В любой конус можно вписать бесконечное множество цилиндров (2 видео)

Цилиндр вписан в конус, если одно основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания — на боковой поверхности конуса. Конус, соответственно, в этом случае называется описанным около цилиндра.

Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с основанием цилиндра, а вершина совпадает с центром другого основания цилиндра. Цилиндр, соответственно, в этом случае называется описанным около конуса.

Конус вписан в другой конус, если его вершина лежит в центре основания второго конуса, а основание лежит на боковой поверхности.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-147.

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Комбинации цилиндра и конуса

В любой конус можно вписать цилиндр.

Оси конуса и вписанного в него цилиндра совпадают. Верхнее основание цилиндра совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основанию.

Осевое сечение цилиндра, вписанного в конус — представляет собой равнобедренный треугольник с вписанным в него прямоугольником.

NF=KM=h (l)— образующие цилиндра.

∆SOB∆KMB (по общему острому углу B)

, то есть: .

Отношение боковой поверхности конуса к боковой поверхности вписанного цилиндра (через радиусы основания и образующие)

, то есть .

В любой цилиндр можно вписать конус.

OS — ось цилиндра и ось конуса, высота цилиндра и конуса

OA — радиус конуса и радиус цилиндра

CA=DB=l — образующие цилиндра

Видео:Конус. 11 класс.Скачать

∆SOA, ∆SCA, ∆SDB и ∆SOB — прямоугольные

∆SOA=∆SCA, ∆SDB = ∆SOB, поэтому 2S_∆ASB=2S_ACDB.

Отношение боковой поверхности конуса к боковой поверхности описанного около него цилиндра (через радиус основания и высоту)

, то есть .

2. Комбинация двух конусов

OS — ось конусов, высота большого конуса

OA — радиус большого конуса

В дне кашпо, имеющего форму конуса с площадью боковой поверхности 15π дм и радиусом основания 3 дм, сделано отверстие для того чтобы в него можно было вставить горшок для цветов, имеющий форму цилиндра. Определите радиус этого отверстия так, чтобы горшок для цветов был вписан в конус и имел форму равностороннего цилиндра.

AO=R – радиус основания конуса

Рассмотрим подобные треугольники AKC и AOS.

Читайте также: При замене свечей зажигания масло в колодцах попало в цилиндр

В них: .

OS=4 (из прямоугольного треугольника AOS с катетом 3 и гипотенузой 5.

KC=2r

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. В конус, осевым сечением которого является прямоугольный треугольник, вписан равносторонний цилиндр. Найдите отношение площадей полных поверхностей конуса и цилиндра.

Сделаем чертеж осевого сечения

Обозначим радиус цилиндра ЕО= r. Выразим через него все остальные элементы тел вращения.

Так как цилиндр равносторонний, то высота цилиндра равна h=СЕ=2r.

Так как сечение конуса ASB — прямоугольный треугольник и SO — его высота, то SO=OB. То есть высота конуса H равна радиусу R.

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Образующая конуса равна L=SA=R .

∆SHD∆DKB∆OSB — прямоугольные равнобедренные треугольники.

Поэтому R=3r, образующая конуса равна SA=3r .

Выразим площади полных поверхностей конуса и цилиндра.

S_п.п.к. =πR(R+L)= π3r(3r+3r)=9πr 2 (1+ )

Теперь найдем отношение: .

Ответ: .

2. Усеченный конус вписан в цилиндр. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса, если радиус цилиндра равен 16, высота равна 6 а радиус меньшего основания усеченного конуса в два раза меньше радиуса цилиндра.

Сделаем чертеж осевого сечения:

O₁B — радиус меньшего основания усеченного конуса.

OC- радиус большего основания усеченного конуса и радиус цилиндра.

BH — высота цилиндра и высота усеченного конуса

По условию OC=2O₁B, ОС=16, BH=6.

Так как OC=2O₁B и ОС=16, то O₁B=8.

Рассмотрим треугольник BHC.

В нем HC=OC-OH=8, BH=6. По теореме Пифагора BC=10.

