Цилиндр является одной из простых объемных фигур, которую изучают в школьном курсе геометрии (раздел стереометрия). При этом часто возникают задачи на расчет объема и массы цилиндра, а также на определение площади его поверхности. Ответы на отмеченные вопросы даны в этой статье.
Видео:Урок 28 (осн). Вычисление массы и объема тела по плотностиСкачать
Что такое цилиндр?
Перед тем как переходить к ответу на вопрос, чему равна масса цилиндра и его объем, стоит рассмотреть, что представляет собой эта пространственная фигура. Сразу необходимо отметить, что цилиндр — это трехмерный объект. То есть в пространстве можно измерить три его параметра по каждой из осей в декартовой прямоугольной системе координат. В действительности для однозначного определения размеров цилиндра достаточно знать всего два его параметра.
Цилиндр — это объемная фигура, образованная двумя кругами и цилиндрической поверхностью. Чтобы яснее представить этот объект, достаточно взять прямоугольник и начать вращать его вокруг какой-либо его стороны, которая будет осью вращения. В этом случае вращающийся прямоугольник опишет фигуру вращения — цилиндр.
Две круглые поверхности называются основаниями цилиндра, они характеризуются определенным радиусом. Расстояние между основаниями называется высотой. Два основания соединены между собой цилиндрической поверхностью. Линия, проходящая через центры обоих кругов, называется осью цилиндра.
Видео:Плотность и масса. Определение плотности твёрдого тела с помощью весов и измерительного цилиндраСкачать
Объем и площадь поверхности
Как можно заметить из вышесказанного, цилиндр определяется двумя параметрами: высотой h и радиусом его основания r. Зная эти параметры, можно рассчитать все другие характеристики рассматриваемого тела. Ниже приводятся основные из них:
- Площадь оснований. Эта величина рассчитывается по формуле: S1 = 2*pi*r 2 , где pi — число пи, равное 3,14. Цифра 2 в формуле появляется потому, что цилиндр имеет два одинаковых основания.
- Площадь цилиндрической поверхности. Ее можно рассчитать так: S2 = 2*pi*r*h. Понять эту формулу просто: если цилиндрическую поверхность разрезать вертикально от одного основания к другому и развернуть, то получится прямоугольник, высота которого будет равна высоте цилиндра, а ширина будет соответствовать длине окружности основания объемной фигуры. Поскольку площадь полученного прямоугольника — это произведение его сторон, которые равны h и 2*pi*r, то получается представленная выше формула.
- Площадь поверхности цилиндра. Она равна сумме площадей S1 и S2, получаем: S3 = S1 + S2 = 2*pi*r 2 + 2*pi*r*h = 2*pi*r*(r+h).
- Объем. Эта величина находится просто, необходимо лишь умножить площадь одного основания на высоту фигуры: V = (S1/2)*h = pi*r 2 *h.
Читайте также: Что такое цилиндры в мотиках
Видео:Как измерить плотность металла (и любого твердого вещества)Скачать
Определение массы цилиндра
Наконец, стоит перейти непосредственно к теме статьи. Как определить массу цилиндра? Для этого необходимо знать его объем, формула для вычисления которого была представлена выше. И плотность вещества, из которого он состоит. Масса определяется по простой формуле: m = ρ*V, где ρ — плотность материала, образующего рассматриваемый объект.
Понятие плотности характеризует массу вещества, которое находится в единице объема пространства. Например. Известно, что железо имеет большую плотность, чем дерево. Это означает, что в случае одинаковых объемов вещества железа и дерева первое будет иметь намного большую массу, чем второе (приблизительно в 16 раз).
Видео:Физика 7 класс (Урок№10 - Плотность и масса.)Скачать
Расчет массы медного цилиндра
Рассмотрим простую задачу. Необходимо найти массу цилиндра, сделанного из меди. Для определенности пусть цилиндр имеет диаметр 20 см и высоту 10 см.
Перед тем как приступать к решению задачи, следует разобраться с исходными данными. Радиус цилиндра равен половине его диаметра, значит r = 20/2 = 10 см, высота же составляет h = 10 см. Поскольку рассматриваемый в задаче цилиндр сделан из меди, то, обращаясь к справочным данным, выписываем значение плотности этого материала: ρ = 8,96 г/см 3 (для температуры 20 °C).
