Как рассчитать объем усеченного цилиндра формула

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Как рассчитать, вычислить объём цилиндра? Что нужно для этого?

Цилиндром называется геометрическое тело, образованное путем вращения прямоугольника вокруг его стороны (преимущественно большей). Круги, лежащие в основании, конгруэнтные – соразмерные, равные.

Поверхность тела имеет криволинейную форму – цилиндрическую. Рассмотрим, как рассчитать объем цилиндра: полного и усеченного при наличии разных исходных данных. Развертка геометрического тела представлена:

• прямоугольником с шириной, равной высоте геометрического тела (H);
• длиной, равной образующей или радиусу нижней поверхности: c = πD = 2πr.

Видео:Цилиндр - расчёт площади, объёма.Скачать

Объем цилиндра

Объемом называется характеристика ограниченного геометрическим телом пространства. Показывает, сколько места занимает тело или сколько жидкости внутрь него можно залить. Близкие по значению слова – емкость, вместимость.

Существует несколько формул, позволяющих найти объем цилиндра; какая подойдет, зависит от исходной информации.

• π – число «Пи», равное приблизительно 3,1415;
• r – радиус круга;
• h – высота призмы или длина стороны прямоугольника, вокруг которой он вращался для образования цилиндра.

V=\pi \frac или \frac \pi d^2h, где:

• d – диаметр геометрического тела.

Рассмотрим, как вычислить объем цилиндра на практике, если известны его:

• радиус: r = 5 см;
• высота: h = 13 см.

Подставляем значения в формулу:

V = π * 5 2 * 13 = π * 25 * 13 = 325 π.

Если нужно реальное число, вместо π в формулу подставим его округленное значение 3,1415.

V = 325 * 3,1415 ≈ 1020,98 ≈ 1021 см 3 .

В случае, когда дан диаметр круга, его придется разделить на два для получения радиуса: r= \frac d или разделить на четыре после поднесения к квадрату; r= (\frac d) =\frac d^2.

Видео:Объём цилиндраСкачать

Формула для вычисления объема усеченного цилиндра

Усеченным называется цилиндр, часть которого отрезана плоскостью, пролегающей не параллельно нижней плоскости.

Формула объема усеченного цилиндра следующая:

здесь h₁ b h₂ – наименьшая и наибольшая высоты геометрического тела.

После подстановки значений получится выражение:

Первый: воспользуемся формулой V= \pi r^2 *\frac . Для этого определим радиус нижней плоскости.

r = \frac d= \frac 10=5 см.
V=\pi r^2 *\frac = \pi *5^2* \frac = 25 \pi * 20 = 500 \pi \approx 1570,75 см 3 .

Второе решение – подставим диаметр в формулу:

V = \pi \frac * \frac = \pi *\frac * \frac = \pi * \frac * \frac = 500 \pi \approx 1570,75 см 3 .

Зная высоту и радиус или диаметр основания тела, его вместительность высчитывается в несколько действий.

Видео:11 класс, 32 урок, Объем цилиндраСкачать

Объем цилиндра

Объем цилиндра, формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра и площади его поверхностей, а также необходимая теория о характеристиках цилиндра.

Видео:Объем цилиндра.Скачать

Объем правильного цилиндра через радиус и высоту цилиндра

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндраСкачать

Формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра через площадь основания и высоту цилиндра

Видео:Объем цилиндраСкачать

Формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра через диаметр основания

Видео:Объем конуса. Объем усеченного конуса.Скачать

Объем цилиндрической полости

Объем полости в виде цилиндра равен объему цилиндра, который извлечен из данной полости для ее образования. То есть для вычисления цилиндрической полости можно воспользоваться формулами и калькулятором для расчета простого правильного цилиндра в зависимости от известных исходных данных.

Читайте также: Цилиндр 60мм что это

На картинке продемонстрирована цилиндрическая полость, образованная в теле путем извлечения из него цилиндра. Объем извлеченного цилиндра и объем образованной полости равны.

Нужно отметить один важный момент. Несмотря на равенство объемов извлеченного цилиндра и образованной полости, площади поверхностей данных объектов будут отличаться, так как у образованной цилиндрической полости отсутствует верхняя поверхность. То есть суммарная площадь поверхности образованной цилиндрической полости будет меньше суммарной площади извлеченного цилиндра на одну площадь основания цилиндра.

Правильный цилиндр – это цилиндр, где угол между образующими боковой поверхности и основанием цилиндра равен 90 градусов.

Неправильный или наклонный цилиндр – это цилиндр, где угол между образующими боковой поверхности и основанием цилиндра отличается от 90 градусов.

Рассмотрим правильный цилиндр.

Цилиндр – это тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Тело цилиндра ограничено двумя кругами, называемыми основанием цилиндра и боковой цилиндрической поверхностью, которая в развертке представляет собой прямоугольник

Цилиндр можно так же описать как тело, состоящее из двух равных кругов, не лежащих в одной плоскости и параллельных между собой, и отрезков, соединяющих все точки одной окружности, с соответствующими точками другой окружности. Данные отрезки называются образующими цилиндра.

