Угол поворота сечения c вала равен

1.Определяем величину и на­прав­ление момента М₀.

Вал под действием приложенных к нему моментов должен нахо­дит­ся в рав­новесии, т.е. SМ_z = 0.

При записи этого урав­нения моменты, направ­ленные против часо­вой стрелки, счи­таем поло­жительными, по часовой стрелке – от­рица­тель­ными. На­блюдение ве­дем с пра­вого конца вала.

SМ_z = — М₄ + М₃ + М₂ + М₀ + М₁ = —12 + 9 + 22 + М₀ +28 = 0,

Знак «минус» при М₀ указывает на то, что этот момент в действи­тельности на­правлен в направлении противоположном указанному на схеме задачи.

2. Изображаем расчет­ную схему вала (рис. 21а). Точки приложения мо­ментов (границы уча­стков) обозначаем бук­вами А , В , С , D , Е.

4. Определяем необходимый диаметр вала

,

.

Приравнивая выражение для t_max и [t] , получим:

м.

.

.

Приравнивая выражение для q_max и [q], получим:

,

м.

Из двух полученных значений d за ответ берём больший d = 0,142 м = = 142 мм. Округляем его до ближайшего большего стандартного зна­че­ния d = 150 мм.

5. Строим эпюру углов закручивания (рис. 21в).

Углы поворота сечений будем определять относительно сечения А, т.к. угол поворота этого сечения равен нулю. Углы пово­рота дру­гих сечений (В, C, D, E) равны сумме углов закручивания участков вала, расположенных между сечением А и сечением, угол за­кручи­вания которого определяется:

.

Т.к. вал в этой задаче имеет один диаметр на всех участках, вы­числим I_k

м 4 .

Угол поворота сечения В равен углу закручивания участка АВ:

рад.

Откладывая от нулевой линии полученные значения углов по­ворота сечений в масштабе с учётом знака, а затем, соединяя полу­ченные точки прямыми ли­ниями, получаем эпюру углов закручива­ния (рис. 21в).

6. Вычисляем наибольшее касательное напряжение наиболее нагру­женном участке вала.

Наиболее нагруженным является участок АВ, т.к. здесь наиболь­ший кру­тящий момент М_к(тах) = 28 кН×м.

Па =

7. Вычисляем наибольший относительный угол закручивания

рад/м.

Примечание. I_к был вычислен ранее (п. 5).

Контрольная работа по сопромату

К стальному брусу круглого поперечного сечения приложены четыре крутящих момента , три из которых известны.

1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения равен нулю;

2) при найденном значении Х построить эпюру крутящих моментов;

3) при заданном значении допускаемого напряжения [ t ] определить диаметр вала из условия его прочности и округлить величину диаметра до ближайшей большей стандартной величины, равной 30, 35, 40, 45, 50, 60, 80, 90, 100 мм;

4) проверить, выполняется ли условие жесткости бруса при выбранном диаметре, если допускаемый угол закручивания 1 град/м;

5) построить эпюру углов закручивания.

Для всех вариантов принять модуль сдвига для стали

Числовые данные берутся из табл. 3, расчетные схемы — по рис. 6.

Числовые данные к задаче № 3

Рис. 6. Расчетные схемы к задаче № 3

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 3

Основные теоретические сведения и расчетные формулы

Брус, нагруженный парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны его оси, испытывает деформацию кручения. Внутренним силовым фактором в поперечном сечении бруса в этом случае является крутящий момент , величину которого определяют методом сечений.

Читайте также: Замена подшипников первичного вала ваз 2112 16 клапанов

На основании этого метода можно сформулировать правило для определения крутящего момента в сечении бруса: крутящий момент в любом сечении бруса численно равен алгебраической сумме крутящих моментов, расположенных по одну сторону от этого сечения; при этом крутящий момент, приложенный к брусу, считается условно положительным, если при взгляде вдоль оси бруса с левого конца мы видим его направленным по ходу часовой стрелки.

Размеры и форма поперечного сечения бруса в расчетах на кручение учитываются двумя геометрическими характеристиками: полярным моментом инерции и полярным моментом сопротивления . Для круглого сечения они вычисляются по следующим формулам:

Крутящий момент вызывает в сечениях касательные напряжения , вычисляемых по формуле

где — крутящий момент в сечении бруса;

— полярный момент инерции сечения;

— расстояние от центра тяжести сечения до точки, в которой определяются напряжения.