Теперь нам известен радиус меньшего основания усеченного конуса: он равен 8, радиус большего основания усеченного конуса: он равен 16, образующая усеченного конуса: она равна 10.

Найдем площадь боковой поверхности:

Площадь полной поверхности найдем, прибавив две площади оснований:

Содержание

Проект по математике на тему : » Конус в математике. Конус в жизни».(10 класс).
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
Краткое описание документа:
💡 Видео

Проект по математике на тему : » Конус в математике. Конус в жизни».(10 класс).

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

ГБПОУ ВО «Бутурлиновский механико-технологический колледж»

« Конус в математике. Конус с цилиндром и пирамидой. Конус в жизни »

Выполнил: студент 1 курса ТЗ-11 группы

Крючков Станислав Русланович

Проверил: преподаватель математики

Котилевская Наталья Николаевна

Глава I. Теоретическая часть. …………………. ………………………………4

Видео:МЕРЗЛЯК-6. ЦИЛИНДР. КОНУС. ШАР. ПАРАГРАФ-26Скачать

Глава II. Конус в математике……………. ………………. 5

Глава III . Конус с цилиндром и пирамидой ……………………………………8

Список используемой литературы……………………………………………… 14

· По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но древо не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.

· В физике встречается понятие “телесный угол”. Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.

· В биологии есть понятие “конус нарастания”. Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.

· “Конусами” называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2-16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Некоторые улитки конусы – изощренные хищники. Они подстерегая рыб, закапываются в песок и выставляют длинные хоботки, похожие на червей. Хоботки – приманка для рыб. Конусы убивают жертву сильным ядом и переваривают добычу в глотке-воронке, натягивая ее на рыбу как чулок.

· Живут в тропиках и субтропиках. Укус конусов для человека очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.

· В геологии существует понятие “конус выноса”. Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.

Читайте также: Расположение цилиндров калина 8кл

Глава I . Теоретическая часть

Конус — это тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L. Поверхность, образованная отрезками, проведенными к окружности, называется конической поверхностью, а сами отрезки — образующими конической поверхности.

Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг — основанием конуса. Точка Р называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности — образующими конуса. Прямая ОР, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса.

Глава II. Конус в математике

Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Это сечение – осевое.

Треугольник POA вращается вокруг стороны PO .

PO — ось конуса и высота конуса.

Круг с центром O — основание конуса.

AO — радиус основания конуса.

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось PO конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник.

APB — осевое сечение конуса.

∡ PAO= ∡ PBO — углы между образующими и основанием конуса.

Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Длина дуги сектора — это длина окружности основания конуса длиной 2πR , угол развёртки боковой поверхности α .

В конусе нельзя обозначить угол развёртки.
На развёртке конуса нельзя обозначить высоту и радиус конуса.

Радиус сектора — это образующая конуса.

Таким образом, боковая поверхность конуса является частью полного круга с радиусом l :

Длина дуги также является частью длины полной окружности с радиусом l , но в то же время длина дуги — это длина окружности основания конуса с радиусом R .

Видео:Цилиндр, конус, шар, 6 классСкачать

Сравним выражения длины дуги и выразим α через R :

2πl ⋅ α360°=2πR;α=2πR ⋅ 360°2πl=R ⋅ 360°l.

Получаем ещё одну формулу боковой поверхности конуса; не используется угол развёртки боковой поверхности:

Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых — конус, а другую часть называют усечённым конусом .

Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, — высотой усеченного конуса.

OO 1 — ось конуса и высота конуса.

Круги с центрами O и O 1 — основания усечённого конуса.

AO и A 1 O 1 — радиусы оснований конуса.

Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось OO 1 конуса.

Осевое сечение конуса — это равнобедренная трапеция.

AA 1 B 1 B — осевое сечение конуса.

Также усечённый конус можно рассматривать как тело вращения, которое образовалось в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны (которая перпендикулярна к основанию трапеции) или в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг высоты, проведённой через серединные точки оснований трапеции.

Глава III. Конус с цилиндром и пирамидой

Цилиндр является описанным около конуса, если одно его основание совпадает с основанием конуса, а в центре второго основания находится вершина конуса.

