Как связаны элементы цилиндра с разверткой его боковой поверхности

Тела вращения – это объемные тела, которые возникают при вращении некой плоской фигуры, которая ограничена кривой и крутится вокруг оси, лежащей в той же плоскости. К телам вращения относятся цилиндр, конус и шар.

Цилиндр — это объемное тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Возьмем прямоугольник АВСD. Будем вращать этот прямоугольник против часовой стрелки вокруг стороны АD.

Прямая АD — ось цилиндра.

Отрезок АD — высота цилиндра.

Основания цилиндра — два равных круга образованных при вращении сторон АВ и DC (круги равные, т.к. стороны АВ и DC равны как противоположные стороны прямоугольника).

Радиус цилиндра — радиус оснований цилиндра.

Цилиндрическая поверхность (или боковая поверхность цилиндра) — поверхность, образованная при вращении стороны ВС и состоящая из отрезков, параллельных оси цилиндра (АD).

Образующие цилиндра — отрезки, из которых составлена боковая поверхность цилиндра (на рисунке выше указаны образующие ВС и ЕК).

Определение

Объем цилиндра

Доказательство:

Дано: цилиндр с площадью основания S, высотой h и объемом V.

Доказать: V = Sh.

Доказательство:

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим цилиндр и призму с площадями оснований, равными S, и высотами, равными h, «стоящие» на одной плоскости.

Любая секущая плоскость, параллельная плоскости, на которой стоят цилиндр и призма, дает в качестве сечения цилиндра круг площади S, а в качестве сечения призмы — многоугольник площади S. Значит, объем цилиндра равен объему призмы. Но объем призмы равен Sh. Поэтому и объем цилиндра равен Sh, т.е. V = Sh. Что и требовалось доказать.

Площадь боковой поверхности цилиндра

Рассмотрим цилиндр с радиусом r и высотой h.

Представим, что его боковую поверхность разрезали по одной из его образующих АD и развернули так, что получился прямоугольник АDА₁D₁, стороны АD и А₁D₁ которого являются двумя краями разреза боковой поверхности цилиндра. Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра.

Сторона АА₁ прямоугольника АDА₁D₁ равна длине окружности основания, а сторона АD равна высоте цилиндра, т.е. АА₁ = 2 r, АВ = h. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, значит, площадь прямоугольника АDА₁D₁ равна 2 rh.

Площадь Sбок боковой поверхности цилиндра равна площади ее развертки, т.е. Sбок = 2rh.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Читайте также: Цилиндр приора где второй

Видео:Геометрия. 11 класс. Цилиндр, его элементы. Развертка, площади боковой и полной поверхности цилиндраСкачать

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Стереометрия:

Видео:Построение развертки цилиндра. Урок 37.(Часть2.ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ)Скачать

Цилиндр

Цилиндром ( прямым круговым цилиндром ) называется тело, состоящее из двух кругов ( оснований цилиндра ), совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие при параллельном переносе точки этих кругов. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований, называются образующими цилиндра.

Цилиндр — тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, пересекающими образующие данной поверхности.

Цилиндрическая поверхность — поверхность, которая образуется движением прямой линии вдоль некоторой кривой. Прямую называют образующей цилиндрической поверхности, а кривую линию — направляющей цилиндрической поверхности.

Боковая поверхность цилиндра — часть цилиндрической поверхности, которая ограничена параллельными плоскостями.

Основания цилиндра — части параллельных плоскостей, отсекаемые боковой поверхностью цилиндра.

Цилиндр называется прямым (См.Рис.1), если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае цилиндр называется наклонным.

Круговой цилиндр — цилиндр, основания которого являются кругами.

Прямой круговой цилиндр ( просто цилиндр ) – это тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. См.Рис.1.

Радиус цилиндра – радиус его основания.

Образующая цилиндра — образующая цилиндрической поверхности.

Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.

