Как вычислить площадь осевого сечения цилиндра

Цилиндр — это геометрическая фигура, ограниченная цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Основными математическими характеристиками цилиндра являются диаметр основания и высота.

Сечение цилиндра — это изображение фигуры, образованной рассечением цилиндра плоскостью в поперечном или продольном направлении.

Формула для расчета площади основания цилиндра:

Формула для расчета площади осевого сечения цилиндра:

d — диаметр цилиндра;
h — высота цилиндра.

Формула для расчета площади параллельного оси сечения цилиндра (бокового сечения цилиндра):

a — хорда основания цилиндра;
h — высота цилиндра.

Смотрите также статью о всех геометрических фигурах (линейных 1D, плоских 2D и объемных 3D).

Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета площади поперечного или продольного сечения цилиндра, если известны диаметр цилиндра, длина хорды и высота цилиндра. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете рассчитать площадь сечения цилиндра (площадь осевого сечения цилиндра, площадь параллельного сечения цилиндра, площадь бокового сечения цилиндра и площади основания цилиндра).

Видео:Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндраСкачать

Осевое сечение цилиндра прямого и наклонного. Формулы для площади сечения и его диагоналей

Цилиндр — это симметричная пространственная фигура, свойства которой рассматривают в старших классах школы в курсе стереометрии. Для его описания используют такие линейные характеристики, как высота и радиус основания. В данной статье рассмотрим вопросы касательно того, что такое осевое сечение цилиндра, и как рассчитать его параметры через основные линейные характеристики фигуры.

Видео:ЕГЭ. Математика. База . Задача 16.Площадь осевого сечения цилиндраСкачать

Геометрическая фигура

Сначала дадим определение фигуре, о которой пойдет речь в статье. Цилиндр представляет собой поверхность, образованную параллельным перемещением отрезка фиксированной длины вдоль некоторой кривой. Главным условием этого перемещения является то, что отрезок плоскости кривой принадлежать не должен.

На рисунке ниже показан цилиндр, кривая (направляющая) которого является эллипсом.

Здесь отрезок длиной h является его образующей и высотой.

Видно, что цилиндр состоит из двух одинаковых оснований (эллипсы в данном случае), которые лежат в параллельных плоскостях, и боковой поверхности. Последней принадлежат все точки образующих линий.

Видео:№525. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2, а площадь основания — 5 м2.Скачать

Прямой и наклонный цилиндры

Перед тем как переходить к рассмотрению осевого сечения цилиндров, расскажем, какие типы этих фигур бывают.

Если образующая линия перпендикулярна основаниям фигуры, тогда говорят о прямом цилиндре. В противном случае цилиндр будет наклонным. Если соединить центральные точки двух оснований, то полученная прямая называется осью фигуры. Приведенный рисунок демонстрирует разницу между прямым и наклонным цилиндрами.

Видно, что для прямой фигуры длина образующего отрезка совпадает со значением высоты h. Для наклонного цилиндра высота, то есть расстояние между основаниями, всегда меньше длины образующей линии.

Далее охарактеризуем осевые сечения обоих типов цилиндров. При этом будем рассматривать фигуры, основаниями которых является круг.

Видео:11 класс, 15 урок, Площадь поверхности цилиндраСкачать

Осевое сечение прямого цилиндра

Осевым называется любое сечение цилиндра, которое содержит его ось. Это определение означает, что осевое сечение будет всегда параллельно образующей линии.

В цилиндре прямом ось проходит через центр круга и перпендикулярна его плоскости. Это означает, что рассматриваемое сечение круг будет пересекать по его диаметру. На рисунке показана половинка цилиндра, которая получилась в результате пересечения фигуры плоскостью, проходящей через ось.

Не сложно понять, что осевое сечение прямого круглого цилиндра представляет собой прямоугольник. Его сторонами являются диаметр d основания и высота h фигуры.

Запишем формулы для площади осевого сечения цилиндра и длины hd его диагонали:

Прямоугольник имеет две диагонали, но обе они равны друг другу. Если известен радиус основания, то не сложно переписать эти формулы через него, учитывая, что он в два раза меньше диаметра.

Видео:№526. Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как √3π:4. Найдите:Скачать

Осевое сечение наклонного цилиндра

Рисунок выше демонстрирует наклонный цилиндр, изготовленный из бумаги. Если выполнить его осевое сечение, то получится уже не прямоугольник, а параллелограмм. Его стороны — это известные величины. Одна из них, как и в случае сечения прямого цилиндра, равна диаметру d основания, другая же — длина образующего отрезка. Обозначим ее b.

