоту
- Заключение
- Площадь цилиндра
- Площадь цилиндра — как правильно рассчитать
- «Компоненты» стереометрической фигуры
- Основные формулы для вычисления боковой и полной площади
Видео:Цилиндр - расчёт площади, объёма.Скачать
Нахождение площади поверхности цилиндра: формула и задачи
В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти площадь поверхности цилиндра и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Видео:ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРАСкачать
Формула вычисления площади цилиндра
1. Боковая поверхность
Площадь (S) боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности, являющейся основанием фигуры, на его высоту.
Длина окружности, в свою очередь, рассчитывается так: C = 2 π R. Следовательно, рассчитать площадь можно следующим образом:
Примечание: в вычислениях значение числа π округляется до 3,14.
2. Основание
В качестве оснований цилиндра (равны между собой), выступает круг, площадь которого равна:
Т.к. диаметр круга равен двум его радиусам (d = 2R), выражение можно преобразовать таким образом:
3. Полная площадь
Для нахождения данной величины необходимо просуммировать площади боковой поверхности и двух равных оснований цилиндра, т.е.:
S = 2 π R h + 2 π R 2 или S = 2 π R (h + R)
Видео:11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать
Примеры задач
Задание 1
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус равен 11 см, а высота – 8 см.
Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее данные по условиям задачи значения:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 11 см ⋅ 8 см = 552,64 см 2 .
Задание 2
Высота цилиндра равна 9 см, а его диаметр – 8 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.
Решение:
Если диаметр цилиндра равен 8 см, значит его радиус составляет 4 см (8 см / 2). Применив соответствующую формулу для нахождения площади получаем:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 см ⋅ (9 см + 4 см) = 326,56 см 2 .
Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать
Как найти площадь поверхности цилиндра: боковую, основания, полную
Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать
Площадь боковой поверхности цилиндра
Формула площади боковой поверхности цилиндра представляет собой произведение длины основания на его высоту:
Таким образом, используя формулы площади оснований и боковой поверхности фигуры, мы смогли найти полную площадь поверхности цилиндра.
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, в котором стороны равны высоте и диаметру цилиндра.
Формула площади осевого сечения цилиндра выводится из формулы расчета площади прямоугольника :
Видео:60. Площадь поверхности цилиндраСкачать
Круговой цилиндр
где r – радиус основы, h – высота цилиндра, d – диаметр основы.
Видео:Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндраСкачать
Как рассчитать площадь боковой поверхности цилиндра с помощью калькулятора
Калькулятор позволяет определить площадь цилиндра по одному из 2 вариантов исходных данных:
- внешний радиус и высота;
- внешний диаметр и высота.
Выберите соответствующий шаг и введите исходные данные в соответствующие поля.
Также важно указать единицы измерения по условиям задачи.
Расчеты будут выполнены автоматически и конвертированы в основные метрические физические величины площади.
Видео:Объем цилиндраСкачать
Примеры задач
Задание 1
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его радиус равен 11 см, а высота – 8 см.
Читайте также: Есть ли у цилиндра углы
Решение:
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее данные по условиям задачи значения:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 11 см ⋅ 8 см = 552,64 см 2 .
Задание 2
Высота цилиндра равна 9 см, а его диаметр – 8 см. Найдите суммарную площадь поверхности фигуры.
Решение:
Если диаметр цилиндра равен 8 см, значит его радиус составляет 4 см (8 см / 2). Применив соответствующую формулу для нахождения площади получаем:
S = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 см ⋅ (9 см + 4 см) = 326,56 см 2 .
Видео:Миникурс по геометрии. Куб, призма, цилиндр и конусСкачать
Осевое сечение прямого цилиндра
Осевым называется любое сечение цилиндра, которое содержит его ось. Это определение означает, что осевое сечение будет всегда параллельно образующей линии.
В цилиндре прямом ось проходит через центр круга и перпендикулярна его плоскости. Это означает, что рассматриваемое сечение круг будет пересекать по его диаметру. На рисунке показана половинка цилиндра, которая получилась в результате пересечения фигуры плоскостью, проходящей через ось.
Не сложно понять, что осевое сечение прямого круглого цилиндра представляет собой прямоугольник. Его сторонами являются диаметр d основания и высота h фигуры.
Запишем формулы для площади осевого сечения цилиндра и длины hd его диагонали:
Прямоугольник имеет две диагонали, но обе они равны друг другу. Если известен радиус основания, то не сложно переписать эти формулы через него, учитывая, что он в два раза меньше диаметра.