Радиус основания цилиндра, является радиусом цилиндра.

Ось цилиндра – это прямая, соединяющая центра оснований цилиндра.

Высота цилиндра – это перпендикуляр, опущенный от одного основания цилиндра к другому.

Видео:Объем цилиндра.Скачать

Поверхности цилиндра

Наружную поверхность цилиндра можно условно разделить на три отдельные поверхности: верхняя, нижняя и боковая.

Верхняя и нижняя поверхности цилиндра имеют форму круга и равны между собой.

Боковая поверхность цилиндра имеет форму прямоугольника. Чтобы это наглядно представить, возьмем боковую наружную поверхность цилиндра и мысленно сделаем вертикальный разрез по образующей цилиндра. Далее развернем поверхность на плоскость. В результате увидим, что боковая поверхность имеет форму прямоугольника (см. на картинке).

Видео:Объем усеченного конуса. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Сечения цилиндра

При сечении цилиндра плоскостью, проходящей через оба основания цилиндра под углом в 90 градусов, всегда получатся прямоугольная фигура .

При сечении цилиндра плоскостью, проходящей через оба основания цилиндра под углом отличным от 90 градусов, получатся фигура, похожая на прямоугольник , но две боковые стороны которого будут являться кривыми линиями.

Если секущая поверхность проходит параллельно основаниям цилиндра, то сечением будет круг .

Если секущая поверхность проходит через боковую поверхность, но при этом не параллельна основанию цилиндра, то в сечении получается эллипс .

Если секущая поверхность проходит через одно основание цилиндра и боковую поверхность, то в сечение будет фигура в виде половины эллипса .

Видео:Объем цилиндраСкачать

Что такое объем

Объем тела (геометрической фигуры) – это количественная характеристика, характеризующая количество пространства, занимаемого телом. Объем выражается в кубических единицах измерения, например: мм 3 , см 3 , мл 3 .

Формула вычисления объема цилиндра часто применяются при расчете массы различных цилиндров, например, прутков, заготовок и т.п. Для вычисления массы, необходимо вычисленный объем цилиндра умножить на плотность материала из которого цилиндр.

Читайте также: Прихватило поршень в цилиндре

Так же, вычислить объём цилиндра иногда требуется для определения полости в виде цилиндра (цилиндрическая полость). В данном случае объём полости будет равен объёму цилиндра, который полностью занимает эту полость.

Объем и площадь других видов цилиндров рассмотрен в статьях:

Видео:Как найти объем. Принцип Кавальери | Ботай со мной #050 | Борис Трушин |Скачать

Калькулятор развертки усеченного плоскостью цилиндра онлайн

Видео:Усеченный конус. 11 класс.Скачать

Обозначения

• R — радиус основания цилиндра;
• D — диаметр основания цилиндра;
• h — средняя высота усечённого цилиндра;
• h1 — наименьшая высота усечённого цилиндра;
• h2 — наибольшая высота усечённого цилиндра;
• α — угол сечения, град.
• X_{1 .. n} — координаты для построения развёртки по оси X;
• Y_{1 .. n} — координаты для построения развёртки по оси Y;

Числовые значения в таблице заполняются числом (5; 5.16; -3.12), либо математическим выражением (5/7; (1-5)*2.13)

Введите радиус или диаметр *:

Введите высоты * и (или) угол:

Без макс. и мин. высоты можно посчитать только площади боковой поверхности и основания и объём

Или введите одну из высот и угол сечения (рис.)

Округление:

Построение развёртки:

Видео:Объем цилиндра. Урок 13. Геометрия 11 классСкачать

Графики

Чертится развертка усеченного плоскостью цилиндра, как показано на рисунке:

Видео:Объем усеченного конуса. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Формулы

Формула для вычисления значений Y:

Y_i = D * tg(α) * sin (i * (180 / n)) , здесь: i — номер точки, α — угол сечения, n — количество точек развертки, D — диаметр цилиндра;

Формула для вычисления значений X:

X_i = ((π * R 2 ) / n) * i , здесь: i — номер точки, α — угол сечения, n — количество точек развертки, R — радиус цилиндра, π — число Пи (прим. 3.14);

Видео:Задание 38. Как построить УСЕЧЕННЫЙ ЦИЛИНДР. Построение НВ фигуры сечения. Часть 1Скачать

Калькулятор объема цилиндра в м3

Цилиндр – это объемное тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые ее пересекают. Цилиндр (от греческого «kulindros» — ролик, каток) относится к основным геометрическим фигурам. В элементарных математических трактовках, он определяется как трехмерное тело. Объем цилиндра – один из базовых параметров, который необходимо уметь вычислять каждому человеку. Формула применяется во многих сферах промышленности, а также в строительстве, архитектуре, механике, программировании.