Для однозначного определения параметров параллелограмма недостаточно знать его длины сторон. Необходим еще угол между ними. Предположим, что острый угол между направляющей и основанием равен α. Он же и будет углом между сторонами параллелограмма. Тогда формулу для площади осевого сечения наклонного цилиндра можно записать следующим образом:

Диагонали осевого сечения цилиндра наклонного рассчитать несколько сложнее. Параллелограмм имеет две диагонали разной длины. Приведем без вывода выражения, позволяющие рассчитывать диагонали параллелограмма по известным сторонам и острому углу между ними:

Здесь l1 и l2 — длины малой и большой диагоналей соответственно. Эти формулы можно получить самостоятельно, если рассмотреть каждую диагональ как вектор, введя прямоугольную систему координат на плоскости.

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Задача с прямым цилиндром

Покажем, как использовать полученные знания для решения следующей задачи. Пусть дан круглый прямой цилиндр. Известно, что осевое сечение цилиндра — квадрат. Чему равна площадь этого сечения, если площадь поверхности всей фигуры составляет 100 см2?

Читайте также: Построение лежащего цилиндра в перспективе

Для вычисления искомой площади необходимо найти либо радиус, либо диаметр основания цилиндра. Для этого воспользуемся формулой для общей площади Sf фигуры:

Поскольку сечение осевое представляет собой квадрат, то это означает, что радиус r основания в два раза меньше высоты h. Учитывая это, можно переписать равенство выше в виде:

Теперь можно выразить радиус r, имеем:

Поскольку сторона квадратного сечения равна диаметру основания фигуры, то для вычисления его площади S будет справедлива следующая формула:

Мы видим, что искомая площадь однозначно определяется площадью поверхности цилиндра. Подставляя данные в равенство, приходим к ответу: S = 21,23 см2.

Видео:№523. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высотуСкачать

Сечение цилиндра: определение, виды, его образующая

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Кратко о цилиндре

Цилиндр — это геометрическая фигура, которая ограничена цилиндрической поверхностью и двумя плоскими окружностями.

Также можно сказать, что это тело вращения, возникающее при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

Видео:Геометрия Площадь осевого сечения цилиндра равна 16 см2, площадь основания равна 8 см2. ВычислитеСкачать

Осевое сечение

Это сечение фигуры плоскостью, проходящей через ее ось. Оно является прямоугольником. Таким образом, любое сечение, параллельное оси цилиндра (и перпендикулярное его основанию), становится прямоугольником. Сторонами этой фигуры будет диаметр цилиндра и высота его оси.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Видео:№538. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5. Найдите площадь осевогоСкачать

Как найти площадь сечения

где \(d\) — диаметр, а \(h\) — высота всей фигуры.

Также есть формулы для расчета площади сечения, параллельного оси геометрического тела (но не пересекающего ее).

Видео:Осевое сечение цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндраСкачать

Осевое сечение наклонного цилиндра

Сечение наклонного цилиндра по оси представляет собой параллелограмм. Его стороны нам уже известны: одна из них равна диаметру d, как и в случае с прямой фигурой. Другая — длина образующего отрезка. Ее мы можем обозначить буквой b.

Для точного определения всех параметров параллелограмма недостаточно знать только длины его сторон. Для расчета площади фигуры нам понадобится один из ее углов. Допустим, что острый угол между плоскостью и направляющий равен α. Тогда формула S параллелограмма будет выглядеть следующим образом:

Видео:№522. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующейСкачать

Примеры задач

Рассмотрим пару задач на осевое сечение с решениями.

Задача 1

Дан круглый прямой цилиндр. Его осевое сечение является квадратом. Вопрос: чему равна S сечения, если площадь поверхности всего цилиндра — 100 см²?

Чтобы найти S квадрата, нужно сначала определить радиус или диаметр окружности цилиндра. Для этого вспомним формулу для нахождения площади самого цилиндра:

Так как осевое сечение — квадрат, значит радиус основания в два раза меньше высоты фигуры. В таком случае, формула будет выглядеть так:

\(Sц = 2pi * r * (r + 2r) = 6 * pi * r²\)

Исходя из этого, будем выражать радиус:

Если сторона квадратного сечения равна диаметру основания цилиндра, то для определения площади квадрата S используем формулу:

Подставим известные данные ( \(Sц = 100см^2\) ) и получим площадь сечения \(S = 21,23 см²\) .

