Как разрезать цилиндр чтобы получился треугольник

Видео:FreeCad Разрезаем цилиндрСкачать

Ответы к странице 117 №443,444 ГДЗ к учебнику «Математика» 6 класс Дорофеев, Шарыгин

Ответы к параграфу 5.4 Круглые тела

Задание № 443

а) Возьмите лист бумаги прямоугольной формы и сверните из него боковую поверхность цилиндра. Чему равна высота цилиндра? Сверните из этого же листа цилиндр с другой высотой.
б) Вырежите из одного и того же круга два неравных сектора. Сверните каждый сектор в конус. У какого конуса высота оказалась больше: полученного из большего сектора или из меньшего? Придумайте, как измерить высоту конуса.

а) Высота цилиндра будет зависеть от того, взяли мы лист горизонтально или вертикально.

б) Высота больше у конуса, полученного из меньшего сектора.

Задание № 444

а) Вылепите из пластилина цилиндр и разрежьте его так, чтобы в сечении получился круг; эллипс. Как надо разрезать цилиндр, чтобы в сечении получится прямоугольник?
б) Вылепите из пластилина конус. Разрежьте его так, чтобы в сечении получился эллипс. Как надо разрезать конус, чтобы в сечении получить треугольник? круг?

а) Чтобы в сечении цилиндра получился прямоугольник, его нужно разрезать по линии, перпендикулярной основанию цилиндра.

б) Чтобы в сечении конуса получился треугольник, нужно разрезать его по линии, проходящей через вершину конуса.
Чтобы в сечении конуса получился круг, нужно разрезать его по линии, параллельно основанию конуса.

Видео:VFXLAB: 3D ТРЮКИ. КРУГИ И ЦИЛИНДРЫ.Скачать

Разрезания и складывания

Видео:Как отрезать трубу под 45 градусов с минимальным зазоромСкачать

Задача

а) Разрежьте произвольный треугольник на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник.
б) Разрежьте произвольный прямоугольник на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
в) Разрежьте два произвольных квадрата на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить один большой квадрат.

Видео:Компас 3D уроки - Как вырезать на скругленной поверхности - 7Скачать

Подсказка 1

б) Сначала составьте из произвольного прямоугольника такой прямоугольник, отношение большей стороны которого к меньшей не превышает четырех.

в) Используйте теорему Пифагора.

Видео:Перенос выреза на цилиндрСкачать

Подсказка 2

а) Проведите высоту или среднюю линию.

б) Наложите прямоугольник на квадрат, который должен получиться, и проведите «диагональ».

в) Приложите квадраты друг к другу, на стороне большего квадрата отмерьте отрезок, равный длине меньшего квадрата, после чего соедините ее с «противоположными» вершинами каждого из квадратов (см. рис. 1).

Видео:Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Решение

а) Пусть дан произвольный треугольник ABC. Проведём среднюю линию MN параллельно стороне AB, а в полученном треугольнике CMN опустим высоту CD. Кроме того, опустим на прямую MN перпендикуляры AK и BL. Тогда легко видеть, что ∆AKM = ∆CDM и ∆BLN = ∆CDN как прямоугольные треугольники, у которых равны соответствующие пара сторон и пара углов.

Отсюда вытекает метод разрезания данного треугольника и последующего перекладывания кусочков. Именно, проведём разрезы по отрезкам MN и CD. После этого переложим треугольники CDM и CDN на место треугольников AKM и BLN соответственно, как показано на рис. 2. Мы получили прямоугольник AKLB, как того и требовалось в задаче.

Отметим, что этот метод не сработает, если один из углов CAB или CBA — тупой. Так происходит из-за того, что в этом случае высота CD не лежит внутри треугольника CMN. Но это не слишком страшно: если проводить среднюю линию параллельно самой длинной стороне исходного треугольника, то в отсечённом треугольнике мы будем опускать высоту из тупого угла, а она обязательно будет лежать внутри треугольника.