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Объем цилиндра по высоте и радиусу

Узнать объем полой фигуры можно моментально, воспользовавшись удобной онлайн-программой. Сервис позволяет за секунды вычислить параметры тела и получить результаты в кубических сантиметрах, метрах, литрах. Расчет производится по двум математическим формулам:

По высоте и радиусу: V = S х h.

Где V — объем, S — площадь, h — высота. Чтобы рассчитать объем необходимо площадь основания тела умножить на h. Следовательно, для этого необходимо знать две переменные.

Объём по площади основания и высоте: V = ∏ х R 2 х h

R – радиус, возведенный в квадрат. От первой формулы, расчет отличается тем, что сначала необходимо найти значение радиуса. Для этого диаметр делится на 2 или применяется формула S/2 х ∏ х H. ∏ — константа 3,14 (отношение длины окружности к диаметру).

Видео:Объем цилиндра. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Объём цилиндра через площадь основания и высоту

Программа позволяет определить объем тела по обеим формулам. Для этого необходимо только подставить цифры в соответствующие строки и нажать кнопку рассчитать. Пошаговая инструкция вычисления базовых показателей фигуры на калькуляторе по высоте и радиусу:

• в графе «h» ввести длину заданной фигуры, рядом выбрать метрику – в миллиметрах, сантиметрах, метрах;
• в строке «r» ввести радиус тела и выбрать меру длины (мм, см, м);
• в графе «Результат» определить, в чем будет выведен V – кубах, литрах.

Например, длина фигуры составляет 1,6 метра, радиус 25 сантиметров. Объем равен 314.2 литров, 314200 куб. см или 0.314 куб. м. Результат выводится моментально, с точностью до тысячной. Правильность вычисления зависит только от достоверности исходных данных.

Читайте также: Пыльник тормозного цилиндра камри

Где применяется программа

Сервис разработана для всех пользователей, чья профессиональная деятельность предполагает решение математических задач. Калькулятор будет полезен школьникам 5-9 классов, учащимся 11 классов в подготовительном процессе к ЕГЭ и контрольным срезам, а также родителям для проверки правильности решения задач.

С помощью сервиса можно решить типичные тестовые задания школьной программы, подставляя известные значения и не забывая выставлять метрические параметры (в кубических сантиметрах, кубометрах, миллиметрах, литрах). Например:

Дан цилиндр, с площадью основания 58,3 см 2 и высотой 7 см. Чтобы посчитать V следует воспользоваться расчетом через площадь и высоту.

Решение: V = 58,3 см 2 х 7 см = 408.1 см³ или 0.408 л.

Вычисление: перед использованием программы следует определить радиус основания – 16см/2 = 8 см. Затем значения подставить в нужные поля. Расчет производится на основании формулы V = 3,14 х 8 2 х 11 см = 2211.968 см³.

Следует учитывать, что параметры полого горизонтального, наклонного, косого, кругового, равностороннего цилиндров вычисляются с использованием дополнительных формул.

Видео:Объем цилиндра. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Объем цилиндра — формулы и примеры расчетов

Как найти объем цилиндра? Любой грамотный человек обязан отличить радиус от диаметра, знать, что такое высота, помнить основные формулы геометрии и уметь рассчитать объем шара или куба.

Практическое использование геометрических формул в повседневной жизни очень высоко. Рассчитать объем в кубических метрах перевозимого груза транспортной компанией, пропускную способность трубы под домом и многое другое — во всех этих и подобных им случаях поможет геометрия.

Видео:усеченный цилиндр-ортогональные проекции-изометрия-разверткаСкачать

Как найти объем цилиндра

При упоминании о цилиндре на ум приходит классический головной убор. Кроме него в окружении можно встретить много разновидностей этой фигуры.

В теории — это тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью и пересекающими её параллельными плоскостями.

Рассчитать его объем возможно следующим образом:

Как видите, формула проста и прозрачна, и если обывателю нужно, как вариант, определить объем цистерны воды, можно смело ее использовать. Хотя, если возникают сомнения в правильности расчетов, для этой цели можно использовать калькулятор и определить объем онлайн.

Формула объема цилиндра через диаметр

К сожалению, случается, что при расчете объема фигуры известны не все размеры. Так, например, может не быть данных о радиусе.

В данном случае, если знать диаметр или иметь возможность его измерить, можно воспользоваться следующей формулой:

Объем полого цилиндра

Расчет полого цилиндра нужен, когда необходимо, например, рассчитать вес полой трубы. Ее масса равна произведению плотности материала и объема.

Примеры задач с решениями

Задача №1

Высота бочки с водой равна 3 метрам, радиус составляет 0,75 метра. Рассчитать в литрах, сколько нужно жидкости, чтобы заполнить емкость наполовину?

Задача №2

В цехе подготовили заготовку цилиндра. Диаметр основания равен высоте и составляет 20 см. Нужно найти объем заготовки.

Задача №3

На производстве нужно изготовить две трубы с двумя равными поверхностями. Внешний радиус первой трубы равен 5см, а внутренний 4 см, высота 200 см. Внутренний радиус второй равен 3 см.

Сколько понадобится материала для изготовления труб?