Ответ: \(S = 21,23 см²\) .

Задача 2

Дано: ABCD — осевое сечение цилиндра. Площадь сечения \(Sc\) равна \(10 м²\) , а площадь основания \(Sо— 5 м²\) . Найти высоту цилиндра.

Так как площадь основания — круг, то \(Sо = pi * r²\) . Тогда \(r = √(Sо/pi) = √(5/pi).\)

Так как площадь сечения — прямоугольник, то \(Sc = AB * BC = h * 2r.\) Тогда \(h = Sc/(2r) = 10/(2√(5/pi)) = 5√(pi/5) = √(5pi).\)

Видео:№533. Высота цилиндра равна h, а площадь осевого сечения равна 5. Найдите площадь сеченияСкачать

Площадь поперечного сечения цилиндра формула

Цилиндр — это геометрическая фигура, ограниченная цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Основными математическими характеристиками цилиндра являются диаметр основания и высота.

Сечение цилиндра — это изображение фигуры, образованной рассечением цилиндра плоскостью в поперечном или продольном направлении.

Формула для расчета площади основания цилиндра:

Формула для расчета площади осевого сечения цилиндра:

d — диаметр цилиндра; h — высота цилиндра.

Формула для расчета площади параллельного оси сечения цилиндра (бокового сечения цилиндра):

a — хорда основания цилиндра; h — высота цилиндра.

Смотрите также статью о всех геометрических фигурах (линейных 1D, плоских 2D и объемных 3D).

Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета площади поперечного или продольного сечения цилиндра, если известны диаметр цилиндра, длина хорды и высота цилиндра. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете рассчитать площадь сечения цилиндра (площадь осевого сечения цилиндра, площадь параллельного сечения цилиндра, площадь бокового сечения цилиндра и площади основания цилиндра).

При решении заданий сопротивления материалов в расчетные формулы вводят величины, которые определяют формулу и размеры поперечных сечений, они называются геометрическими характеристиками плоских сечений. Первой такой величиной стоит считать площадь сечения. Рассчитать площадь поперечного сечения можно даже ствола дерева, ведь оно по форме похоже на эллипс или круг. Согласно формуле, площадь поперечного сечения круга, возможно, рассчитать достаточно точно по формуле. Площадь сечения круга или шара можно найти по формуле:

При этом не стоит забывать о том, что расстояние от плоскости до центра фигуры совпадет с плоскостью, тогда плоскость поперечного сечения шара будет равняться нулю, так как касание им плоскости происходит лишь в одной точке.

Рассмотрим на примере параллелограмма. Прежде всего, для того чтобы найти площадь поперечного сечения, необходимо знать значения высоты и снования параллелограмма. Даже если нам известна только ширина основания и его длина через эти значения возможно найти диагональ, используя теорему Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. Формула выглядит как:

a 2 + b 2 = c 2

Из нее можно вывести такую формулу:

c = S*q*r*t*(a 2 + b 2 )

Когда у нас известно значение диагонали параллелограмма, то его можно подставить в формулу:

S – площадь поперечного сечения, h это значений высоты параллелограмма. Результат, который получится после исчислений, будет означать площадь поперечного сечения. Такая формула:

Видео:Цилиндр - расчёт площади, объёма.Скачать

Полная площадь поверхности круглого цилиндра

Полная площадь поверхности круглого цилиндра равна сумме площадей боковой поверхности круглого цилиндра и удвоенной площади основания. Основание круглого цилиндра есть круг и его площадь вычисляется по формуле площади круга:

Читайте также: Цилиндры для замков евва

В инженерной и строительной практике нередко встречаются задачи по расчёту площади поперечного сечения. Если фигуру разрезать по линии, которая перпендикулярна продольной оси предмета, то полученный торец и будет поперечным сечением. Круг — один из наиболее часто встречающихся видов подобного рассечения. Такой срез присущ цилиндру, шару, конусу, тору, эллипсоиду.

