Как вычислить объем цилиндра в который вписан конус (5 видео)

Определение 1. Конусом, вписанным в цилиндр, называют такой конус, у которого основание совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина совпадает с центром другого основания цилиндра (рис. 1).

Определение 2. Если конус вписан в цилиндр, то цилиндр называют описанным около конуса.

Замечание. Высота конуса равна высоте цилиндра, описанного этого конуса.

Утверждение. Около любого конуса можно описать цилиндр.

Доказательство. Для доказательства достаточно построить цилиндр, у которого одно из оснований совпадает с основанием конуса, а плоскость другого основания проходит через вершину конуса.

Содержание

Отношение объемов конуса и описанного около него цилиндра
Тригонометрия
Ещё по теме
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Формула вычисления объема цилиндра
Через площадь основания и высоту
Через радиус основания и высоту
Через диаметр основания и высоту
Примеры задач
Формулы объема и площади поверхности. Цилиндр, конус и шар
Как вычислить объем цилиндра в который вписан конус
🌟 Видео

Видео:Цилиндр, конус, шар, 6 классСкачать

Отношение объемов конуса и описанного около него цилиндра

Утверждение. Объем конуса в 3 раза меньше объема описанного около него цилиндра.

Доказательство. Пусть радиус основания конуса равен r, а высота конуса равна h. Поскольку цилиндр описан около конуса, то радиус основания цилиндра также равен r, а высота цилиндра равна h. Тогда объем конуса равен

Видео:Как найти объем вписанного конуса? 🔍 #умскул_профильнаяматематика #умскул #никитасалливанСкачать

Тригонометрия

Ещё по теме

Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки \( A\left( 1;0 \right) \) на \( 750<>^\circ \) .

Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 15 см и 33 см. Вычислить (в см 2 ) площадь трапеции.

Дан прямоугольный параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) . Доказать, что \( \overrightarrow +\overrightarrow +\overrightarrow =\overrightarrow \)

В область, ограниченную параболой \(y = c — \) и осью \(Ox,\) вписан прямоугольник, стороны которого параллельны координатным осям и одна сторона лежит на оси \(Ox.\) Определить наибольшую площадь прямоугольника.

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

О сайте

На нашем сайте вы найдете множество полезных калькуляторов, конвертеров, таблиц, а также справочных материалов по основным дисциплинам.

Самый простой способ сделать расчеты в сети — это использовать подходящие онлайн инструменты. Воспользуйтесь поиском, чтобы найти подходящий инструмент на нашем сайте.

calcsbox.com

На сайте используется технология LaTeX.
Поэтому для корректного отображения формул и выражений
пожалуйста дождитесь полной загрузки страницы.

Копирование материалов запрещено

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем цилиндра и разберем примеры решения задач.

Видео:11 класс, 32 урок, Объем цилиндраСкачать

Формула вычисления объема цилиндра

Через площадь основания и высоту

Объем (V) цилиндра равняется произведению его высоты и площади основания.

Читайте также: Сливная пробка блока цилиндров газель

Через радиус основания и высоту

Как мы знаем, в качестве оснований цилиндра (равны между собой) выступает круг, площадь которого вычисляется так: S = π ⋅ R 2 . Следовательно, формулу для вычисления объема цилиндра можно представить в виде:

V = π ⋅ R 2 ⋅ H

Примечание: в расчетах значение числа π округляется до 3,14.

Через диаметр основания и высоту

Как нам известно, диаметр круга равняется двум его радиусам: d = 2R. А значит, вычислить объем цилиндра можно следующим образом:

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем цилиндра, если дана площадь его основания – 78,5 см 2 , а также, высота – 10 см.

Решение:
Применим первую формулу, подставив в нее известные значения:
V = 78,5 см 2 ⋅ 10 см = 785 см 3 .

Задание 2
Высота цилиндра равна 6 см, а его диаметр – 8 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Воспользовавшись третьей формулой, в которой участвует диаметр, получаем:
V = 3,14 ⋅ (8/2 см) 2 ⋅ 6 см = 301,44 см 3 .

Видео:Задачи на цилиндр. Вписанный конус - bezbotvyСкачать

Формулы объема и площади поверхности. Цилиндр, конус и шар

Тела вращения, изучаемые в школе, — это цилиндр, конус и шар.

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы — считайте, что повезло.

Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Смотрите также: Формулы объема и площади поверхности многогранников.
Кроме формул, в решении задач по стереометрии нужны также элементарная логика и пространственное воображение. Есть и свои небольшие секреты.

Например, такой важный факт:

Если все линейные размеры объемного тела увеличить в 2 раза, то площадь его поверхности увеличится в 4 раза, а объем — в 8 раз.

Вот такая задача. Как и остальные на нашем сайте, она взята из банка заданий ФИПИ.

1. Объем конуса равен . Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Очевидно, что объем меньшего конуса в раз меньше объема большого и равен двум.

Для решения некоторых задач полезны начальные знания стереометрии. Например — что такое правильная пирамида или прямая призма. Полезно помнить, что у цилиндра, конуса и шара есть еще общее название — тела вращения. Что сферой называется поверхность шара. А, например, фраза «образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов предполагает, что вы знаете, что такое угол между прямой и плоскостью. Вам также может пригодиться теорема Пифагора и простые формулы площадей фигур.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, — снизу.

2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Всё просто — рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в раза больше.

Читайте также: Как из коробки сделать цилиндр

Говорят, что хороший чертеж — это уже половина решения. Читайте о том, как строить чертежи в задачах по стереометрии.

Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться!. Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».

А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике.
Мы тоже расскажем о ней.

Видео:11 класс. Геометрия. Объем конуса. 21.04.2020Скачать

Как вычислить объем цилиндра в который вписан конус

Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объем меньшего конуса в восемь раз меньше объема большего конуса.

Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите

где —площадь основания, а — высота конуса. Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в °: — он вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса. Радиус основания найдем по теореме Пифагора:

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

где — площадь основания, а — высота конуса. При уменьшении высоты в 3 раза объем конуса также уменьшится в 3 раза.

V=1/3Sh-это формула объёма пирамиды!

Она же формула объема конуса.

Уважаемый редактор! Условие данной задачи некорректно по причине, похожей на указанную для задания N 27137 (содержится в условии для этой задачи). В самом деле, высоту конуса можно уменьшить в 3 раза (вообще говоря, в n раз) : 1) полагая неизменным основание (радиус основания) конуса (на этом предположении и основано приведённое на сайте решение данной задачи); или 2) полагая неизменным телесный угол при вершине конуса: в данном случае параллельно основанию конуса проводится сечение, делящее высоту в отношении 1:3 (1:n), и получается отсечённый конус с высотой, уменьшенной в 3 раз (в n раз). Во втором случае, учитывая, что меньший конус подобен большему с коэффициентом 1/3, а объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, — объем меньшего конуса в 27 раз меньше объема большего конуса.

Читайте также: Полную кинетическую энергию тонкостенного цилиндра

В добавление замечу, что возможен ещё третий случай, когда высота конуса уменьшается в 3 раза (вообще говоря, в n раз): если образующая не меняется. При этом изменяются телесный угол (увеличивается), а радиус основания (увеличивается), так как образующая, высота и радиус основания конуса соответствующим образом связаны теоремой Пифагора. В данном случае ответ будет соответствующим образом зависеть от соотношения между образующей и радиусом основании исходного конуса. Например, если у исходного конуса положить угол между образующей и плоскость основания равным 45 град., то, в результате несложных вычислений, мы получим объём конуса (с уменьшенной в 3 раза высотой и той же самой образующей): V2 = 17/27*V1 или V2/V1 = 17/27.

Во сколько раз увеличится объем конуса, если радиус его основания увеличится в 1,5 раза, а высота останется прежней?

где — площадь основания, —высота конуса, а — радиус основания. При увеличении радиуса основания в 1,5 раза объем конуса увеличится в 2,25 раза.

Уважаемый редактор! Условие данной задачи некорректно по причине, похожей на указанную для задания N 27137 (содержится в условии для этой задачи). В самом деле, радиус основания конуса можно увеличить в 1,5 раза (вообще говоря, в n раз): 1) полагая неизменной высоту конуса (на этом предположении и основано приведённое на сайте решение данной задачи); или 2) полагая неизменным телесный угол при вершине конуса: в данном случае параллельно основанию исходного конуса проводится сечение конической поверхности (часть которой является боковой поверхностью исходного конуса), проходящее через точку на продолжении высоты конуса, отстоящую от вершины в 1,5 раза (в n раз) дальше основания высоты исходного конуса, и, таким образом, получается отсечённый конус с радиусом, увеличенным в 1,5 раза (в n раз), так как больший конус подобен меньшему с коэффициентом 1,5; или 3) полагая неизменной образующую конуса (при этом, изменяются телесный угол (увеличивается) и высота конуса (уменьшается), а образующая, высота и радиус основания конуса соответствующим образом связаны теоремой Пифагора).

Во втором случае, учитывая, что объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, — объем большего конуса в 3,375 раза (в n в кубе раз) больше объёма меньшего конуса, то есть, объём конуса увеличится в 3,375 раза (в общем случае – в n в кубе раз).

В третьем случае ответ будет зависеть от соотношения между образующей и радиусом основании исходного конуса (так как образующая, высота и радиус основания связаны по теореме Пифагора).

Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на

По теореме Пифагора найдем, что радиус основания равен Тогда объем конуса, деленный на :