Условие прочности записывается в виде

где — максимальная по модулю величина крутящего момента, определяемого по эпюре ;

— полярный момент сопротивления;

[ t ] — допускаемое касательное напряжение.

Деформация при кручении характеризуется углом закручивания j (рад):

где l — длина бруса;
G — модуль сдвига (модуль упругости второго рода).

Угол закручивания на единице длины бруса называется относительным углом закручивания и вычисляется по формуле

Условие жесткости накладывает ограничение на величину относительного угла закручивания:

где [ q ] — допускаемый угол закручивания.

Условие жесткости с учетом формулы (3.6) имеет вид

Рис. 7. Брус, работающий на кручение:
а — расчетная схема;
б — эпюра крутящих моментов;
в — эпюра углов закручивания

Для заданного бруса круглого сечения (рис. 7, а) определить величину момента X, при котором угол поворота свободного конца бруса равен нулю, построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания, подобрать диаметр сечения по условию прочности и произвести проверку бруса на жесткость.

Числовые данные к задаче: а =0,8 м; в=1,0 м;
с=0,4 м; M1=2 кН × м; M2=0,9 кН × м; [ t ]=40 МПа; G=8 × 104 МПа.

1.Определение величины неизвестного крутящего момента Х.

Брус жестко заделан левым концом А, правый конец Е свободный. В сечениях В, С, и D приложены известные крутящие моменты. Для определения неизвестного момента Х используем условие равенства нулю угла поворота сечения Е.

Угол поворота сечения Е относительно сечения А определяется как сумма углов закручивания отдельных участков:

Крутящие моменты , входящие в выражение (3.8), определяются по приведенному выше правилу.

Вычисления начинаем с незакрепленного конца:

Используя выражения (3.9) и сокращая на , приводим уравнение (3.8) к виду

Подставляя значения a , b , c (рис. 7, а.) и решая это уравнение, получаем Х = 0,34 кН × м.

Примечание: если значение Х получится со знаком минус, направление крутящего момента задано неправильно. В данном примере X положителен, следовательно, направление крутящего момента, показанное на рис.7, правильно.

Читайте также: Сальник вала коробки передач правый

2. Построение эпюры крутящих моментов.

Найденное значение Х = 0,34 кН × м подставляем в выражения (3.9), вычисляя таким образом величину крутящего момента на каждом участке:

По найденным значениям строим эпюру крутящих моментов. Для этого рассматриваем последовательно участки ЕD, DC, CB и CA. Крутящие моменты, действующие на этих участках, уже вычислены.

Величина крутящего момента на каждом участке не зависит от положения сечения в пределах участка (крутящий момент постоянен), поэтому эпюра крутящих моментов ограничена отрезками прямых (рис.7,б). Построенная эпюра позволяет найти опасное сечение, т.е. такое, в котором действует максимальный (по модулю) крутящий момент.

В рассматриваемом примере опасными будут сечения в пределах участка АВ; расчетное значение крутящего момента

3. Подбор диаметра поперечного сечения бруса.

Используем условие прочности (3.4)

Учитывая, что , выразим диаметр из условия прочности

Подставляя 1,56 кН × м и , вычисляем диаметр поперечного сечения, округляя его до стандартной величины:

4. Проверка условия жесткости.

Условие жесткости записываем в форме (3.7):

По условию задачи [ q ]= 1 град/м. Переводя значение угла из градусной меры в радианную, получаем

Вычисляем выражение, стоящее в левой части условия жесткости, определив предварительно величину полярного момента инерции бруса:

Сравнение левой и правой частей условия жесткости показывает, что оно выполняется:

5. Построение эпюры углов закручивания.

Вычисляем углы закручивания по участкам, используя формулу (3.5):

Угол поворота каждого сечения равен сумме углов закручивания соответствующих участков бруса. Суммирование углов начинаем с незакрепленного конца А:

так как сечение в заделке неподвижно;

По вычисленным углам поворота сечений построена эпюра углов закручивания (рис. 7, в).

