В круглом бесконечном цилиндре радиуса r равномерно распределен положительный заряд (3 видео)

– расстояние от заряда до точки А . Из соображений симметрии ясно, что в полной напряженности поля будет отлична от нуля только ее проекция на ось Z .

Поскольку dE z = dE cos ϑ и cos ϑ =

Напряженность при z = 0 и при z → ∞ равна нулю и не меняет знака на всей положительной полуоси. Это означает, что в некоторой точке она достигает максимума. Чтобы найти ( E z ) max , используем

= 0, из которого находим z max =

симальное значение напряженности равно

E max = E z ( z max ) = 6 3 πε 0 R 2 .

При z >> R поле мало отличается от поля точечного заряда q , расположенного в центре кольца.

Ответ: E = E z = 4 πε 0 ( R 2 + z 2 ) 3/2 .

Видео:Поле равномерно заряженного цилиндраСкачать

Задача 1.3.6 (базовая задача). Определить напряженность поля на оси тонкого диска радиуса R 0 , заряженного равномерно с поверхностной плотностью σ.

Выберем ось Z совпадающей с осью диска ( рис. 1.7 ). Малый элемент поверхности диска, находящийся на расстоянии R от центра, имеет площадь dS = R d φ dR, где φ – полярный угол. Элементарный заряд на нем можно считать точечным; он равен

R dR

Рис. 1.7. Определение напряженности поля Е на оси заряженного диска (задача

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

dq = σ dS = σ R dR d φ. Соответственно напряженность поля от этого точечного заряда в точке c координатой z 0 будет равна

Разложим d E на две составляющие – по оси Z и перпендикулярную оси Z . Последняя при суммировании по площади диска в силу симметрии задачи даст нуль, а первая будет равна

Видео:Решение задачи на закон полураспада (видео 23)| Квантовая физика | ФизикаСкачать

dE z = dE cos ϑ , где cos ϑ = z 0 . Тогда r

поля равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Замечание . Тот же результат можно получить гораздо легче, используя решение базовой задачи 1.3.5 . Для этой цели выделим в плоскости диска малое кольцо радиуса r , которое будет нести заряд dq = σ dS = σ 2π r dr и которое, согласно решению задачи 1.3.5 , создаст на оси диска напряженность поля, равную по величине

Интегрируя это выражение по r от нуля до R 0 , получаем искомый ответ.

Задача 1.3.7. Заряд равномерно распределен по поверхности полусферы радиуса R с поверхностной плотностью заряда σ. Определить напряженность электрического поля в центре полусферы.

Гл.1. Постоянное электрическое поле

В сферической системе координат площадь элемента поверхности равна dS = R 2 sin ϑ d ϑ d φ. Элементарный заряд на этой площади, который мы будем рассматривать как точечный ( рис. 1.8 ), будет dq = σ R 2 sin ϑ d ϑ d φ и поле, создаваемое им в центре полусферы, равно

dE = 4 πε σ 0 sin ϑ d ϑ d ϕ .

Видео:Урок 153. Распределение молекул по скоростямСкачать

Рис. 1.8. Определение напряженности поля Е в центре заряженной полусферы (задача 1.3.7 )

Разложим это поле на составляющую, направленную по перпендикуляру к плоскости сечения сферы (по оси Z )

dE z = dE cos ϑ = 4 πε 0 sin ϑ cos ϑ d ϑ d ϕ ,

и на составляющую, лежащую в плоскости сечения сферы. Последняя в силу симметрии задачи при суммировании даст нуль, а нормальная составляющая и есть искомая напряженность поля

Определение напряженности электростатического поля от зарядов, распределение которых имеет плоскостную, осевую (цилиндрическую) или центральную (сферическую) симметрию.

Метод решения : применение электростатической теоремы Гаусса (1.10). В соответствии с условиями задачи выбирают поверхность Гаусса таким образом, чтобы вектор Е на ней был постоянен и, по возможности, перпендикулярен или параллелен поверхности. Именно в этих условиях вычисление поверхностных интегралов не вызывает трудностей и сводится к простому суммированию.

