Глава VI. Простейшие криволинейные поверхности и тела вращения.
§ 76*. Цилиндрические поверхности
Если через каждую точку кривой L провести прямую, параллельно данному вектору а, то получим поверхность, которая называется цилиндрической поверхностью. Прямые, параллельные вектору а и принадлежащие цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности, а кривая L называется направляющей цилиндрической поверхности (рис. 225).
Если в сечении цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной к ее образующим, (в нормальном сечении) получается окружность, то цилиндрическая поверхность называется круговой. Если в сечении получается эллипс, то цилиндрическую поверхность называют эллиптической, если гипербола — гиперболической, если парабола — параболической.
Пусть в пространстве дана прямоугольная система координат Oxyz, и пусть в плоскости хОу дана кривая L, уравнение которой в этой плоскости имеет вид
Составим уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными вектору a = (α ; β; γ), γ =/= 0, если за направляющую принята кривая L (рис.226).
Рассмотрим произвольную точку этой поверхности М(х; у; z). Образующая l, проходящая через точку М, пересечет плоскость хОу в точке N, лежащей на кривой L. Если координаты точки N в пространстве обозначить (х1; у1; 0), то вектор MN > имеет координаты
(x1 — x; у1— у ; 0 — z).
По определению цилиндрической поверхности векторы а и MN > коллинеарны, т. е.
следовательно, имеем систему уравнений
Решив эту систему уравнений относительно λ, x1и у1, получим
Так как точка N лежит на кривой L, то F(х1; у1) = 0. Заменив х1 и у1 по формулам (2), получим уравнение
которое, очевидно, и будет уравнением данной цилиндрической поверхности.
Задача 1. Составить уравнение цилиндрической поверхности, у которой направляющая лежит в плоскости хОу и имеет уравнение х 2 + у 2 = 4, а образующие параллельны вектору а = (0; 1; 1).
Так как, согласно условию задачи F(x; у) = х 2 + у 2 — 4 и α = 0, β = 1, γ = 1, то в силу формулы (3) уравнение данной цилиндрической поверхности имеет вид
Эта поверхность изображена на рис. 227.
Аналогично можно показать, что если направляющая цилиндрической поверхности L лежит в плоскости xOz и определяется уравнением F(x; z) = 0, а вектор а не параллелен этой плоскости, то цилиндрическая поверхность имеет уравнение
Наконец, если L определяется уравнением F(у; z) = 0 и а не параллелен плоскости yOz, то уравнение цилиндрической поверхности имеет вид
Читайте также: Цилиндр перевод с английского
Отметим, что если направляющая цилиндрической поверхности лежит в плоскости
хОу, а образующие параллельны оси Oz, то уравнение цилиндрической поверхности в пространстве совпадает с уравнением направляющей и имеет вид
Уравнение (4), как уравнение множества точек плоскости, определяет кривую L, в то же самое время уравнение (4), как уравнение множества точек пространства, определяет цилиндрическую поверхность.
можно истолковать двояко: если это уравнение множества точек плоскости, то это уравнение линии L, лежащей в плоскости своих переменных; если же это уравнение множества точек пространства, то каждое из этих уравнений определяет цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующими, параллельными оси oтсутствующей переменной.
Рассмотрим несколько примеров.
на плоскости хОу определяет окружность с центром в начале координат и радиусом r (рис. 228, а).
Это жe уравнение в пространстве определяет круговую цилиндрическую поверхность, направляющей которой является окружность, лежащая в плоскости хОу, а образующие параллельны оси Oz (рис. 228, б).
на плоскости xOz определяет окружность с центром в начале координат и радиусом
r = 2 (рис. 229, а).
Это же уравнение в пространстве определяет круговую цилиндрическую поверхность, направляющей которой является окружность, лежащая в плоскости xOz, а образующие параллельны оси Оу (рис. 229, б).
и на плоскости, и в пространстве определяет пустое множество, так как сумма неотрицательных чисел не может быть числом отрицательным.
на плоскости хОу определяет эллипс с центром в начале координат и полуосями а и b (рис. 230, а).
Это же уравнение в пространстве определяет эллиптическую цилиндрическую поверхность с направляющей в плоскости хОу и образующими, параллельными оси Oz (рис. 230, б).
на плоскости хОу определяет гиперболу с центром в начале координат и полуосями а и b (рис. 231, а).
В пространстве это уравнение определяет гиперболическую цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz (рис. 231, б).
на плоскости хОу определяет параболу (рис. 232, а), а в пространстве — параболическую цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz (рис. 232, б).
Задача 2. Определить вид поверхности 3x 2 + 6y 2 — 24 = 0.
Данное уравнение приведем к виду:
Это уравнение в пространстве определяет эллиптическую цилиндрическую поверхность с направляющей в плоскости хОу и образующими, параллельными оси Oz.