Видео:РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ЦИЛИНДРСкачать

Формула площади поверхности кругового цилиндра

S осн = 2 ⋅ π ⋅ r 2 S_ >=2\cdot\pi\cdot r^2 Sосн​=2⋅π⋅r2

S бок = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h S_ >=2\cdot\pi\cdot r\cdot h Sбок​=2⋅π⋅r⋅h

r r r — радиус круга (основания кругового цилиндра); h h h — высота этого цилиндра.

Сокращенно, это формулу можно записать так:

S = S осн + S бок = 2 ⋅ π ⋅ r 2 + 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ ( r + h ) S=S_ >+S_ >=2\cdot\pi\cdot r^2+2\cdot\pi\cdot r\cdot h=2\cdot\pi\cdot r\cdot(r+h) S=Sосн​+Sбок​=2⋅π⋅r2+2⋅π⋅r⋅h=2⋅π⋅r⋅(r+h)

Радиус круга, лежащего в основании прямого кругового цилиндра, имеет длину 6 (см.). Высота цилиндра – 20 (см.). Найдите полную площадь его поверхности.

S = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ ( r + h ) = 2 ⋅ π ⋅ 6 ⋅ ( 6 + 20 ) ≈ 979 , 68 S=2\cdot\pi\cdot r\cdot(r+h)=2\cdot\pi\cdot 6\cdot(6+20)\approx979,68 S=2⋅π⋅r⋅(r+h)=2⋅π⋅6⋅(6+20)≈979,68 (см. кв.)

Ответ: 979,68 см. кв.

Видео:ЕГЭ СТЕРЕОМЕТРИЯ НАХОЖДЕНИЯ ПЛОЩАДИ ОСЕВОГО СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА НЕСТАНДАРТНЫЙ МЕТОД | МЕТОД ГАРМАШУКСкачать

Определение величины

Площадь — это величина, характеризующая размер геометрической фигуры. Её определение — одна из древнейших практических задач. Древние греки умели находить площадь многоугольников: так, каменщикам, чтобы узнать размер стены, приходилось умножать её длину на высоту.

По прошествии долгих лет трудом многих мыслителей был выработан математический аппарат для расчета этой величины практически для любой фигуры.

На Руси существовали особые единицы измерения: копна, соха, короб, верёвка, десятина, четь и другие, так или иначе связанные с пахотой. Две последних получили наибольшее распространение. Однако от древнерусских землемеров нам досталось только само слово — «площадь».

С развитием науки и техники появилось не только множество формул для расчёта площадей любых геометрических фигур, но и приборы, которые делают это за человека. Такие приборы называют планиметрами.

Видео:Объём цилиндраСкачать

Прямой и наклонный цилиндры

Перед тем как переходить к рассмотрению осевого сечения цилиндров, расскажем, какие типы этих фигур бывают.

Если образующая линия перпендикулярна основаниям фигуры, тогда говорят о прямом цилиндре. В противном случае цилиндр будет наклонным. Если соединить центральные точки двух оснований, то полученная прямая называется осью фигуры. Приведенный рисунок демонстрирует разницу между прямым и наклонным цилиндрами.

Видно, что для прямой фигуры длина образующего отрезка совпадает со значением высоты h. Для наклонного цилиндра высота, то есть расстояние между основаниями, всегда меньше длины образующей линии.

Далее охарактеризуем осевые сечения обоих типов цилиндров. При этом будем рассматривать фигуры, основаниями которых является круг.

Видео:№531. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельнойСкачать

Область применения

Круг — одна из фундаментальных фигур, которые окружают человека повсюду. Трубы, колеса, лампы, конфорки у плиты — всё это имеет форму круга или поперечное сечение в виде круга. Расчёт площади такого сечения может понадобиться в следующих ситуациях:

1. Определение объемов емкостей.
2. Решение задач по сопротивлению материалов и электротехнике.
3. Расчет количества материалов при проектировании, строительстве и ремонте.
4. Ведение поливного земледелия.

Видео:№553. Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 дм2, а площадьСкачать

Виды цилиндров

1. Прямой цилиндр – имеет одинаковые симметричные основания (круг или эллипс), параллельные друг другу. Отрезок между точками симметрии оснований перпендикулярен им, является осью симметрии и высотой фигуры.
2. Наклонный цилиндр – имеет одинаковые симметричные и параллельные друг другу основания. Но отрезок между точками симметрии не перпендикулярен этим основаниям.
3. Косой (скошенный) цилиндр – основания фигуры не взаимно параллельны.
4. Круговой цилиндр – основаниями является круг. Также выделяют эллиптические, параболические и гиперболические цилиндры.
5. Равносторонний цилиндр – прямой круговой цилиндр, диаметр основания которого равен его высоте.