Около любого конуса можно описать цилиндр.

Оси конуса и цилиндра совпадают.

Цилиндр является вписанным в конус, если одно его основание находится в основании конуса, а второе основание касается всех образующих конуса.

В любой конус можно вписать бесконечное множество цилиндров (радиусы цилиндров меньше радиуса конуса).

Центры оснований конуса и цилиндра совпадают, а высота и радиусы различаются.

Чтобы определить зависимость между радиусами или высотами конуса и цилиндра, в задаче должна присутствовать дополнительная информация.

Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, основанием которой является многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

Читайте также: Масло в одном цилиндре двигателя что это может быть

Около конуса можно описать только такую пирамиду, у которой двугранные углы при основании равны (при условии, что основание высоты пирамиды не находится вне многоугольника в основании пирамиды).

Двугранные углы при основании равны у правильных пирамид и у таких пирамид, высота которых проецируется в центр вписанной окружности.

Радиус конуса — радиус окружности, вписанной в многоугольник основания пирамиды.

Любую правильную пирамиду можно описать около конуса.
Окружность основания конуса вписана в многоугольник основания пирамиды.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. В любой треугольник можно вписать окружность.

Видео:Как найти объем вписанного конуса? 🔍 #умскул_профильнаяматематика #умскул #никитасалливанСкачать

Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Окружность можно вписать только в такой четырёхугольник, у которого равны суммы длин противоположных сторон.

Центр окружности, вписанной в квадрат и в ромб, лежит на пересечении его диагоналей.

Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, многоугольник основания которой вписан в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса.

В конус можно вписать только такую пирамиду, боковые рёбра которой равны (совпадают с образующими конуса).

Боковые рёбра равны у любой правильной пирамиды и у таких пирамид, высота которых проецируется в центр описанной окружности.

Рисунки создаются в зависимости от содержания задачи, иногда достаточно изобразить только основания этих тел, т. к. высоты пирамиды и конуса равны.

Окружность основания конуса описана около многоугольника основания пирамиды.

Радиус конуса — радиус окружности, описанной около многоугольника основания пирамиды.

Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Окружность можно описать около любого треугольника.

Центром окружности, описанной около четырёхугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырёхугольника. Окружность можно описать только около такого четырёхугольника, у которого суммы противоположных углов равны 180°. Окружность можно описать около всех равнобедренных трапеций, прямоугольников и квадратов.

1) Дорожный конус — приспособление для временной разметки дорог.

Дорожный конус идеально подобен самой фигуре.

2) В быту мы часто используем вёдра, имеющую форму усечённого конуса, используется для различных жидкостей и сыпучих веществ.

В автомобилях, танках, бронетранспортерах есть конические шестерни: носовая часть самолетов и ракет, архитектурные строения имеет коническую форму. Только по — этому можно считать что конус очень важен как в математике так и в жизни, так как конические детали имеются во многих машинах, механизмах, строительстве, архитектуре и т.д.

Список используемой литературы

1. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7 — 11 классов общеобразовательных учреждений, 1995. https://bppk.info:446/media/attachments/6adf97f83acf6453d4a6a4b1070f3754_AilUHLd.pdf

3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия: Учебник для 10 — 11 классов общеобразовательных учреждений, 2000. https://vpr-klass.com/uchebniki/matematika/atanasyan_10-11kl.html

4. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, 1998. https://znayka.cc/uchebniki/10-klass/uchebnik-geometriya-10-11-klass-aleksandrov-verner-ryzhik/

5. Киселев А.П., Рыбкин Н.А. Геометрия: Стереометрия: 10 — 11 классы: Учебник и задачник, 2000. https://russianclassicalschool.ru/biblio/02_st_kl_geometr_min.pdf

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Краткое описание документа:

Данный проект даёт более расширенное представление материала. Здесь описываются основные элементы фигуры, её свойства, а также особенности построения. Представлен дополнительный познавательный материал о том, где можно столкнуться с понятием конуса в жизни. Этот проект можно использовать при работе на внеурочной деятельности.