Как получить в сечении цилиндра окружность

Цилиндром будет называться геометрическое тело, полученное при ограничении цилиндрической поверхности двумя параллельными плоскостями — основаниями цилиндра. Если в основании цилиндра лежит окружность, а образующая перпендикулярна основанию, то цилиндр называется прямым круговым.

Линия сечения строится также при помощи опорных точек — точек пересечения секущей плоскости с очерковыми образующими и осью цилиндра. Но необходимо взять также промежуточные точки для более точного построения линии сечения. На рисунке 49 показано построение проекций сечения цилиндра фронтально — проецирующей плоскостью S. Так как цилиндр является проецирующей поверхностью, то горизонтальная проекция сечения совпадает с секущей плоскостью и на профильной проекции получим эллипс. Точки 2 и 3 будут являться границей видимости линии сечения для профильной плоскости.

Натуральную величину сечения можно определить способом вращения. Ось вращения выбираем в точке 1 и вращаем секущую плоскость до положения, параллельного горизонтальной плоскости. На горизонтальной плоскости получим эллипс, который будет являться натуральной величиной сечения цилиндра.

Разверткой цилиндра является прямоугольник с высотой, равной высоте цилиндра, и длиной, равной длине окружности основания 2πR. Для того, чтобы построить развертку усеченной части, основание цилиндра делят на равные части, тем самым аппроксимируя цилиндрическую поверхность призматической. Разделим окружность основания на 12 равных частей и отложим их вдоль горизонтальной линии развертки, по вертикали отложим высоту цилиндра (рис. 50).

Затем на полученных образующих отметим высоты точек сечения. Пристроим окружность основания и натуральную величину сечения.

Конус — это геометрическое тело, полученное путем ограничения конической поверхности плоскостью. Если в основании конуса лежит окружность, а высота попадает в центр основания, то конус называется прямым круговым.

На рисунке 51 построено сечение конуса фронтально — проецирующей плоскостью. Точки сечения находим при помощи вспомогательных секущих плоскостей. Точки С и D являются границей видимости для профильной проекции сечения.

Натуральную величину сечения находим способом вращения. Ось вращения выбираем в точке D и поворачиваем секущую плоскость до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекций. Из горизонтальных проекций точек проводим линии, перпендикулярные оси вращения. Натуральной величиной сечения будет являться эллипс.

Развертка конуса является круговым сектором с радиусом, равным длине образующей конуса и длиной дуги, равной длине окружности основания конуса. Делим основание конуса на 12 равных частей и откладываем их по дуге на развертке. Затем на соответствующих образующих нужно отложить натуральные величины высот точек сечения. Чтобы получить полную развертку усеченной части, пристраиваем основание и натуральную величину сечения. На рисунке 52 показано построение развертки конуса.

Читайте также: Отличия тормозных цилиндров уаз

1. Как образуется цилиндрическая поверхность?

2. Если секущая цилиндр плоскость фронтально проецирующая, то где будут лежать горизонтальные проекции точек сечения?

3. Какими способами можно определять натуральную величину фигуры сечения?

4. Какой геометрической фигурой является развертка боковой поверхности цилиндра? Конуса?

5. Для чего нужно разбивать окружность основания на некоторое количество равных частей?

6. Как построить развертку конической поверхности?

7. Как получить из полной развертки поверхности развертку ее усеченной части?

© ФГБОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет

Видео:сечение цилиндраСкачать

Цилиндры

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Основные определения и свойства цилиндра

Если из каждой точки окружности опустить перпендикуляр на плоскость β , то основания этих перпендикуляров образуют на плоскости β окружность радиуса r , центр O₁ которой является основанием перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость β (рис.2).

Отрезок перпендикуляра, опущенного из любой точки окружности с центром O на плоскость β , который заключен между плоскостями α и β , называют образующей цилиндра .

Совокупность всех образующих цилиндра называют цилиндрической поверхностью .

Фигуру, ограниченную цилиндрической поверхностью и плоскостями α и β, называют цилиндром .

Отрезок OO₁ называют осью цилиндра .

Радиус окружности Радиус окружности на плоскости α с центром в точке O называют радиусом цилиндра .

Круги с центрами O и O₁ на плоскостях α и β , называют основаниями цилиндра .

Замечание 1. Цилиндрическую поверхность часто называют боковой поверхностью цилиндра . Боковая поверхность цилиндра и основания цилиндра вместе составляют полную поверхность цилиндра .

Замечание 2. Каждая образующая цилиндра параллельна оси цилиндра, а длина каждой образующей цилиндра равна высоте цилиндра.

Замечание 3. Прямая OO₁ является осью симметрии цилиндра, а середина отрезка OO₁ является центром симметрии цилиндра.

Видео:усеченный цилиндр-ортогональные проекции-изометрия-разверткаСкачать

Сечения цилиндра

Определение 2. Сечением цилиндра называют пересечение цилиндра с плоскостью.
Если сечение проходит через ось цилиндра, то такое сечение называют осевым сечением цилиндра (рис. 3).

На рисунке 3 изображено одно из осевых сечений цилиндра – прямоугольник AA₁B₁B .

Замечание 4. Каждое осевое сечение цилиндра с радиусом r и высотой h является прямоугольником со сторонами 2r и h .

Определение 3. Перпендикулярным сечением цилиндра называют сечение, перпендикулярное оси цилиндра (рис. 4).

Замечание 5. Любым перпендикулярным сечением цилиндра будет круг радиуса r .

Замечание 6. Более подробно случаи взаимного расположения цилиндра и плоскости рассматриваются в разделе нашего справочника «Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве».

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Объем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра

Для цилиндра с радиусом r и высотой h (рис. 5)

введем следующие обозначения

Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности цилиндра:

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной призмы n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

Читайте также: Ниссан микра тормозной цилиндр задний

Видео:Усеченный цилиндр: проекции сечения, изометрия, развертка поверхностиСкачать

Сечение поверхности цилиндра

Лекция № 11. Пересечение поверхности тел вращения проецирующей плоскостью

Бывают следующие случаи сечения поверхности прямого кругового цилиндра плоскостью:

1) окружность, если секущая плоскость Р перпендикулярна оси цилиндра, причем она параллельна основанию цилиндра (рис. 104а);

2) эллипс, если секущая плоскость Р не перпендикулярна и не параллельна оси цилиндра (рис. 104б);

3) пара прямых, если секущая плоскость Q содержит ось цилиндра или параллельна ей (рис. 104в).

Особый интерес представляет случай, когда наклонная секущая плоскость пересекает основание цилиндра (плоскость Р₁ на рис. 104б). Здесь часть эллипса может быть неверно принята за параболу или гиперболу. Нужно знать, что ни парабола, ни гипербола не могут быть получены как сечение поверхности кругового цилиндра плоскостью.

На рисунке 105 показано пересечение поверхности цилиндра фронтально‑проецирующей плоскостью Р. Здесь для цилиндра рассмотрено решение всех трех основных задач, связанных с сечением тела плоскостью, т. е. отыскание проекций сечения, его натурального вида и построение развёртки.

Проекции сечения. На рисунке 105а рассмотрено наглядное изображение сечения, а отсюда видно, что большая ось эллипса представлена хордой 0–6, которая пересекает ось цилиндра в точке С. При этом малая ось направлена по горизонтали, перпендикулярной в плоскости V. Следовательно, малая ось проектируется без искажения на горизонтальной и профильной плоскости (рис. 105б), а центр эллипса находится на оси цилиндра (точка С). Следует отметить, что на рисунке 105б ось симметрии проходит через точки 0–6.

Получающийся в горизонтальном сечении эллипс проецируется на плоскость в виде окружности основания, а на профильную плоскость – в виде эллипса. При этом большая ось эллипса 3˝‑9˝ является проекцией малой оси 3–9 исходного эллипса, а малая ось 0˝‑6˝ представляет собой проекцию большой оси 0–6. На фронтальной плоскости проекция эллипса есть отрезок 0́‑6́, который равен большой оси самого эллипса.

Следовательно, в самом начале построения можно получить две готовые проекции сечения: горизонтальную и фронтальную. После этого нужно построить только профильную проекцию. Следует заметить, что точки 3˝ и 9˝ отделяют видимую часть кривой от невидимой на профильной проекции. Если секущая плоскость Р наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 45°, то профильная проекция эллипса является окружностью. На рисунке 105 угол наклона секущей плоскости меньше 45°, вследствие этого профильная проекция большой оси представляет собой малую ось профильной проекции эллипса. В том случае, если бы угол наклона секущей плоскости был больше 45°, проекция большой оси была бы большой осью профильной проекции эллипса.