Теперь можно приступать к решению задачи. Для начала рассчитаем объем: V =pi*r 2 *h = 3,14*(10) 2 *10 = 3140 см 3 . Тогда масса цилиндра будет равна: m = ρ*V = 8,96 * 3140 = 28134 грамм или приблизительно 28 килограмм.
Следует обратить внимание на размерность единиц во время их использования в соответствующих формулах. Так, в задаче все параметры были представлены в сантиметрах и граммах.
Видео:Цилиндр - расчёт площади, объёма.Скачать
Однородный и полый цилиндры
Из полученного выше результата можно видеть, что медный цилиндр с относительно малыми размерами (10 см) обладает большой массой (28 кг). Это связано не только с тем, что он сделан из тяжелого материала, но и с тем, что он является однородным. Этот факт важно понимать, поскольку приведенную выше формулу для расчета массы можно использовать только в случае, если цилиндр полностью (снаружи и внутри) состоит из одного и того же материала, то есть является однородным.
Читайте также: Ремкомплект главного тормозного цилиндра уаз патриот без абс
На практике же часто используют полые цилиндры (например, цилиндрические бочки для воды). То есть они сделаны из тонких листов какого-то материала, а внутри являются пустыми. Для полого цилиндра указанной формулой расчета массы пользоваться нельзя.
Видео:Расчёт массы и объёма тела по его плотности. Физика 7 классСкачать
Расчет массы полого цилиндра
Интересно рассчитать, какой массой будет обладать цилиндр из меди, если он является пустым внутри. Для примера пусть он будет сделан из тонкого медного листа толщиной всего d = 2 мм.
Чтобы решить эту задачу, нужно найти объем самой меди, из которой сделан объект. А не объем цилиндра. Поскольку толщина листа мала, по сравнению с размерами цилиндра (d = 2 мм и r = 10 см), тогда объем меди, из которой изготовлен предмет, можно найти, если умножить всю площадь поверхности цилиндра на толщину медного листа, получаем: V = d*S3 = d*2*pi*r*(r+h). Подставляя данные из предыдущей задачи, получим: V = 0,2*2*3,14*10*(10+10) = 251,2 см 3 . Массу полого цилиндра можно получить, если умножить полученный объем меди, который потребовался для его изготовления, на плотность меди: m = 251,2 * 8,96 = 2251 г или 2,3 кг. То есть рассмотренный полый цилиндр весит в 12 (28,1/2,3) раз меньше, чем однородный.
Видео:Определение плотности твердого тела. 7 классСкачать
kak.manesu.com
Плотность вычисляется по формуле:
где — объем цилиндра.
Вывод формул погрешностей объема:
отсюда относительная погрешность будет равна :
Вывод формулы погрешностей плотности.
Логарифмируем выражение ρ=m/Vц, получаем: ln ρ=ln m-ln Vц
меняя “d” на “ D“ и знак “—” на “+”, получаем формулы погрешностей:
В формулы расчета погрешностей входят средние величины, которые определяются:
(При расчетах погрешностей диаметра и массы использовать формулу Питерса и коэффициент Стьюдента).
Порядок выполнения работы.
1. Измеряем линейные размеры цилиндра.
2. Измеряем массу цилиндра.
3. Рассчитываем средние значения и абсолютные погрешности высоты, диаметра, массы.
4. Рассчитываем значения величин и абсолютных и относительных погрешностей объема и плотности цилиндра.
Для объема и плотности находятся сразу средние значения погрешностей.