Ось цилиндра параллельна его образующей и является осью симметрии цилиндра.

Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра. См.Рис.2.

Развёртка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и длине окружности основания.

Площадь боковой поверхности цилиндра — площадь развёртки боковой поверхности. $$S_ =2\pi\cdot rh$$ , где h – высота цилиндра, а r – радиус основания.

Площадь полной поверхности цилиндра — площадь, которая равна сумме площадей двух оснований цилиндра и его боковой поверхности, т.е. выражается формулой: $$S_ =2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , где h – высота цилиндра, а r – радиус основания.

Объем всякого цилиндра равен произведению площади основания на высоту: $$V = S\cdot h$$ Объем круглого цилиндра: $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , где (r — радиус основания).

Призма есть частный вид цилиндра (образующие параллельны боковым ребрам; направляющая — многоугольник, лежащий в основании). С другой стороны, произвольный цилиндр можно рассматривать как выродившуюся («сглаженную») призму с очень большим числом очень узких граней. Практически цилиндр неотличим от такой призмы. Все свойства призмы сохраняются и в цилиндре.

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Что такое цилиндр: определение, элементы, виды, варианты сечения

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы, виды и возможные варианты сечения одной из самых распространенных трехмерных геометрических фигур – цилиндра. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Читайте также: Форд эксплорер сколько цилиндров

Видео:Развертка цилиндраСкачать

Определение цилиндра

Далее мы подробно остановимся на прямом круговом цилиндре как самой популярной разновидности фигуры. Другие ее виды будут перечислены в последнем разделе данной публикации.

Прямой круговой цилиндр – это геометрическая фигура в пространстве, полученная путем вращения прямоугольника вокруг своей стороны или оси симметрии. Поэтому такой цилиндр иногда называют цилиндром вращения.

Цилиндр на рисунке выше получен в результате вращения прямоугольного треугольника ABCD вокруг оси O₁O₂ на 180° или прямоугольников ABO₂O₁/O₁O₂CD вокруг стороны O₁O₂ на 360°.

Видео:Цилиндр и его элементыСкачать

Основные элементы цилиндра

• Основания цилиндра – два одинаковых по размеру/площади круга с центрами в точках O₁ и O₂.
• R – радиус оснований цилиндра, отрезки AD и BC – диаметры (d).
• O₁O₂ – ось симметрии цилиндра, одновременно является его высотой (h).
• l (AB, CD) – образующие цилиндра и одновременно с этим стороны прямоугольника ABCD. Равны высоте фигуры.

Развёртка цилиндра – боковая (цилиндрическая) поверхность фигуры, развернутая в плоскость; является прямоугольником.

• длина данного прямоугольника равна длине окружности основания цилиндра ( 2πR );
• ширина равна высоте/образующей цилиндра.

Примечание: формулы для нахождения площади поверхности и объема цилиндра представлены в отдельных публикациях.

Видео:Виды разверток по металлу. Цилиндрическая, коническая, разжимные и раздвижные разверткиСкачать

Геометрические тела. Цилиндр.

Цилиндр − это геометрическое тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью и 2-мя плоскостями, которые параллельны и пересекают ее.

ABCDEFG и abcdefg — это основания цилиндра. Расстояние между основаниями (KM) – высота цилиндра.

Цилиндрические сечения боковой поверхности кругового цилиндра.

Сечения, которые идут параллельно к основанию, будут являться кругами одного радиуса. Сечения, которые параллельны образующим цилиндра — это пары параллельных прямых (AB || CD). Сечения, не параллельные ни основанию, ни образующим, являются эллипсами.

Цилиндрическая поверхность образуется посредством движения прямой параллельно самой себе. Точка прямой, которая выделена, перемещается вдоль заданной плоской кривой – направляющей. Эта прямая называется образующей цилиндрической поверхности.

Прямой цилиндр – это такой цилиндр, в котором образующие перпендикулярны основанию. Если образующие цилиндра не перпендикулярны основанию, то это будет наклонный цилиндр.