Читайте также: Разница главного цилиндра сцепления от рабочего

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задачи этого раздела в большинстве своем являются базовыми. В дальнейшем результаты решения этих задач неоднократно будут использованы при решении задач других разделов.

Задача 1.3.8 (базовая задача). Найти в произвольной точке напряженность поля, создаваемого положительным зарядом, равномерно распределенным с поверхностной плотностью σ на бесконечной плоскости.

Видео:Билет №02 "Теорема Гаусса"Скачать

Поскольку плоскость бесконечная, распределение зарядов и поля обладает плоской симметрией. Следовательно, линии напряженности поля везде направлены по нормали к плоскости и, следовательно, параллельны друг другу, а модуль напряженности одинаков во всех точках, отстоящих от плоскости на одно и то же рас-

Ввиду симметрии задачи целесооб-

разно применить теорему Гаусса (1.10).

Для этого рассмотрим прямой цилиндр,

перпендикулярный плоскости и сим-

метрично расположенный относительно

нее ( рис.1.9 ). Поток вектора E через бо-

ковую поверхность такого цилиндра ра-

Рис. 1.9. Поверхность Гаусса

вен нулю, так как линии напряженности

Видео:Теорема Гаусса для расчета полей цилиндра (нити) и плоскостиСкачать

везде параллельны образующим цилин-

для равномерно заряженной

дра. Потоки вектора E через основания

цилиндра одинаковы и равны ES , где S –

площадь основания цилиндра. Заряд,

находящийся внутри замкнутой поверхности этого цилиндра, равен

σ S . По теореме Гаусса имеем 2 ES =

σ S , откуда находим ответ:

Напряженность поля не зависит от расстояния от плоскости. Это однородное поле , силовые линии которого начинаются на заряженной плоскости и уходят на бесконечность, оставаясь перпендикулярными к заряженной плоскости.

Гл.1. Постоянное электрическое поле

Видео:ОГЭ вариант-3 #20Скачать

Тот же результат получится и для отрицательного заряда. В этом случае силовые линии поля начинаются в бесконечности и заканчиваются на заряженной плоскости.

Конечно, бесконечных заряженных плоскостей в природе не существует. Однако полученный результат можно использовать для определения напряженности поля вблизи равномерно заряженной пластины, когда расстояние от точки наблюдения до пластины много меньше размеров пластины и, кроме того, точка наблюдения находится достаточно далеко от края пластины. Чем лучше выполнены эти условия, тем точнее полученная формула определяет напряженность поля в точке наблюдения. Это типичный пример придания физического смысла результатам расчета напряженности поля от объекта бесконечной протяженности.

Отметим, что на заряженной поверхности напряженность поля Е не определена (испытывает скачок). Это связано с выбором модели поверхности как не имеющей толщины. В реальных материалах электрическое поле вблизи заряженной поверхности меняется очень быстро на расстояниях порядка нескольких атомных слоев. В этой области модель не имеющей толщины поверхности оказывается слишком грубой и требует уточнения с учетом свойств составляющих ее атомов и молекул. В дальнейшем, говоря о скачке напряженности, мы будем иметь в виду именно такую картину.

Задача 1.3.9. Две бесконечные параллельные друг другу плоскости равномерно заряжены с поверхностными плотностями заряда σ 1 и σ 2 . Найти распределение напряженности поля: а) когда заряды одного знака, б) когда заряды разных знаков.

Напряженности полей, создаваемых каждой плоскостью, найдены в базовой задаче 1.3.8 . Используем полученные там решения и принцип суперпозиции. На рис.1.10 схематически показаны поля от каждой плоскости для случаев а) и б); при этом положительным направлением напряженности считается направление слева направо (именно это направление будем считать положительным направлением оси Х ).

а) В области 1 поля E 1 и E 2 сонаправлены, поэтому E (1) = – E 1 – E 2 = –( E 1 + E 2 ).