| N | h, см | dц, см | m, г | V, см 3 | ρ, г/см 3 |
| 1 | 10.010 | 3.030 | 110.005 | ||
| 2 | 10.000 | 3.000 | 110.003 | ||
| 3 | 9.990 | 3.080 | 110.002 | ||
| 4 | 10.010 | 2.990 | 110.035 | ||
| 5 | 10.010 | 3.000 | 110.002 | ||
| Ср. знач. | 10.000 | 3.000 | 110.0 | 70.686 | 1.556 |
| N | Dh, см | Ddц, см | Dm, г | DV, см 3 | eV, % | Dρ, г/см 3 | eρ, % |
| 1 | 0.010 | 0.030 | 0 | ||||
| 2 | 0 | 0 | 0.0120 | ||||
| 3 | 0.010 | 0.020 | 0.00 | ||||
| 4 | 0.010 | 0.0 | 0 | ||||
| 5 | 0.010 | 0 | 0 | ||||
| Ср. знач. | 0.008 | 0.012 | 0.00 | 0.532 | 0.014 | 0.82 |
Читайте также: Цилиндр для замка 35х40 с вертушкой
II. Определение плотности твердого тела неправильной формы.
Порядок выполнения работы и расчетные формулы
1. Определим цену деления мензурки a.
2. Опускаем в мензурку твердое тело неправильной формы. Объем Vт=an, где n — число делений, на которое поднялась вытесненная телом вода. Абслолютная погрешность будет равна DV =a/2. Относительная погрешность:
e=DVт/`V т100% =((a/2)/(an) ) 100% = 100% / 2n ; e=100% / 2n
3. Взвешиваем тело и определяем массу: ;
4. Абсолютная погрешность массы:
5. Плотность определяется по формуле: ρ=m/Vт
Абсолютная и относительная погрешности, как и в случае цилиндра будут:
| № | m,г | Dm,г |
| 1 | 100.0010 | 0.0010 |
| 2 | 100.0005 | 0.0005 |
| 3 | 100.0000 | 0.0000 |
| 4 | 99.9990 | 0.0010 |
| 5 | 99.9995 | 0.0005 |
| Средние значения | 100.0000 | 0.0006 |
| a, см 3 /дел | n, дел | V, см 3 | DV, см 3 | eV, % | d, г/см 3 | Dρ, г/см 3 | eρ, % |
| 0.505 | 50 | 25.25 | 0.2525 | 1 | 3.96 | 0.04 | 1 |
Вывод: окончательные значения объема и плотности цилиндра:
Значения объема и плотности тела неправильной формы:
Значения V и ρ записаны с точностью до 2-го знака, т.к. в расчет входят величины (высота и диаметр), которые могут быть определены лишь с такой точностью.
Погрешность объема тела неправильной формы косвенным образом связана с погрешностью объема цилиндра, следовательно, первая не может быть меньше второй. Таким образом, запись объема тела неправильной формы нельзя считать верной.
В этом случае необходим следующий расчет:
Контрольные вопросы
1. На каком физическом законе основан метод гидростатического взвешивания? Вывести основную формулу этого закона.
2. Почему при вычислении плотности вводится поправка на воздух.
3. Можно ли при гидростатическом взвешивании вместо дистиллированной воды брать другую жидкость? Почему?
4. Будут ли изменятся величины поправок при взвешивании одного и того же тела на Земле, на Луне, на Марсе и Венере?
5. Вывести формулу определения непоправленной и поправленной плотности твердого тела методом гидростатического взвешивания.
6. Вывести формулу определения непоправленной и поправленной плотности жидкости методом гидростатического взвешивания.
Дата добавления: 2015-10-28 ; просмотров: 199 | Нарушение авторских прав
Читайте в этой же книге: ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА ОТ ДЛИНЫ ЕГО НИТИ | Порядок выполнения работы | ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛАЖНОСТИ ВОЗДУХА | Порядок выполнения работы |
🎬 Видео
Определение объёма телаСкачать
11 класс. Геометрия. Объем цилиндраСкачать
1. Ареометр, определение плотности жидких нефтепродуктов и нефти по ГОСТ 3900, плотностьСкачать
11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать
Измерение объема с помощью мензуркиСкачать
Определение плотности веществаСкачать
Лабораторная работа №5 по физике для 7 класса "Определение плотности твердого тела"Скачать
ПЛОЩАДЬ ПОЛНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРАСкачать
Плотность вещества и единицы измерения плотности. 7 класс.Скачать
ОПЫТ :зависимость вытал. силы от плотности жидкости ,если объемы цилиндров одинаковые(физика)Скачать
Цена деления, погрешность и объем жидкости в мензуркеСкачать
60. Площадь поверхности цилиндраСкачать
Объем цилиндраСкачать