Видео:Лучший способ найти площадь кругаСкачать
Введите радиус основания и высоту цилиндра
Цилиндр – геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Площадь полной поверхности цилиндра формула:
S = Sбок + 2 Sосн 2 , где Sбок – площадь боковой поверхности, Sосн – площадь основания
или
S = 2 π R h + 2 π R 2 , где R – радиус оснований, h – высота цилиндра, π – число пи
Видео:Нахождение площади боковой поверхности цилиндраСкачать
Площадь полной поверхности цилиндра
Для нахождения полной площади цилиндра нужно к полученной Sбок добавить площади двух окружностей, верха и низа цилиндра, которые считаются по формуле Sо = 2π * r2.
Конечная формула выглядит следующим образом:
Sпол = 2π * r2 + 2π * r * h.
Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндраСкачать
Основные определения и свойства цилиндра
Рассмотрим две паралллельные плоскости паралллельные плоскости α и β и произвольную окружность радиуса r с центром в точке O , лежащую в плоскости α (рис. 1).
Если из каждой точки окружности опустить перпендикуляр на плоскость β , то основания этих перпендикуляров образуют на плоскости β окружность радиуса r , центр O1 которой является основанием перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость β (рис.2).
Отрезок перпендикуляра , опущенного из любой точки окружности с центром O на плоскость β , который заключен между плоскостями α и β , называют образующей цилиндра .
Совокупность всех образующих цилиндра называют цилиндрической поверхностью .
Фигуру, ограниченную цилиндрической поверхностью и плоскостями α и β, называют цилиндром .
Отрезок OO1 называют осью цилиндра .
Радиус окружности Радиус окружности на плоскости α с центром в точке O называют радиусом цилиндра .
Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями α и β , называют высотой цилиндра .
Круги с центрами O и O1 на плоскостях α и β , называют основаниями цилиндра .
Замечание 1. Цилиндрическую поверхность часто называют боковой поверхностью цилиндра . Боковая поверхность цилиндра и основания цилиндра вместе составляют полную поверхность цилиндра .
Читайте также: Цилиндр от восхода в минске
Замечание 2. Каждая образующая цилиндра параллельна оси цилиндра, а длина каждой образующей цилиндра равна высоте цилиндра.
Замечание 3. Прямая OO1 является осью симметрии цилиндра, а середина отрезка OO1 является центром симметрии цилиндра.
Видео:№538. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5. Найдите площадь осевогоСкачать
Геометрическая фигура
Сначала дадим определение фигуре, о которой пойдет речь в статье. Цилиндр представляет собой поверхность, образованную параллельным перемещением отрезка фиксированной длины вдоль некоторой кривой. Главным условием этого перемещения является то, что отрезок плоскости кривой принадлежать не должен.
На рисунке ниже показан цилиндр, кривая (направляющая) которого является эллипсом.
Здесь отрезок длиной h является его образующей и высотой.
Видно, что цилиндр состоит из двух одинаковых оснований (эллипсы в данном случае), которые лежат в параллельных плоскостях, и боковой поверхности. Последней принадлежат все точки образующих линий.
Видео:Как использовать интеграл в обычной жизни. Математик МГУ и Савватеев #shortsСкачать
Осевое сечение наклонного цилиндра
Рисунок выше демонстрирует наклонный цилиндр, изготовленный из бумаги. Если выполнить его осевое сечение, то получится уже не прямоугольник, а параллелограмм. Его стороны – это известные величины. Одна из них, как и в случае сечения прямого цилиндра, равна диаметру d основания, другая же – длина образующего отрезка. Обозначим ее b.
Для однозначного определения параметров параллелограмма недостаточно знать его длины сторон. Необходим еще угол между ними. Предположим, что острый угол между направляющей и основанием равен α. Он же и будет углом между сторонами параллелограмма. Тогда формулу для площади осевого сечения наклонного цилиндра можно записать следующим образом:
Диагонали осевого сечения цилиндра наклонного рассчитать несколько сложнее. Параллелограмм имеет две диагонали разной длины. Приведем без вывода выражения, позволяющие рассчитывать диагонали параллелограмма по известным сторонам и острому углу между ними:
Здесь l1 и l2 – длины малой и большой диагоналей соответственно. Эти формулы можно получить самостоятельно, если рассмотреть каждую диагональ как вектор, введя прямоугольную систему координат на плоскости.
Видео:Площадь полной поверхности цилиндраСкачать
Примеры расчета площади поверхности цилиндра
Для понимания приведенных формул попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах.
1. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 37,68.
2. Как найти площадь поверхности цилиндра, если высота равна 4, а радиус 6?
S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4
S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24
Площадь поверхности цилиндра равна 376,8.
3. Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна 24π, а диаметр основания — 3. Найдите высоту цилиндра.