б) Пусть дан прямоугольник ABCD, стороны которого AD и AB равны a и b соответственно, причём a > b. Тогда площадь того квадрата, который мы хотим получить в итоге, должна быть равной ab. Следовательно, длина стороны квадрата составляет √ab, что меньше, чем AD, но больше, чем AB.

Построим квадрат APQR, равный искомому, таким образом, чтобы точка B лежала на отрезке AP, а точка R — на отрезке AD. Пусть PD пересекает отрезки BC и QR в точках M и N соответственно. Тогда легко видеть, что треугольники PBM, PAD и NRD подобны, а кроме того, BP = (√ab – b) и RD = (a – √ab). Значит,

Следовательно, ∆PBM = ∆NRD по двум сторонам и углу между ними. Также отсюда несложно вывести равенства PQ = MC и NQ = CD, а значит, ∆PQN = ∆MCD тоже по двум сторонам и углу между ними.

Из всех приведённых рассуждений вытекает метод разрезания. Именно, сначала мы откладываем на сторонах AD и BC отрезки AR и CM, длины которых равны √ab (о том, как строить отрезки вида √ab, см. задачу «Правильные многоугольники» — врезку в разделе «Решение»). Далее, восстанавливаем перпендикуляр к отрезку AD в точке R. Теперь осталось только отрезать треугольники MCD и NRD и переложить их так, как показано на рис. 3.

Читайте также: Масло для цилиндра подъема кузова

Отметим, что для того, чтобы этим методом можно было воспользоваться, требуется, чтобы точка M оказалась внутри отрезка BK (иначе не весь треугольник NRD содержится внутри прямоугольника ABCD). То есть необходимо, чтобы

Если это условие не выполняется, то сначала нужно сделать данный прямоугольник более широким и менее длинным. Для этого достаточно разрезать его пополам и переложить кусочки так, как показано на рис. 4. Ясно, что после проведения такой операции отношение большей стороны к меньшей уменьшится в четыре раза. А значит, проделывая её достаточно большое число раз, в конце концов мы получим прямоугольник, к которому применимо разрезание с рис. 3.

в) Рассмотрим два данных квадрата ABCD и DPQR, приложив их друг к другу так, чтобы они пересекались по стороне CD меньшего квадрата и имели общую вершину D. Будем считать, что PD = a и AB = b, причём, как мы уже отмечали, a > b. Тогда на стороне DR большего квадрата можно рассмотреть такую точку M, что MR = AB. По теореме Пифагора .

Пусть прямые, проходящие через точки B и Q параллельно прямым MQ и BM соответственно, пересекаются в точке N. Тогда четырёхугольник BMQN является параллелограммом, а так как у него все стороны равны, то это ромб. Но ∆BAM = ∆MRQ по трём сторонам, откуда следует (учитывая, что углы BAM и MRQ прямые), что . Таким образом, BMQN — квадрат. А так как его площадь равна (a 2 + b 2 ), то это именно тот квадрат, который нам надо получить.

Для того чтобы перейти к разрезанию, осталось заметить, что ∆BAM = ∆MRQ = ∆BCN = ∆NPQ. После этого то, что нужно сделать, становится очевидным: необходимо отрезать треугольники BAM и MRQ и переложить их так, как изображено на рис. 5.

Видео:SketchUp: Как разрезать?Скачать

Послесловие

Прорешав предложенные задачи, читатель, вполне возможно, задумается над таким вопросом: а когда вообще можно один данный многоугольник разрезать прямыми линиями на конечное число таких кусочков, из которых складывается другой данный многоугольник? Немножко поразмыслив, он поймёт, что как минимум необходимо, чтобы площади этих многоугольников были равны. Таким образом, исходный вопрос превращается в следующий: правда ли, что если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то один из них можно разрезать на кусочки, из которых складывается второй (это свойство двух многоугольников называется равносоставленностью)? Оказывается, это действительно так, и об этом нам говорит теорема Бойяи—Гервина, доказанная в 30-х годах XIX века. Более точно, её формулировка заключается вот в чём.

Теорема Бойяи—Гервина. Два многоугольника равновелики тогда и только тогда, когда они равносоставлены.