Круговой цилиндр – цилиндр, основанием которого является круг.

Круглый цилиндр – такой цилиндр, который одновременно и прямой, и круговой.

Прямой круговой цилиндр определяется радиусом основания R и образующей L, которая равна высоте цилиндра H.

Призма – это частный случай цилиндра.

Видео:11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать

Формулы нахождения элементов цилиндра.

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Площадь полной поверхности прямого кругового цилиндра:

Объем прямого кругового цилиндра:

Прямой круговой цилиндр со скошенным основанием либо кратко скошенный цилиндр определяют с помощью радиуса основания R, минимальной высоты h₁ и максимальной высоты h₂.

Площадь боковой поверхности скошенного цилиндра:

Площадь оснований скошенного цилиндра:

Площадь полной поверхности скошенного цилиндра:

Объем скошенного цилиндра:

S_бок — площадь боковой поверхности;

Видео:Усеченный цилиндр: проекции сечения, изометрия, развертка поверхностиСкачать

Геометрия. 11 класс

Тела вращения. Цилиндр

Тела вращения. Цилиндр

Необходимо запомнить

На этом уроке нами была раскрыта тема «Тела вращения. Цилиндр».

Цилиндр это тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами. Или тело, полученное в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Круги называются основаниями цилиндра; отрезок, перпендикулярный основаниям и соединяющий точки окружностей верхнего и нижнего оснований, называется образующей цилиндра.

Ось вращения называется осью цилиндра.

Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра.

Развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник.

Площадь боковой поверхности можно найти по формуле:

Площадь полной поверхности – это сумма площади боковой поверхности и двух площадей оснований.

Тела вращения. Цилиндр

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Тела вращения. Цилиндр

Вообще, произвольный цилиндр – это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями (основаниями цилиндра).

Цилиндрическая поверхность – поверхность, получаемая при движении прямой (образующей L) параллельно самой себе, вдоль плоской кривой направляющей.

Основания цилиндра – плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя плоскостями.

Форму таких цилиндров достаточно часто имеют детали различных механизмов.

Цилиндрическая поверхность может быть и незамкнутой:

Призма – это тоже цилиндр (основание – многоугольник).

Видео:Задание 38. Как начертить РАЗВЕРТКУ УСЕЧЕННОГО ЦИЛИНДРАСкачать

Тела вращения

Так называемые тела вращения занимали умы учёных ещё в далёкие времена.

Архимед установил, что объем шара равен удвоенному объему конуса с радиусом основания, равным радиусу шара, и высотой, равной диаметру шара, или двум третьим объема цилиндра с таким же радиусом основания и такою же высотой. Эти три тела с данным соотношением называют «телами Архимеда». Он завещал высечь на надгробном камне чертеж к теореме. Римский военачальник Марцелл, поклонник таланта Архимеда, исполнил желание ученого, воздвигнув в его честь гробницу, на которой был изображено:

В работах другого великого учёного Леонарда Эйлера тела вращения занимают далеко не последнее место.

Слово «цилиндр» произошло от греческого слова «кюлиндрос», обозначающего «валик», «каток». В 19 веке в моде были твёрдые шляпы с небольшими полями, которые так и назывались цилиндрами из-за большого сходства с геометрической фигурой цилиндром.

🎦 Видео

Лекция #13Скачать

Геометрия 11 класс (Урок№6 - Тела вращения. Цилиндр.)Скачать

Уроки Компас 3D.Развертка цилиндраСкачать

Уроки Solidworks.Развёртка цилиндраСкачать

Развертка усеченного цилиндраСкачать

Как сделать развертку цилиндра в SolidWorksСкачать

Тела вращения. ЦилиндрСкачать

развертка цилиндаСкачать

Листовое тело. Развертка боковой поверхности цилиндра.Скачать