Из формулы расчета площади боковой поверхности цилиндра Sбок. = 2πrh следует, что высота равна:
Значение радиуса получаем из формулы: d = 2r
Видео:Объем цилиндра.Скачать
Площадь цилиндра формула через диаметр
Для облегчения расчетов иногда требуется произвести вычисления через диаметр. Например, имеется кусок полой трубы известного диаметра.
Не утруждая себя лишними расчетами, имеем готовую формулу. На помощь приходит алгебра за 5 класс.
Sпол = 2π * r2 + 2π * r * h = 2π * d2/4 + 2π * h * d/2 = π * d2/2 + π * d * h,
Вместо r в полную формулу нужно вставить значение r = d/2.
Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать
Площадь боковой поверхности цилиндра через радиус основания и высоту
Формула для нахождения боковой поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:
, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.
Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать
Заключение
В конце статьи назрел вопрос: а так ли необходимы все эти вычисления и переводы одних значений в другие. Зачем все это нужно и самое главное, для кого? Но не стоит пренебрегать и забывать простые формулы из средней школы.
Читайте также: Как прокачать цилиндр подъема кабины ман тга
Мир стоял и будет стоять на элементарных познаниях, из математики, в том числе. И, приступая к какой-нибудь важной работе, никогда не лишне освежить в памяти данные выкладки, применив их на практике с большим эффектом. Точность – вежливость королей.
Видео:Вычисление объёма цилиндраСкачать
Площадь цилиндра
Видео:Объем и площадь поверхности цилиндра (видео 44) | Подобие. Геометрия | МатематикаСкачать
Площадь цилиндра — как правильно рассчитать
Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее.
Перед тем, как начать вычисление площади цилиндра, необходимо учесть, что существует два ее вида:
- Полная площадь поверхности цилиндра. Она равна сумме боковой поверхности цилиндра и двойной площади его основания.
- Площадь боковой поверхности цилиндра. Она равняется произведению высоты цилиндра на длину окружности основания.
Чтобы вычислить общую площадь поверхности цилиндра, нужно применить формулу:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
\(S=2\times\pi\times R\times h+2\times\pi\times R^2=2\times\pi\times R\times\left(h+R\right)\)
Здесь R — радиус окружности, а h — высота.
Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, нужно воспользоваться формулой:
«Компоненты» стереометрической фигуры
Цилиндр состоит из нескольких составляющих.
- Цилиндрическая поверхность — это поверхность, которая образуется большим количеством параллельных прямых, проходящих через точки некоторой кривой.
- Основания — это плоские фигуры, которые образованы пересечением ЦП с двумя параллельными плоскостями, ограничивающими цилиндр. Оснований у цилиндра два.
- Боковой поверхностью называют часть ЦП, которая находится между основаниями.
- И, наконец, высота — это отрезок, который высекается плоскостями оснований цилиндра на прямой, перпендикулярной им.
Дополнительно можно измерить периметр Sбок. Для этого нужно длину окружности l сложить с высотой h и умножить данную сумму на 2.
Рассмотрим, как различаются типы рассматриваемой геометрической фигуры по форме. Цилиндр может быть:
- Прямой. Его основания имеют центры симметрии, то есть являются кругами или эллипсами. При этом прямая между центрами перпендикулярна плоскостям оснований. Данная прямая называется осью цилиндра.
- Косой. Его основания имеют центры симметрий, однако отрезок между ними не перпендикулярен плоскостям оснований.
- Круговой. Имеет окружность в роли направляющей.
- Прямой круговой. Его можно получить с помощью вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. Тогда эта сторона будет осью цилиндра и осью симметрии.
- Равносторонний. Его диаметр равен высоте.
- Эллиптический, гиперболический и параболический. Образованы соответственно эллипсами, гиперболами и параболами.
- Усеченный. Геометрическое тело, которое отсекается от цилиндра плоскостью, не параллельной основанию.
- Призма. Является разновидностью цилиндра, если имеет основание в виде многоугольника.
Основные формулы для вычисления боковой и полной площади
Кроме рабочих способов, перечисленных выше, рассчитать площадь рассматриваемого тела можно следующими методами:
- Через диаметр и высоту: \( S_ =D\times\pi\left(h+\frac D2\right); S_ =D\times\pi\times h.\)
- Через объем: \(S=\frac Vh.\)
- Через длину окружности. Так как \(l=2\times\pi\times R\) , то \(S_ =l\times h\) , а \(S_ =l\times h+2\times\pi\times R^2\) .
Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Высчитать площадь боковой поверхности цилиндра.
Из этого: \(S_ =2\times3,14\times2\times3=6,28\times6=37,68.\)
\(S_ =24\pi\) , а диаметр основания — 3. Узнать высоту цилиндра.