Как вычислить момент инерции цилиндра

Момент инерции для чайников: определение, формулы, примеры решения задач

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Момент инерции цилиндра сплошного и полого: разное положение осей вращения

Знание момента инерции тела позволяет воспользоваться законом сохранения момента импульса либо выражением для описания кругового движения с угловым ускорением. В данной статье рассмотрим, как находить для цилиндра момент инерции при различном положении осей вращения.

Момент инерции: математическое определение

Осевой момент инерции вводится в физику благодаря изучению законов вращательного движения тел. Для точки материальной с массой m, вращающейся на расстоянии r от оси, момент инерции будет равен:

В общем же случае для тела, которое имеет произвольное распределение вещества в пространстве (любую геометрическую форму), величину I можно вычислить так:

По сути, это выражение является обобщением предыдущего. В нем производится суммирование (интегрирование) моментов от каждой элементарной частицы dm, дистанция до оси от которой равна r.

Если говорить о физическом значении рассматриваемой величины I, то она показывает, насколько «сильно» система сопротивляется воздействию внешнего момента силы, который пытается ее раскрутить или, наоборот, остановить.

Момент инерции цилиндра относительно оси, его основаниям перпендикулярной

Из приведенной выше формулы можно понять, что величина I является характеристикой всей вращающейся системы, то есть она зависит как от формы тела и распределения в нем массы, так и от относительного положения оси.

Читайте также: Замена манжет рабочего тормозного цилиндра

В данном пункте рассмотрим простой случай: определить необходимо момент инерции для сплошного цилиндра, ось вращения которого перпендикулярна его основаниям и проходит через гравитационный центр фигуры.

Для решения проблемы применим интегральную формулу для I. В процессе операции интегрирования мысленно разобьем цилиндр на тонкие колечки толщиной dr. Каждое колечко будет иметь объем: dV = 2*pi*r*dr*h, здесь h — высота фигуры. Учитывая, что dm = ρ*dV, где ρ — плотность цилиндра, получаем:

I = ∫r 2 dm = ρ*∫r 2 dV = 2*pi*ρ*h*∫r 3 dr

Этот интеграл необходимо вычислить для пределов от 0 до R, где R — радиус фигуры. Тогда получим:

I = 2*pi*ρ*h*∫ R ₀r 3 dr = 2*pi*ρ*h/4*(r 4 )∣ R ₀ = pi*ρ*h*R 4 /2

Воспользовавшись формулой для массы цилиндра через его объем и плотность, приходим к конечному выражению:

Мы получили формулу инерции момента цилиндра однородного. Она показывает, что величина I для этой фигуры в 2 раза меньше, чем для материальной точки аналогичной массы, которая вращается на расстоянии радиуса цилиндра от оси.

Момент инерции полого цилиндра

Теперь оставим ось на том же месте и найдем значение I для цилиндра с пустотой внутри (втулка, труба). Такую фигуру описывают двумя радиусами: внешним R₁ и внутренним R₂. В этом случае для интегрирования применяется абсолютно тот же подход, что и для сплошного цилиндра, только пределы теперь изменяются от R₂ до R₁. Имеем:

Для дальнейшего упрощения этой формулы воспользуемся разложением на множители выражения в скобках, получим:

Часть этого выражения вместе с первыми скобками является массой полого цилиндра, поэтому получаем конечную формулу:

Отсюда видно, что момент инерции полого цилиндра больше этого значения для сплошного цилиндра аналогичной массы и такого же внешнего радиуса на величину m*R₂ 2 /2. Этот результат не вызывает удивления, поскольку в полом цилиндре центр масс находится от оси вращения дальше, чем в сплошном.

Величина I для цилиндра, ось вращения которого проходит параллельно плоскостям его основания

В такой системе ось вращения проходит также через центр массы цилиндра, но теперь он лежит как бы на боку (на цилиндрической поверхности, см. рис. ниже).

Расчет для момента инерции цилиндра для такой ситуации является непростой задачей, поскольку требует наличия дополнительных знаний для ее решения. Тем не менее приведем необходимые математические выкладки, чтобы читатели имели более полное представление о проведении интегрирования при вычислении I.

Начинаем решать задачу. Разбиваем сплошной цилиндр на отдельные диски бесконечно малой толщины. Чтобы узнать, каким моментом инерции обладает этот диск относительно оси, которая проходит через него и параллельна его основаниям, необходимо выполнить отдельное интегрирование. Оно дает следующий результат:

Чтобы найти, величину I_i для этого диска относительно уже новой оси, которая рассматривается в задаче, необходимо воспользоваться теоремой Штейнера. Получим:

I_i = R 2 *dm/4 + L 2 *dm, здесь L — расстояние от оси до тонкого диска.

Зная, что dm = pi*R 2 *dL*ρ, подставляем в интегральную формулу для I и проводим интегрирование по пределам (-L₀/2; +L₀/2), имеем:

I = ∫_mI_i = ∫_m(R 2 *dm/4 + L 2 *dm) = pi*R 2 *ρ*∫ L0/2 _-L0/2(R 2 *dL/4 + L 2 *dL)

Решение этого интеграла приводит к конечной формуле:

Пример решения задачи

Решим интересную задачу на нахождение осевого момента инерции цилиндра. Пусть он лежит на цилиндрической поверхности, а ось вращения расположена параллельно его основанию и проходит через конец фигуры.

Эта ситуация полностью аналогична рассмотренной в предыдущем пункте, только ось пересекает не гравитационный центр цилиндра, а конец этой фигуры. Тем не менее для решения проблемы можно воспользоваться результатом предыдущего пункта статьи. Применим вышеупомянутую теорему Штейнера, получим:

I = m*R 2 /4 + m*L₀ 2 /12 + m*(L₀/2) 2 = m*R 2 /4 + m*L₀ 2 /3

Этот момент инерции соответствует стержню с осью вращения на его конце.

Чему равен момент инерции цилиндра

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла

в котором r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис. 4.4).

Для момента инерции можно написать I_A = kml 2 , где l – длина стержня, k – коэффициент пропорциональности. Центр стержня С является его центром масс. По теореме Штейнера I_A = I_C + m(l/2) 2 . Величину I_C можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ, длина каждого из которых равна l/2, масса m/2, а следовательно, момент инерции равен Таким образом, I_C = km(l/2) 2 . Подставляя эти выражения в формулу для теоремы Штейнера, получим

откуда k = 1/3. В результате находим

Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z (рис. 4.5) равен

где R – радиус кольца. Ввиду симметрии I_X = I_У.

Формула (4.17) очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.

Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с постоянной плотностью. Пусть ось Z проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 4.6). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr. Площадь такого кольца dS = 2prdr. Его момент инерции найдется по формуле (4.17), он равен dI_z = r 2 dm. Момент инерции всего диска определяется интегралом Ввиду однородности диска dm = , где S = pR 2 – площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим

Формула (4.18) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси.

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О: q = ΣmR 2 . В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу q = ∫R 2 dm. Само собой понятно, что момент θ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента θ – до неподвижной точки.

Читайте также: Ремонт заднего тормозного цилиндра тойота королла 150 кузов

Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой m и с координатами x, у, z относительно прямоугольной системы координат (рис. 4.7). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х, Y, Z равны соответственно у 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + у 2 , а моменты инерции относительно тех же осей

Но х 2 + у 2 + z 2 = R 2 , где R – расстояние точки m от начала координат О. Поэтому

Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.

Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками.

Сначала найдем момент инерции θ относительно центра шара. Очевидно, он равен θ = mR 2 . Затем применяем формулу (4.19). Полагая в ней ввиду симметрии I_X = I_Y = I_Z = I. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9530 – | 7348 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Приведены формулы моме́нтов ине́рции для ряда массивных твёрдых тел различной формы. Момент инерции массы имеет размерность масса × длину 2 . Он является аналогом массы при описании вращательного движения. Не следует путать его с моментом инерции плоских сечений [ уточнить ] , который используется при расчетах изгибов.

Моменты инерции в таблице рассчитаны для постоянной плотности по всему объекту. Также предполагается, что ось вращения проходит через центр масс, если не указано иное.

Описание	Изображение	Моменты инерции	Комментарии
Тонкая цилиндрическая оболочка с открытыми концами радиуса r и массы m		I = m r 2 > [1]	Предполагается, что толщина корпуса пренебрежимо мала. Этот объект является частным случаем нижеследующего при r1=r2.

Кроме того, точка массы m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, а r называется радиусом инерции.

Толстостенная цилиндрическая труба с открытыми концами, внутреннего радиуса r₁, внешнего радиуса r₂, длиной h и массой mI z = 1 2 m ( r 1 2 + r 2 2 ) = >mleft( >^ + >^
ight)> [1] [2]
I x = I y = 1 12 m [ 3 ( r 2 2 + r 1 2 ) + h 2 ] =I_ = >mleft[3left( >^ + >^
ight)+h^
ight]>
или при определении нормированной толщины t_n = t/r и полагая r = r₂,
тогда I z = m r 2 ( 1 − t n + 1 2 t n 2 ) =mr^ left(1-t_ + > >^
ight)>При плотности ρ и той же геометрии: I z = 1 2 π ρ h ( r 2 4 − r 1 4 ) = >pi
ho hleft( >^ — >^
ight)>Сплошной цилиндр радиуса r, высотой h и массы mI z = m r 2 2 = > >> [1]
I x = I y = 1 12 m ( 3 r 2 + h 2 ) =I_ = >mleft(3r^ +h^
ight)>Это частный случай предыдущего объекта при r₁=0. (Примечание: для правориентированной системы координат оси X-Y нужно поменять местами)Тонкий твердый диск радиуса r и массы mI z = m r 2 2 = > >>
I x = I y = m r 2 4 =I_ = > >>Это частный случай предыдущего объекта при h=0.Тонкое кольцо радиуса r и массы mI z = m r 2 =mr^ >
I x = I y = m r 2 2 =I_ = > >>Это частный случай тора при b=0 (см. ниже), а также частный случай толстостенной цилиндрической трубы с открытыми концами при r₁=r₂ и h=0.Твёрдый шар радиуса r и массы mI = 2 m r 2 5 > >> [1]Шар можно представить как множество бесконечно тонких твёрдых дисков, радиус которых изменяется от 0 до r.Пустотелая сфера радиуса r и массы mI = 2 m r 2 3 > >> [1]Аналогично твёрдой сфере, пустотелую сферу можно рассматривать как множество бесконечно тонких колец.Твёрдый эллипсоид с полуосями a, b и c, с осью вращения a и массой mI a = m ( b 2 + c 2 ) 5 +c^ )> >>—Прямой круговой конус радиуса r, высоты h и массы mI z = 3 10 m r 2 = >mr^ > [3]
I x = I y = 3 5 m ( r 2 4 + h 2 ) =I_ = >mleft( > >+h^
ight)> [3]—Твёрдый кубоид с высотой h, шириной w, глубиной d и массой mI h = 1 12 m ( w 2 + d 2 ) = >mleft(w^ +d^
ight)>
I w = 1 12 m ( h 2 + d 2 ) = >mleft(h^ +d^
ight)>
I d = 1 12 m ( h 2 + w 2 ) = >mleft(h^ +w^
ight)>Для аналогично ориентированного куба с длиной ребра s , I C M = m s 2 6 = > >> .Твёрдый кубоид с высотой D, шириной W, длиной L, массой m и с осью вращения вдоль самой длинной диагонали.I = m ( W 2 D 2 + L 2 D 2 + W 2 L 2 ) 6 ( L 2 + W 2 + D 2 ) D^ +L^ D^ +W^ L^
ight)> +W^ +D^
ight)>>>Для куба с длиной ребра s , I = m s 2 6 > >> .Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы mI c = m ( h 2 + w 2 ) 12 = +w^ )> >> [1]—Стержень длины L и массы mI c e n t e r = m L 2 12 >= > >> [1]Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для w = L и h = .Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m
(Ось вращения в конце пластины)I e = m h 2 3 + m w 2 12 = > >+ > >>—Стержень длины L и массы m
(Ось вращения на конце стержня)I e n d = m L 2 3 >= > >> [1]Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для h = L и w = .Тороидальная труба радиуса a, радиуса сечения b и массы m.Ось вращения относительно диаметра: 1 8 ( 4 a 2 + 5 b 2 ) m >left(4a^ +5b^
ight)m> [4]
Ось вращения относительно вертикальной оси: ( a 2 + 3 4 b 2 ) m + >b^
ight)m> [4]—Плоскость многоугольника с вершинами P → 1 Читайте также: Динамика цен на электронику

>_ > , P → 2 _ > , P → 3 _ > , . P → N _ > и массой m , равномерно распределенной на его объёму, вращающийся относительно оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через начало координат.

I = m 6 ∑ n = 1 N − 1 ‖ P → n + 1 × P → n ‖ ( P → n + 1 2 + P → n + 1 ⋅ P → n + P → n 2 ) ∑ n = 1 N − 1 ‖ P → n + 1 × P → n ‖ >

📹 Видео