Равенство является проверкой решения, так как неизвестный крутящий момент Х определялся из условия равенства нулю угла поворота

Универсальное уравнение оси изогнутой балки, вычисление прогибов и углов поворота поперечных сечений

Определение прогибов и углов поворота поперечного сечения балки определяют с помощью универсального уравнения изогнутой оси балки (универсального уравнения упругой линии балки)

Формула (закон изменения) прогиба балки в сечении с координатой z и угол поворота сечения (рис. 7.15):

a и b – абсциссы точек приложения сосредоточенного момента M и сосредоточенной силы P, соответственно; c и d – координаты начала и конца участка, нагруженного распределенной нагрузкой.

В формулы входят только внешние усилия, которые расположены левее сечения, в котором определяются перемещения балки.

Если какая-нибудь нагрузка имеет противоположное указанному на рисунке 7.15 направление, то у соответствующих слагаемых в формулах прогибов и углов поворота сечений следует поменять знак на противоположный.

Прогиб и угол поворота балки в начале координат (начальные параметры) определяются из условий закрепления балки.

Уравнение упругой линии балки на примере

Определим прогиб балки на консоли при м, то есть . Запишем универсальное уравнение упругой линии балки :

Прогиб балки в начале координат (на левой шарнирной опоре), равен нулю: .

Читайте также: Счетчик оборотов вала двигателя

Для определения угла поворота в начале координат необходимо составить дополнительное условие: прогиб на правой опоре равен нулю.

,

.

Знак «минус» говорит: прогиб балки на консоли происходит вниз. Число, стоящее в числителе, измеряется в килоньютонах на метр в кубе (кН·м3).

Примерный вид упругой линии балки показан на рис. 7.16.

Упругая линия балки должна быть согласована с эпюрой изгибающих моментов по дифференциальным зависимостям. Точка перегиба находится под сечением балки, в котором изгибающий момент равен нулю, что следует из закона Гука при изгибе.

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Задача

К стальному валу приложены три известных момента:

Требуется: 1) установить, при каком значении Х угол поворота правого крайнего сечения вала равен нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его до ближайшей большей величины, соответственно равной 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм; 4) построить эпюру углов поворота; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (в градусах на 1м длины).

Решение: Обозначим границы участков русскими буквами А,……,Д.

I.Записываем условие, что угол поворота крайнего правого сечения (Д) вала равен нулю – исходя из условий задачи.

Данный угол поворота является суммой углов поворота вала на каждом участке:

Угол поворота на участке определяется по формуле:

, где М к — крутящий момент на данном участке, l — длина участка,

G — модуль сдвига , — для стали

— полярный момент инерции

Таким образом, , и с учетом условия задачи:

Так как вал имеет постоянное поперечное сечение, то

Определяем внутренние крутящие моменты на участках методом сечений. Идем от свободного конца вала, на каждом участке мысленно проводим сечение и рассматриваем равновесие всегда правой отсеченной части:

Подставляем найденные значения моментов в уравнение (1) :

2. Строим эпюру крутящих моментов. Для этого подставляем в выражения для моментов Мк найденные значения Х.

Полученные значения откладываем в виде ординат на эпюре

3.Определяем диаметр вала из условия прочности:

, где —максимальное касательное напряжение,

— максимальный крутящий момент (берется с эпюры Мкр по модулю),

— полярный момент сопротивления сечения

[τ]=80 МПа — допускаемое касательное напряжение

Определяем диаметр:

Принимаем диаметр вала d=45 мм=4,5 см

4. Построение эпюры углов поворота начинаем от опоры и строим нарастающим итогом. Предварительно посчитаем жесткость вала:

Угол поворота в левой опоре равен нулю, поскольку в заделке поворота быть не может:

В последней точке угол поворота должен получиться равным нулю (по условию задачи), таким он и получился. Строим эпюру углов поворота.

5. Наибольший относительный угол закручивания определим по формуле:

Полученный результат переведем в градусы на метр длины:

• Свежие записи
  • Чем отличается двухтактный мотор от четырехтактного
  • Сколько масла заливать в редуктор мотоблока
  • Какие моторы бывают у стиральных машин
  • Какие валы отсутствуют в двухвальной кпп
  • Как снять стопорную шайбу с вала

  
  

  источники:

  https://evakuatorinfo.ru/ugol-povorota-secheniya-c-vala-raven