Идея доказательства этого замечательного результата заключается в следующем. Во-первых, мы будем доказывать не само утверждение теоремы, а то, что каждый из двух данных равновеликих многоугольников можно разрезать на кусочки, из которых складывается квадрат той же площади. Для этого сначала мы разобьём каждый из многоугольников на треугольники (такое разбиение называется триангуляцией). А потом каждый треугольничек превратим в квадратик (например, при помощи метода, описанного в пунктах а) и б) настоящей задачи). Осталось сложить из большого количества маленьких квадратиков один большой — это мы умеем делать благодаря пункту в).

Аналогичный вопрос для многогранников составляет одну из знаменитых проблем Давида Гильберта (третью), представленных им в докладе на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Характерно, что ответ на него оказался отрицательным. Уже рассмотрение двух таких простейших многогранников, как куб и правильный тетраэдр, показывает, что ни один из них не получается разрезать на конечное число частей так, чтобы из них составлялся другой. И это не случайно — подобного разрезания просто не существует.

Решение третьей проблемы Гильберта было получено одним из его учеников — Максом Деном — уже в 1901 году. Ден обнаружил инвариантную величину, которая не изменялась при разрезании многогранников на кусочки и складывании из них новых фигур. Однако эта величина оказалась различной для некоторых многогранников (в частности, куба и правильного тетраэдра). Последнее обстоятельство явно указывает на тот факт, что эти многогранники равносоставленными не являются.

Видео:Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромбСкачать

Как разрезать головку сыра на 8 равных частей за три разреза

Эту задачку на переменках решали ещё наши бабушки, дедушки и родители. Так что запоминайте, развивайте себя и давайте такие коротенькие и наглядные задачи детям, потому что не во всех школах их такому научат.

Читайте также: Фольга для теплоизоляции цилиндров

Задачка очень простая, лайтовая, начальный уровень сложности, поэтому подойдет для детей всех возрастов. Перед нами головка сыра. На самом деле может быть и палка колбасы и почти всё, что угодно. Нужно разрезать её тремя разрезами на 8 частей .

Пока вы думаете, расскажу несколько фактов о головоломках. Зачем вообще их разгадывать и ломать над ними голову, если в жизни и так полно других задач, которые требуют решения? Как показывают исследования, головоломки — это тренировка для мозга. Мы ходим качать мышцы в качалку, а про мозг забываем. Так вот головоломки помогают его прокачивать.

Особо важны головоломки подобные этой даже не математикам и технарям, а людям творческих профессий, потому что головоломки как ничто иное развивают пространственное воображение и мышление. Так что художникам, дизайнерам, программистам, инженерам, архитекторам, режиссерам головоломки прямо показаны.

Ну а пока о тех ошибках, которые обычно совершают. Главная ошибка — головку сыра изображают на бумаге как просто круг. И пытаются его делить в двухмерной плоскости. Так, естественно, ничего не выйдет. Максимальное количество кусочков, которое получится в таком случае — 7. Но никак не 8.

Чтобы получилось 8 кусочков, нужно обязательно нарисовать головку сыра как 3D-модель, объемно. Тогда всё получится весьма быстро. Например, так, как на рисунке ниже. Два разреза сверху-вниз по хордам или диаметрам (красный и синий разрезы на рисунке ниже), как обычно режут сыр, и один разрез вдоль головки (зеленый разрез).

А какой вариант придумали вы? Напоминаю, что помимо этого у меня есть каналы на Ютубе , в ТикТок е и Инстаграм е.

Видео:Котика ударило током, 10 т. ВольтСкачать

Разрезания и складывания

Видео:КАК ЖЕ Я РАНЬШЕ НЕ ДОДУМАЛСЯ ДО ЭТОГО! Как распилить фанеру без сколов и заусенцев!Скачать

Задача

а) Разрежьте произвольный треугольник на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник.
б) Разрежьте произвольный прямоугольник на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
в) Разрежьте два произвольных квадрата на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить один большой квадрат.