Построение натурального вида сечения. Сначала нужно отметить цифрами ряд точек на проекциях эллипса (на рис. 105 отмечено 12 таких точек), после чего следует начинать построение натурального вида сечения. Выполнить это можно двумя способами:

1) построением совмещения плоскости Р с горизонтальной плоскостью путем вращения ее около горизонтального следа P_h. На рисунке 105 совмещение построено слева от P_h и соответствующие точки отмечены цифрами с чертой сверху;

Читайте также: Физика давление газа в цилиндре

2) указанием 12 точек эллипса. При этом хорды, параллельные P_h, проецируются без искажения на горизонтальную плоскость, а расстояния между этими хордами проектируются на фронтальную плоскость. Вследствие этого проводят через точки следа P_v, которые отмечены цифрами, прямые, перпендикулярные P_v. Затем перпендикулярно этим линиям проводят ось симметрии данного эллипса. Вместе с крайними вспомогательными прямыми ее пересечение определит точки эллипса 0 и 6, т. е. концы большой оси. После этого от точек А, В и С следует отложить в обе стороны половины соответствующих хорд (Al = а1, В2 = b2, C3 = с3).

В данном случае хорда 3–9 является малой осью эллипса.

Развертка. На рисунке 106 показано построение развертки боковой поверхности неусеченного цилиндра. Эта боковая поверхность в развернутом состоянии является прямоугольником, основание которого равно длине окружности (πD), а высота – образующей цилиндра.

В данном случае длина окружности заменена периметром вписанного правильного 12‑угольника (рис. 106), после чего через соответствующие точки делений спрямленной окружности проведены образующие. При этом на каждой образующей отмечена ее точка встречи с плоскостью Р.

Видео:Цилиндр, конус, шар, 6 классСкачать

Нахождение радиуса цилиндра: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить радиус цилиндра и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:Начертательная геометрия_18_Сечение цилиндра проецирующей плоскостьюСкачать

Формулы вычисления радиуса цилиндра

1. Через объем и высоту

Радиус цилиндра рассчитывается по формуле:

V – объем цилиндра; считается как произведение числа π на высоту фигуры на квадрат радиуса круга, являющего ее основанием.

• R – радиус основания цилиндра, т.е. окружности;
• π – число, округленное значение которого равняется 3,14.

2. Через площадь боковой поверхности

Радиус цилиндра считается таким образом:

S_бок. – площадь боковой поверхности цилиндра; равна произведению длины окружности (2 π R), являющейся основанием фигуры, на его высоту:

3. Через полную площадь поверхности

Данная формула получена следующим образом:

S – полная площадь поверхности фигуры, равная:

S = 2 π Rh + 2 π R 2 или S = 2 π R(h + R)

Возьмем первое выражение. Если перенести S в правую часть, получим:

2 π R 2 + 2 π Rh – S = 0

Можно заметить, что это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где:

R является корнем данного уравнения (x). Подставив в стандартную формулу для расчета корней наши значения a, b и с получаем*:

* в нашем случае – только один положительный корень, т.к. радиус не может быть отрицательным.

Видео:Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)Скачать

Примеры задач

Задание 1
Высота цилиндра равняется 5 см, а объем – 141,3 см 3 . Вычислите его радиус.

Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные по условиям задачи значения:

Задание 2
Найдите радиус цилиндра, если площадь его боковой поверхности равна 175,84 см 2 , а высота составляет 7 см.

Решение:
Применим формулу, в которой задействованы заданные величины:

Задание 3
Рассчитайте радиус цилиндра, если полная площадь его поверхности – 602,88 см 2 , а высота – 10 см.

Решение:
Используем третью формулу для нахождения неизвестной величины:

📽️ Видео

Объём цилиндраСкачать

Понятие цилиндраСкачать

11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать

11 класс, 27 урок, Сечения цилиндрической поверхностиСкачать

РТ_ПБ_61.1) Построить проекции линии пересечения цилиндра плоскостью частного положения.Скачать

Задание 38. Как построить УСЕЧЕННЫЙ ЦИЛИНДР. Построение НВ фигуры сечения. Часть 1Скачать

Сечение цилиндра плоскостьюСкачать

Самое важное про тела вращения: цилиндр #математика #егэ #shortsСкачать

2 задание ЕГЭ профиль стереометрияСкачать

Урок в 11М РЛ 23.01.18 (1 часть) "Сечение цилиндра"Скачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать