Как развернуть прямой цилиндр

Видео:Уроки Компас 3D.Развертка цилиндраСкачать

Круглый прямой цилиндр, развертка и формула для ее площади

Цилиндр — это одна из пространственных фигур, которая является объектом изучения стереометрии. Важная характеристика любой фигуры — это площадь ее поверхности. В данной статье рассмотрим, что собой представляет развертка цилиндра, а также покажем, как вычислить ее площадь.

Видео:Развертка цилиндраСкачать

Цилиндр как фигура геометрии

Предположим, что у нас имеется некоторая плавная кривая. Это может быть круг, эллипс, парабола и так далее. Возьмем отрезок произвольной длины, который не лежит в плоскости кривой, и опишем с помощью него поверхность, следуя направлению кривой и транслируя отрезок параллельно самому себе. Полученная поверхность называется цилиндрической или просто цилиндром. Отмеченная кривая называется директрисой (направляющей), а отрезок — генератрисой (образующей).

Если к цилиндрической поверхности добавить еще две плоские одинаковые фигуры, ограничивающие эту поверхность с торцов, то полученное тело также называется цилиндром. Оно состоит из двух равных оснований и цилиндрической поверхности.

Для наглядного представления описанной фигуры ниже приведен рисунок. На нем изображен эллиптический цилиндр, имеющий полуоси a и b и высоту h (дистанция между основаниями).

Видео:Построение развертки цилиндра. Урок 37.(Часть2.ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)Скачать

Круглый прямой цилиндр

Пусть директрисой будет окружность некоторого радиуса. Тогда образованная генератрисой фигура будет называться круглым цилиндром. Тем не менее генератриса относительно плоскости, ограниченной директрисой, может быть направлена произвольным образом. Поэтому в общем случае говорят о наклонном круглом цилиндре. Если же генератриса будет перпендикулярна плоскостям основания, то цилиндр называется прямым. Он показан на рисунке ниже.

Здесь AB = DC — радиус цилиндра, AD = BC = h — высота фигуры. Для прямого цилиндра высота всегда равна длине образующей. Отрезок AD обозначает ось цилиндра — прямая, соединяющая две центральные точки оснований. От оси цилиндра все точки боковой поверхности лежат на одном расстоянии, равном радиусу фигуры.

Далее в статье будем рассматривать развертку поверхности цилиндра, круглого и прямого.

Читайте также: Антифриз для алюминиевых блоков цилиндров автомобиля

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Развертка круглого прямого цилиндра

Когда говорят о развертке цилиндра, то подразумевают общую площадь его поверхности, представленную плоскими фигурами. Круглый прямой цилиндр образован двумя кругами, имеющими одинаковые радиусы, и одной боковой поверхностью, которая эти круги соединяет друг с другом.

На рисунке показан бумажный цилиндр. Как осуществляется построение развертки цилиндра? Возьмем воображаемые ножницы и отрежем одно основание вдоль окружности. Затем проделаем аналогичные действия со вторым основанием. Боковую поверхность разрежем вдоль генератрисы, то есть параллельно оси фигуры, и развернем ее. Таким образом, мы получили развертку, которая показана на рисунке ниже.

Очевидно, что она состоит из двух одинаковых кругов. Что касается цилиндрической поверхности, то в разрезанном виде она представлена прямоугольником. Развертку удобно использовать при определении площади поверхности рассматриваемой фигуры.

Видео:Как сделать развертку цилиндра в SolidWorksСкачать

Площадь развертки цилиндра

Выше мы показали, как можно получить развертку фигуры. Чтобы рассчитать ее площадь, необходимо сложить площади для всех ее частей, то есть для двух круглых оснований и одного прямоугольника.

Обозначим радиус основания буквой r, а высоту фигуры — буквой h. Площадь одного основания равна площади круга, то есть:

Здесь pi — число Пи, приблизительно равное 3,14.

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, представляющего боковую поверхность фигуры в развернутом виде, необходимо знать две его стороны. Одна из них равна высоте h. Вторая, как можно догадаться, соответствует длине директрисы, то есть длине окружности. Обозначим ее l. Тогда можно записать следующие равенства:

Здесь S_b — площадь прямоугольника, равная площади цилиндрической поверхности.

Учитывая, что фигура имеет два основания, складываем рассчитанные величины, получаем общую площадь развертки цилиндра:

Площадь S фигуры однозначно определяется через ее радиус и высоту.

Покажем, как использовать это равенство для решения геометрической задачи.

Видео:Быстрые уроки Blender. Как сделать цилиндр с отверстиями.Скачать

Задача на нахождение радиуса фигуры

Известно, что общая поверхность круглого прямого цилиндра составляет 60 см 2 . Чему равен радиус основания цилиндра, если его высота равна 7 см, а фигура имеет лишь одно основание.

Описанный в условии задачи цилиндр представляет собой бочку без крышки, поэтому площадь его поверхности образована не двумя, а одним основанием.

Если учесть названный факт, тогда формула для площади фигуры запишется в следующем виде:

Подставим все известные из условия величины в это равенство, получим:

Читайте также: Пропуски в цилиндрах киа соренто

Мы получили классическое полное квадратное уравнение. Его решение даст искомое значение радиуса r. Решаем через дискриминант:

При решении уравнения отрицательный корень был отброшен, в виду его нефизического значения.

Таким образом, параметры открытого цилиндра из условия задачи составляют 7 см в высоту и 2,5 см в диаметре.

Видео:Видеоурок по AutoCAD 2020: команда создания 3D цилиндраСкачать

Построение развертки цилиндра. Развертка усеченного цилиндра. Формула развертки цилиндра.

Видео:Уроки Solidworks.Развёртка цилиндраСкачать

Построение развертки цилиндра. Развертка усеченного цилиндра. Формула развертки цилиндра.

Развертка прямого кругового цилиндра.

Цилиндр диаметром D и высотой H показан на рис. 1. Развертка представляет собой прямоугольник длиной с = πD и высотой Н.

Прямой круговой цилиндр, усеченный плоскостью, параллельной его оси, показан на рис. 2. Развертка представляет собой прямоугольник высотой Н и длиной L = b + k, где b = πDᵠ/360° и k = 2 √((D/2) 2 – a 2 ) = 2a tg (ᵠ/2).

Развертка прямого кругового цилиндра из ленты. Расчет развертки цилиндра.

Цилиндр показан на рис. 3. При определении развертки можно использовать следующие зависимости:

n — число полных витков на общей длине цилиндра H, Н = nt;

Развертка усеченного цилиндра.

Для получения развертки горизонтальная проекция цилиндра делится на равные части и точки деления нумеруются (в данном случае от 0 до 12). Из точек деления проводятся вертикали до пересечения верхнего основания в точках 0′₁, 1′₁…, 6′₁. На продолжении прямой 0’6′ откладывается отрезок длиной с = πD, который делится на принятое число равных частей. Из точек деления 0₀, 1₀, …, 6₀ строятся перпендикуляры до их пересечения с соответствующими горизонтальными линиями в точках 0 0 ₁, 1 0 ₁, …, 6 0 ₁. Полученные точки соединяются плавной кривой. Ввиду симметричности остальные точки кривой находит аналогичным путем.

Линию развертки можно определить и таким способом. На расстоянии h1 = (h + H)/2 от линии 0 0 12 0 проводится параллельная прямая. Из центра S, лежащего на прямой, описывается полуокружность радиусом А. Полуокружность делится на равные части, число которых равно половине точек деления развертки (в данном случае на шесть). Через точки деления 0ꞋꞋ, 1ꞋꞋ, …, 6ꞋꞋ проводятся горизонтальные прямые до пересечения вертикалей, проходящих через 0 0 , 1 0 , … , 12 0 . Полученные точки 0 0 ₁, 1 0 ₁, …, 12 0 ₁ соединяются плавной кривой.

Верхнее основание цилиндра представляет собой эллипс с полуосями a = D/2 cos α = 0′₁3′₁ и b = D/2.

При аналитическом определении координат точек кривой развертки цилиндра, усеченного плоскостью под углом α (рис. 5), могут быть использованы следующие зависимости:

Читайте также: Как узнать выработку в цилиндрах

x_k = kx₁ = πD/2 kε/180°; y_k = D/2 tg α sin kε = A sin kε = A sin ᵠ_i,

где х₁ = πD/ (2n) = πD/2 ε/180° — длина дуги окружности основания цилиндра, разделенная на 2n равных частей; ε = 360°/2n — центральный угол, соответствующий одному делению; k — порядковый номер точки; A = (H — h)/2 = (D/2) tg α — амплитуда синусоиды; ᵠ_i= kε.

Значения sin kε для наиболее часто употребляемых значений 2n приведены в табл. 1.

Таблица 1. Значения sin kε и sin 2 kε

Примечание: Значения sin kε и sin 2 kε даны для одной четверти окружности. В остальных четвертях они повторяются.

Ввиду симметричности синусоиды достаточно определить координаты точек одной четверти окружности, например от у₀ до у₃. Остальные координаты имеют соответственно равные значения. Например: у₄ — у₂, …, у₁₁ = — у₁ и т. д.

🔍 Видео

Выравниваем UV развертку Blender 2.9Скачать

Развёртка цилиндраСкачать

Тела вращения. Урок 1 Цилиндр.Конус.Шар.Скачать

Геометрия 11 класс (Урок№6 - Тела вращения. Цилиндр.)Скачать

Усеченный цилиндр: проекции сечения, изометрия, развертка поверхностиСкачать

усеченный цилиндр-ортогональные проекции-изометрия-разверткаСкачать

Задание 38. Как построить УСЕЧЕННЫЙ ЦИЛИНДР. Построение НВ фигуры сечения. Часть 1Скачать

Проекции точек на поверхности цилиндра. Урок 36.(Часть2.ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)Скачать

Построение линии пересечения поверхности цилиндра с проецирующей плоскостиСкачать

КОМПАС-3D - построение цилиндраСкачать

Как построить ЛИНИЮ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ двух ЦИЛИНДРОВСкачать