Видео:Команда сечение | обрезка в 3д автокад | Autocad 3DСкачать

Подсказка 1

б) Сначала составьте из произвольного прямоугольника такой прямоугольник, отношение большей стороны которого к меньшей не превышает четырех.

в) Используйте теорему Пифагора.

Видео:Как сделать ИДЕАЛЬНЫЙ цилиндр из бумагиСкачать

Подсказка 2

а) Проведите высоту или среднюю линию.

б) Наложите прямоугольник на квадрат, который должен получиться, и проведите «диагональ».

в) Приложите квадраты друг к другу, на стороне большего квадрата отмерьте отрезок, равный длине меньшего квадрата, после чего соедините ее с «противоположными» вершинами каждого из квадратов (см. рис. 1).

Видео:Как вырезать часть объекта или сделать отверстие в блендер 2.9Скачать

Решение

а) Пусть дан произвольный треугольник ABC. Проведём среднюю линию MN параллельно стороне AB, а в полученном треугольнике CMN опустим высоту CD. Кроме того, опустим на прямую MN перпендикуляры AK и BL. Тогда легко видеть, что ∆AKM = ∆CDM и ∆BLN = ∆CDN как прямоугольные треугольники, у которых равны соответствующие пара сторон и пара углов.

Отсюда вытекает метод разрезания данного треугольника и последующего перекладывания кусочков. Именно, проведём разрезы по отрезкам MN и CD. После этого переложим треугольники CDM и CDN на место треугольников AKM и BLN соответственно, как показано на рис. 2. Мы получили прямоугольник AKLB, как того и требовалось в задаче.

Отметим, что этот метод не сработает, если один из углов CAB или CBA — тупой. Так происходит из-за того, что в этом случае высота CD не лежит внутри треугольника CMN. Но это не слишком страшно: если проводить среднюю линию параллельно самой длинной стороне исходного треугольника, то в отсечённом треугольнике мы будем опускать высоту из тупого угла, а она обязательно будет лежать внутри треугольника.

б) Пусть дан прямоугольник ABCD, стороны которого AD и AB равны a и b соответственно, причём a > b. Тогда площадь того квадрата, который мы хотим получить в итоге, должна быть равной ab. Следовательно, длина стороны квадрата составляет √ab, что меньше, чем AD, но больше, чем AB.

Построим квадрат APQR, равный искомому, таким образом, чтобы точка B лежала на отрезке AP, а точка R — на отрезке AD. Пусть PD пересекает отрезки BC и QR в точках M и N соответственно. Тогда легко видеть, что треугольники PBM, PAD и NRD подобны, а кроме того, BP = (√ab – b) и RD = (a – √ab). Значит,

Следовательно, ∆PBM = ∆NRD по двум сторонам и углу между ними. Также отсюда несложно вывести равенства PQ = MC и NQ = CD, а значит, ∆PQN = ∆MCD тоже по двум сторонам и углу между ними.

Читайте также: Главный тормозной цилиндр форд рейнджер 2008

Из всех приведённых рассуждений вытекает метод разрезания. Именно, сначала мы откладываем на сторонах AD и BC отрезки AR и CM, длины которых равны √ab (о том, как строить отрезки вида √ab, см. задачу «Правильные многоугольники» — врезку в разделе «Решение»). Далее, восстанавливаем перпендикуляр к отрезку AD в точке R. Теперь осталось только отрезать треугольники MCD и NRD и переложить их так, как показано на рис. 3.

Отметим, что для того, чтобы этим методом можно было воспользоваться, требуется, чтобы точка M оказалась внутри отрезка BK (иначе не весь треугольник NRD содержится внутри прямоугольника ABCD). То есть необходимо, чтобы

Если это условие не выполняется, то сначала нужно сделать данный прямоугольник более широким и менее длинным. Для этого достаточно разрезать его пополам и переложить кусочки так, как показано на рис. 4. Ясно, что после проведения такой операции отношение большей стороны к меньшей уменьшится в четыре раза. А значит, проделывая её достаточно большое число раз, в конце концов мы получим прямоугольник, к которому применимо разрезание с рис. 3.

в) Рассмотрим два данных квадрата ABCD и DPQR, приложив их друг к другу так, чтобы они пересекались по стороне CD меньшего квадрата и имели общую вершину D. Будем считать, что PD = a и AB = b, причём, как мы уже отмечали, a > b. Тогда на стороне DR большего квадрата можно рассмотреть такую точку M, что MR = AB. По теореме Пифагора .

Пусть прямые, проходящие через точки B и Q параллельно прямым MQ и BM соответственно, пересекаются в точке N. Тогда четырёхугольник BMQN является параллелограммом, а так как у него все стороны равны, то это ромб. Но ∆BAM = ∆MRQ по трём сторонам, откуда следует (учитывая, что углы BAM и MRQ прямые), что . Таким образом, BMQN — квадрат. А так как его площадь равна (a 2 + b 2 ), то это именно тот квадрат, который нам надо получить.

Для того чтобы перейти к разрезанию, осталось заметить, что ∆BAM = ∆MRQ = ∆BCN = ∆NPQ. После этого то, что нужно сделать, становится очевидным: необходимо отрезать треугольники BAM и MRQ и переложить их так, как изображено на рис. 5.

Видео:Делаю дорогие трубы по дедовской технологии.Скачать

Послесловие

Прорешав предложенные задачи, читатель, вполне возможно, задумается над таким вопросом: а когда вообще можно один данный многоугольник разрезать прямыми линиями на конечное число таких кусочков, из которых складывается другой данный многоугольник? Немножко поразмыслив, он поймёт, что как минимум необходимо, чтобы площади этих многоугольников были равны. Таким образом, исходный вопрос превращается в следующий: правда ли, что если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то один из них можно разрезать на кусочки, из которых складывается второй (это свойство двух многоугольников называется равносоставленностью)? Оказывается, это действительно так, и об этом нам говорит теорема Бойяи—Гервина, доказанная в 30-х годах XIX века. Более точно, её формулировка заключается вот в чём.

Теорема Бойяи—Гервина. Два многоугольника равновелики тогда и только тогда, когда они равносоставлены.

Идея доказательства этого замечательного результата заключается в следующем. Во-первых, мы будем доказывать не само утверждение теоремы, а то, что каждый из двух данных равновеликих многоугольников можно разрезать на кусочки, из которых складывается квадрат той же площади. Для этого сначала мы разобьём каждый из многоугольников на треугольники (такое разбиение называется триангуляцией). А потом каждый треугольничек превратим в квадратик (например, при помощи метода, описанного в пунктах а) и б) настоящей задачи). Осталось сложить из большого количества маленьких квадратиков один большой — это мы умеем делать благодаря пункту в).

Аналогичный вопрос для многогранников составляет одну из знаменитых проблем Давида Гильберта (третью), представленных им в докладе на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Характерно, что ответ на него оказался отрицательным. Уже рассмотрение двух таких простейших многогранников, как куб и правильный тетраэдр, показывает, что ни один из них не получается разрезать на конечное число частей так, чтобы из них составлялся другой. И это не случайно — подобного разрезания просто не существует.

Решение третьей проблемы Гильберта было получено одним из его учеников — Максом Деном — уже в 1901 году. Ден обнаружил инвариантную величину, которая не изменялась при разрезании многогранников на кусочки и складывании из них новых фигур. Однако эта величина оказалась различной для некоторых многогранников (в частности, куба и правильного тетраэдра). Последнее обстоятельство явно указывает на тот факт, что эти многогранники равносоставленными не являются.

🎥 Видео

Компас 3D для начинающих. Урок № 3 Вырезать выдавливаниемСкачать

2. Blender 3.3 LTS. Нож | Knife (Инструмент)Скачать

Занятие 2 - Приемы лепки и геометрические фигурыСкачать

Компас 3D уроки - Как сделать наклонный вырез детали - 5Скачать

Видео по запросу: отверстия в цилиндреСкачать

разрезать объект на пополам #blender 3d #графический дизайнСкачать