Видео:Тема 4. Цилиндр. Осевое сечение цилиндра. Развертка боковой поверхности цилиндра. Площадь боковойСкачать

Способы расчета

Чтобы получить круглое поперечное сечение, необходимо разрезать объёмную фигуру перпендикулярно оси вращения. В случае с цилиндром площади всех поперечных сечений будут равны между собой — как, например, кружки колбасы, нарезанные поперек батона, одинаковы.

Шар, по сути, представляет собой напластование блинчиков-кругов различного диаметра от точечного до заданного и обратно до точки. Чтобы найти S какого-либо из блинчиков, необходимо определить его радиус. Принцип его расчёта сводится к решению теоремы Пифагора, где гипотенузой выступает радиус шара, а искомый радиус становится одним из катетов.

При расчёте площади сечений конуса необходимо найти радиус или диаметр каждого из кругов, учитывая, что в продольном разрезе конус — это равнобедренный треугольник.

Цилиндр, конус и шар — базовые объемные фигуры. Однако существуют более сложные фигуры, например, тор. Тор, или тороид, при первом приближении являет собой не что иное, как бублик или баранку. Разломив его пополам, на торцах можно увидеть два одинаковых круга. Площадь такого поперечного сечения можно получить, удвоив имеющуюся (на рисунке серая область справа). Если взять нож и рассечь баранку вдоль, на срезе получится кольцо. В случае с такой фигурой необходимо найти площадь круга по внешней окружности и вычесть из нее «дырку от бублика» (показано серым на рисунке слева).

Виды сечений цилиндра

1. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, образованный в результате пересечения фигуры плоскостью, проходящей через ее ось. В нашем случае – это ABCD (см. первый рисунок публикации). Площадь такого сечения равна произведению высоты цилиндра на диаметр его основания.
2. Если секущая плоскость проходит не по оси цилиндра, но при этом перпендикулярна его основаниям, то сечением, также, является прямоугольник.
3. Если секущая плоскость параллельна основаниям фигуры, то сечение – это идентичный основаниям круг.
4. Если цилиндр пересекается плоскостью, не параллельной его основаниям и, при этом, не касающейся ни одной из них, то сечением является эллипс.
5. Если секущая плоскость пересекает одно из оснований цилиндра, сечением будет парабола/гипербола.

Основные определения и свойства цилиндра

Рассмотрим две паралллельные плоскости паралллельные плоскости α и β и произвольную окружность радиуса r с центром в точке O , лежащую в плоскости α (рис. 1).

Читайте также: Зазор колец в цилиндре камаз 740

Если из каждой точки окружности опустить перпендикуляр на плоскость β, то основания этих перпендикуляров образуют на плоскости β окружность радиуса r, центр O1 которой является основанием перпендикуляра, опущенного из точки O на плоскость β (рис.2).

Замечание 1. Цилиндрическую поверхность часто называют боковой поверхностью цилиндра. Боковая поверхность цилиндра и основания цилиндра вместе составляют полную поверхность цилиндра.

Замечание 2. Каждая образующая цилиндра параллельна оси цилиндра, а длина каждой образующей цилиндра равна высоте цилиндра.

Замечание 3. Прямая OO1 является осью симметрии цилиндра, а середина отрезка OO1 является центром симметрии цилиндра.

Калькулятор для цилиндра

Онлайн калькулятор для цилиндра позволяет по известным данным вычислить:

• объем цилиндра,
• площадь основания, площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности цилиндра,
• элементы: радиус, диаметр и высоту.

Калькулятор для цилиндра: комментарий

Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью (называемой боковой поверхностью цилиндра) и не более чем двумя поверхностями (основаниями цилиндра).

Обозначения для цилиндра: R – радиус, D – диаметр, V – объем, Sо – площадь основания, Sб – площадь боковой поверхности, S – площадь полной поверхности, h – высота прямого кругового цилиндра (h1 и h2 — минимальная и максимальная высота) π – число Пи которое всегда примерно равно 3,14.

Прямой круговой цилиндр

Круговым называется цилиндр, если его направляющая является окружностью. Прямым называется цилиндр, если его образующая перпендикулярна основаниям.

Формулы для прямого кругового цилиндра:

Найти объем цилиндра, если известны:

• радиус и высота цилиндра: V=πR2h
• диаметр и высота цилиндра: V=πD2/4h
• площадь и высота цилиндра: V=Sоh

Площадь(Sб) боковой поверхности прямого кругового цилиндра

Так как боковая поверхность представляет собой прямоугольник, то площадь боковой поверхности цилиндра определяется по формуле: Sб=2πR⋅h

Площадь(Sо) основания цилиндра

Основание цилиндра —круг, поэтому площадь одного основания находится по формуле площади круга: Sо=πR2.

Площадь(S) полной поверхности прямого кругового цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра определяется по формуле: S=2πRh+2πR2=2πR(h+R)

Формулы нахождения радиуса и диаметра по:

• высоте и объему: R=√(V/πh), D=2*√(V/πh)
• площади боковой поверхности и высоте: R=Sб/2πh, D=2*Sб/2πh
• площади основания и высоте: R=√(Sо/π), R=2*√(Sо/π)

Формулы нахождения высоты по:

• радиусу и объему: h=V/πR2
• площади боковой поверхности и радиусу: h=Sб/2πR
• площади полной поверхности и радиусу: h=S/2πR-R

Скошенный цилиндр

Прямой круговой цилиндр со скошенным основанием (скошенный цилиндр) определяется радиусом основания R, минимальной высотой h1 и максимальной высотой h2.

Формулы для скошенного цилиндра:

• Объем скошенного цилиндра: V=πR2(h1+h2)2
• Площадь(Sб) боковой поверхности скошенного цилиндра: Sб=πR(h1+h2)
• Площадь(Sо) оснований скошенного цилиндра: Sо=πR2+πR √(R2+((h1−h2)/2)2)
• Площадь(S) полной поверхности скошенного цилиндра S=Sб+Sо= πR(h1+h2)+ πR2+πR √ (R2+((h1−h2)/2)2) = πR[(h1+h2)+ R+√ (R2+((h1−h2)/2)2) ]

Список всех онлайн-конвертеров на странице «Калькуляторы«.

Непростая задача о площади сечения цилиндра, которая может ввести в заблуждение.

Диаметр основания цилиндра равен 8, а длина его образующей – . На окружности верхнего основания цилиндра выбраны точки F и D, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:2. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через точки F, D и центр нижнего основания. На первый взгляд – задача простая. Кажется, что сечение – трапеция, нижнее ее основание – диаметр цилиндра, найти длину верхнего основания вполне можно, также возможно отыскать высоту трапеции и – дело в шляпе. Однако..

Однако надо помнить, что сечение цилиндра наклонной плоскостью – всегда эллипс или его часть!

Посмотрим на различные сечения цилиндра плоскостями:

Наш случай приблизительно такой:

Сечение цилиндра неосевой плоскостью

И еще нам потребуется знать, какой будет проекция этого сечения на основание цилиндра:

Все дело в том, что рассчитать непосредственно площадь сечения трудно из-за сложности его формы, поэтому воспользуемся тем, что

Площадь проекции плоской фигуры равна произведению площади этой фигуры на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Определить площадь проекции будет несложно, давайте это сделаем. Проекция будет представлять собой часть полукруга, которую можно разбить на два круговых сектора и треугольник. Нам известно, что длины дуг относятся как 1:2, значит, меньшая дуга имеет градусную меру , и ей соответствует центральный угол с такой же градусной мерой, который является одним из углов треугольника FDC. Тогда, поскольку треугольник этот – равнобедренный, то два его острых угла равны , а высота будет равна половине радиуса цилиндра (против угла в лежит катет, вдвое меньший гипотенузы). Определим основание треугольника FDC, для этого найдем его половину по теореме Пифагора: , где FC – радиус цилиндра, FC=4,

Площадь треугольника FDC равна половине произведения основания на высоту:

Кроме треугольника FDC в состав площади проекции сечения входят еще два круговых сектора, центральные углы которых равны 30, то есть площадь каждого из них – 1/12 часть круга, а вместе их площадь – 1/6 часть круга, или . Площадь проекции: .

Осталось определить . Сделаем еще рисунок:

Найдем высоту сечения, это гипотенуза треугольника KGO, KO: . В этом выражении нам все известно: KG – это высота – h, а GO – это образующая цилиндра, его высота. Тогда

Косинус нужного угла – отношение прилежащего катета к длине гипотенузы: